§ 6—8. Комбинации многогранников и тел вращения

д) Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник
с катетами AB
=
а, АС
=
b. Боковое ребро SA
=
SB
=
SC
=
c. Найдите ради
ус шара, описанного около данной пирамиды.
е) Дана треугольная пирамида SABC, в которой ВС
=
а, AB
=
АС,
SA
^
ABC. Двугранный угол при ребре SA равен
a
, при ребре ВС ра 
вен
b
. Найдите радиус описанного шара.
ж) Докажите, что радиус R описанного около призмы шара вычис
ляется по формуле R
=
1
2
4
2
2
H
r
+
, где Н — высота призмы, r — радиус
окружности, описанной около основания призмы.
з) Радиус шара, описанного около куба, равен R. Найдите ребро
куба.
и) Дан прямой круговой цилиндр с радиусом основания R и высо
той Н. Найдите радиус описанного шара.
66. а) Докажите, что если двугранные углы при ребрах основания
пирамиды равны между собой, то в эту пирамиду можно вписать шар.
б) Основанием пирамиды служит ромб с острым углом
a
и сторо
ной а. Все боковые грани пирамиды составляют с плоскостью основа
ния угол
b
. Найдите радиус шара, вписанного в эту пирамиду.
в) Докажитe, что для правильной пирамиды центр вписанного шара
является точкой пересечения ее высоты с биссектором какогонибудь
двугранного угла при основании.
г) Докажите, что радиус R шара, вписанного в правильную пирами
ду, может быть найден по формуле R
=
Hr
r
H
r
+
+
2
2
, где Н — высота пи
рамиды, r — радиус круга, вписанного в ее основание.
д) Пусть дан правильный тетраэдр с ребром а. Докажите, что радиус
вписанного шара R
=
a 6
12
.
е) Проверьте, справедливы ли результаты задач 66, г и 66, д приме
нительно к пирамидам, боковые грани которых равнонаклонены к пло
скости основания.
67. а) Докажите, что шар можно вписать в призму тогда и только то
гда, когда ее перпендикулярное сечение — описанный многоугольник,
а высота равна диаметру круга, вписанного в это сечение.
б) Докажите, что в прямую призму можно вписать шар тогда и толь
ко тогда, когда ее основание — описанный многоугольник (с радиусом
вписанного круга R), а боковое ребро равно 2R.
—
155
—
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

в) В треугольную призму вписан шар радиуса R. Известно, что пер
пендикулярным сечением призмы является прямоугольный треуголь
ник с углом 60
°
. Найдите площадь этого сечения.
г) Основанием четырехугольной призмы служит ромб со стороной
а и острым углом
a
. Перпендикулярным сечением призмы является
квадрат. Найдите угол между плоскостью перпендикулярного сечения
и плоскостью нижнего основания, если радиус шара, вписанного в приз
му, равен R.
68. а) Докажите, что если шар вписан в прямой круговой конус, то
центр шара всегда лежит на высоте конуса.
б) В конус, образующая которого равна l и составляет с плоскостью
основания угол
a
, вписан шар. Найдите длину окружности касания
шара и конуса.
в) В конус вписан шар. Окружность, по которой боковая поверх
ность конуса касается шара, имеет радиус, равный r. Образующая кону
са видна из центра шара под углом
a
. Найдите: 1) угол при вершине
осевого сечения конуса; 2) угол наклона образующей к плоскости осно
вания конуса; 3) радиус основания конуса; 4) высоту и образующую ко
нуса. Установите, в каких границах могут изменяться значения угла
a
.
г) B конус вписан шар. Радиус окружности, по которой касаются ко
нус и шар, равен r. Угол между образующей и высотой конуса равен
a
.
Найдите: 1) радиус шара; 2) радиус основания конуса; 3) высоту и об
разующую конуса.
д) В конус вписан шар. Найдите радиус шара, если образующая ко
нуса равна l и наклонена к плоскости основания под углом
a
.
е) Площадь осевого сечения конуса равна Q. Образующая составля
ет с плоскостью основания угол
a
. Найдите радиус вписанного в конус
шара.

жүктеу/скачать 9,35 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: