Примеры сильнейших землетрясений мира



Pdf көрінісі
бет14/117
Дата22.09.2023
өлшемі8,05 Mb.
#182059
түріЛитература
1   ...   10   11   12   13   14   15   16   17   ...   117
Байланысты:
Yanovskaya T B -Osnovy seysmologii 2008

2.4. Энергия деформации 
 
Выделим в деформированном теле элементарный параллелепипед, грани 
которого параллельны координатным плоскостям, а ребра равны 

x,

y,

z. 
На 
его гранях будут действовать напряжения 
)
,
,
(
xz
xy
xx
x
T
T
T
T

)
,
,
(
yz
yy
yx
y
T
T
T
T

)
,
,
(
zz
zy
zx
z
T
T
T
T
. Рассмотрим работу этих упругих сил при изменении 
деформации на элементарные величины 
zz
yz
yy
xz
xy
xx
δε
δε
δε
δε
δε
δε
,
,
,
,
,
. При этом 
грань, перпендикулярная оси 
x, 
сместится по осям 
x,y,z 
соответственно
 
на 
величины
z
w
x
v
x
u
xz
xy
xx

=

=

=
δε
δ
δε
δ
δε
δ
,
,
, т.е. на величину элементарного 
вектора 
u
δ
. Это смещение произойдет под действием силы 
z
y
x


T
. Таким 
образом, работа этой силы будет равна
(
)
(
)
∆Ω
+
+
=



xz
xz
xy
xy
xx
xx
x
T
T
T
z
y
x
δε
δε
δε
δ
u
T
,

где 
z
y
x



=
∆Ω

объем параллелепипеда. Аналогично работы сил, 
приложенных к двум другим граням, будут равны соответственно 
(
)
∆Ω
+
+
yz
yz
yy
yy
yx
yx
T
T
T
δε
δε
δε
и
(
)
∆Ω
+
+
zz
zz
zy
zy
zx
zx
T
T
T
δε
δε
δε
. Полная 
работа сил, отнесенных к единице объема, будет равна

=
k
i
ik
ik
T
A
,
δε
δ
(2.4) 
Это есть удельная элементарная работа деформации, которая равна изменению 
энергии деформированого тела. В дальнейшем будем использовать правило 
суммирования по повторяющимся значкам, так что (2.4) ) может быть записано 
в виде 
ik
ik
T
A
δε
δ =
Полную энергию деформации можно получить интегрированием этого 
выражения. Но для этого необходимо выразить напряжения через деформации.
Для упругого тела связь напряжений и деформаций определяется законом 
Гука (2.2). При этом 
ik
lm
iklm
c
A
δε
ε
δ =
Эта работа равна приращению удельной энергии деформации 
δ
W
. Это 
приращение должно быть полным дифференциалом, так что интегрированием 
мы получим полную энергию деформации. Но для этого необходимо, чтобы 
упругие постоянные подчинялись следующему соотношению: 
lmik
iklm
c
c
=
(2.5) 
Только в этом случае 
(
)
)
2
1
)
(
2
1
)
(
2
1
ik
lm
iklm
ik
lm
iklm
lm
ik
ik
lm
iklm
c
c
c
W
A
ε
ε
δ
ε
ε
δ
δε
ε
δε
ε
δ
δ
=
=
+
=
=
(2.6 ) 
Из условия (2.5) следует, что число упругих не может быть больше 21, как уже 
было упомянуто в разделе 2.3. 
Интегрируя (2.6), получим выражение для полной удельной энергии 
деформации 
ik
ik
ik
lm
iklm
T
c
W
ε
ε
ε
2
1
2
1
=
=
(2.7) 
В случае изотропной среды это выражение принимает вид 
ik
ik
W
ε
µε
λθ
+
=
2
2
(2.8 )


27 
2.5 Уравнения движения
 
Выведем теперь уравнения, определяющие передачу движений частиц упругой 
среды. Согласно законам механики, движение точки (элемента среды с массой 
dm
) определяется уравнением 
f
u
d
dm
dt
d
=
2
2
(2.9) 
 
где 
d
f
– 
сила, действующая на этот элемент среды. Пусть этот элемент среды 
имеет объем 
d

, тогда 

=
d
dm
)
(
x
ρ
,

=
d
t
d
)
,
(
x
f
f
, где 
)
(
x
ρ

плотность среды 
в точке 
х
, а 
f
(
x
) сила, приложенная к единице объема.
Рассмотрим некоторый объем 

среды, способной подвергаться деформации. 
Проинтегрируем (2.9) по этому объему. Левая часть этого уравнения примет вид 



∫∫∫

d
t
t
2
2
)
,
(
)
(
x
u
x
ρ
, (2.10) 
а в правой мы будем иметь сумму всех сил, действующих на этот объем среды. 
Это будут так называемые объемные силы, приложенные к точкам данного 
объема (к ним относятся, например, гравитационные силы и различные внешние 
воздействия), и поверхностные силы, обусловленные деформацией среды: 
∫∫
∫∫∫
+


S
n
dS
d
t
T
x
f
)
,
(
, (2. 11)
где 
T
n
– 
напряжение, приложенное 
к поверхности 
S
объема 

(рис.2.5). 
Выражая 
T
n
по формуле (2.1) и приравнивая
(2.
10
) и (2.11), получим 
∫∫
∫∫∫
∫∫∫







=
S
i
i
d
d
t
dS
n
f
u
T
2
2
)
,
(
ρ
, (2.12) 
или в компонентах Рис.2.5,
∫∫
∫∫∫
∫∫∫







=
S
k
k
i
ik
d
f
d
t
u
dS
n
T
2
2
ρ
(2.13)
иллюстрирующий вывод
уравнения движения
упругой среды 
В силу симметрии тензора напряжения левую часть можно иначе записать в 
виде: 
∫∫
∫∫
=
S
kn
S
i
ki
dS
T
dS
n
T
и преобразовать этот интеграл по формуле Гаусса-Остроградского 

=
∫∫∫
∫∫

d
div
dS
T
k
S
kn
T
Учитывая, что объем 

может быть взят произвольным, получим следующее 
равенство 
k
k
k
t
div
f
u
T



=
2
2
ρ
(2.14 ) 

S
n
T
n


28 
Равенство (2.14) может быть записано в векторной форме 
f
u



=

2
2
t
ρ
Τ
(2.15) 
где
∇Τ
 
обозначает результат действия оператора 












=

3
2
1
,
,
x
x
x
на тензор 
Τ

или в координатах 
x,y,z

z
zz
zy
zx
y
yz
yy
yx
x
xz
xy
xx
f
t
w
z
T
y
T
x
T
f
t
v
z
T
y
T
x
T
f
t
u
z
T
y
T
x
T



=


+


+





=


+


+





=


+


+


2
2
2
2
2
2
ρ
ρ
ρ
(2.16) 
Уравнения (2.15) и (2.16) справедливы для любой среды, в том числе и 
неидеально упругой. В таком виде, однако, уравнение решено не может быть, 
поскольку в левую часть входят напряжения, а в правую – производные от 
смещений. Чтобы решить эти уравнения, необходимо выразить напряжения 
через смещения. В случае однородной изотропной упругой среды связь 
напряжений и деформаций (а деформации выражаются через пространственные 
производные от смещений) определяется законом Гука (2.3). Каждое из 
уравнений (2.16) может быть записано в виде
i
i
k
ik
f
t
u
x
T



=


2
2
ρ
Подставляя вместо 
T
ik
выражение (2.3), получим 
i
i
i
k
k
i
ik
k
f
t
u
x
u
x
u
div
x



=
























+


+


2
2
ρ
µ
δ
λ
u
Преобразуем левую часть этого уравнения: 
i
i
i
i
f
t
u
u
div
x



=

+


+
2
2
)
(
ρ
µ
µ
λ
u
(2.17) 
С учетом того, что 
u
u
u
rotrot
div


=

, это уравнение в векторной форме 
записывается следующим образом: 
f
u
u
u



=


+
2
2
)
2
(
t
rotrot
div
ρ
µ
λ
(2.18) 
2.6.Сейсмические волны 
 
Как только произошло возмущение упругой среды в какой-либо ее части, оно 
начинает распространяться в остальную часть среды согласно уравнению 
движения (2.15). Это распространение происходит в форме волнового движения 
с конечной скоростью. Рассмотрим решение уравнения движения для 
однородной изотропной среды (2.18). Наиболее распространенный подход к 
решению этого уравнения заключается в представлении искомого поля 


29 
смещений через потенциалы. Известно, что любое векторное поле может быть 
представлено в виде суммы потенциальной и вихревой части, т.е.
)
(
)
(
)
(


Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   10   11   12   13   14   15   16   17   ...   117




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет