Iii республикалық студенттік ғылыми-практикалық конференциясының баяндамалар жинағЫ



бет35/184
Дата08.06.2018
өлшемі13,94 Mb.
#41389
1   ...   31   32   33   34   35   36   37   38   ...   184

Литература

  1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функции и функционального анализа.- М.: Наука, 1980.

УДК 517.929


ОБ АНТИПЕРИОДИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ АРГУМЕНТОМ
Борбасова А.Т.

Южно-Казахстанский Государственный Университет им. М.Ауезова, г. Шымкент,
Научный руководитель – д.ф.-м.н., доцент Шалданбаев А.Ш.
Введение

  1. В работе [1] изучены спектральные свойства краевой задачи





где  -комплексные числа, -спектральный параметр.



В настоящей заметке мы рассмотрим более широкий класс уравнений, но с менее общим краевым условием:

, (1.1)

, (1.2)

где -вещественная величина из полуинтервала , а -спектральный параметр. В частности, при  наши результаты совпадают с соответствующими результатами работы [1], а отличие состоит в том, что появляется дополнительный спектр и собственные функций соответствующие этим дополнительным собственным значениям не полны в пространстве , хотя собственные функций соответствующие к основной серии образуют (после нормировки) ортонормальный базис пространства .

Из теории Гильберта-Шмидта известно [2], что самосопряженный и вполне непрерывный оператор имеет полную и ортогональную систему собственных векторов и других собственных векторов он не имеет. Не вполне непрерывный, но самосопряженный оператор может иметь полную ортогональную систему собственных векторов и соответствующих им вещественных собственных значений. Спектр такого оператора состоит из собственных значений и предельного спектра, являющегося предельными точками множества собственных значений. Спектр, изученной нами задачи (1.1)-(1.2) резко отличается от спектра выше упомянутого класса операторов и в этом состоит особенность этой задачи.



  1. Вспомогательные предложения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1 [3]. Система элементов ,  называется

базисом гильбертова пространства , если каждый элемент  представим единственным образом в виде сходящегося ряда



. (2.1)

Если, кроме того, выполняются равенства



,  (2.2)

то базис  называется ортонормальным (или ортонормированным).



Примером ортонормированного базиса в вещественном пространстве  является тригонометрическая система

 (2.3)

Пусть - произвольный ортонормированный базис пространства  и -некоторый линейный ограниченный обратимый оператор. Тогда для любого вектора 

 ,

и следовательно,



,

где


, , . (2.4)

Очевидно,



, ().

Поэтому, если



, (2.5)

то

,



т.е. разложение (2.5) единственно.

Таким образом, всякий ограниченный обратимый оператор преобразует любой ортонормированный базис в некоторый другой базис пространства  Базис ,  пространства , получаемый из ортонормированного базиса с помощью такого преобразования, называется базисом, эквивалентным ортонормированному (по терминологии Н.К.Бари [4] –базисом Рисса).



Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   31   32   33   34   35   36   37   38   ...   184




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет