Xii ғасырда математикалық анализдің пайда болуы «Туынды» ұғымының шығу тарихы


Готфрид Лейбниц және оның дифференциалдарды есептеу әдісі



бет3/10
Дата18.02.2018
өлшемі0,72 Mb.
#38007
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Готфрид Лейбниц және оның дифференциалдарды есептеу әдісі
Дифференциалдық және интегралдық есептеудің екінші бір түрі – дифференциалдарды есептеу. Оның авторы – Готфрид Лейбниц. Ол дүниежүзілік ғылыми философия тарихындағы ең ұлы тұлғалардың алдыңғы сапынан орын алады. Лейбницті, әдетте, көрнекті философ, ұлы математик деп қана атайды. Шынында, ол заманындағы ғылымның көп саласымен айналысқан. Ол математик, физик, юрист, экономист, геолог, психолог, тілші және тарихшы болған. Оның үстіне Лейбниц өз тұсындағы әлеуметтік және мемлекеттік істерге араласқан ірі қоғам қайраткері саналады.

Лейбниц өзінің ғылыми және қоғамдық қызметін өте ерте бастаған. Ол 20 жасында Лецбниц университетінің заң факультетін үздік бітіргеннен кейін алғашқы қызметін министр барон Бонебургке хатшылықтан бастайды.

Бұл кезде Лейбниц жас та болса ғылым әлеміне танылып қалған болатын. Ол университетте оқып жүрген кезінен-ақ ғылымның әртүрлі саласы бойынша, әсіресе математикадан өте терең білім алып үлгереді. Мәселен, 1663 жылы 17 жасында «Матефизикалық ойлар» деген мақала жазады. Бір жылдан кейін оның «Философия мәселелері жөніндегі тәжірибе» деген мақаласы жарық көреді. Ал 1666 жылы 20 жасында «Конбинаторика жайлы ойдар» атты математикалық трактат жазады. Осыдан бастап өмірінің соңына дейін (1716 жылы өлген) белсенді ғылыми – философиялық іс-әрекетін қоғамдық мемлекеттік жұмыстармен шебер ұйымдастырып өткен.

Лейбниц тек Германияның ғана емес, бұкіл европа елдерінің ішкі – сыртқы тұрмысын, ғылыми жағдайын жетік білген және оған белсенді араласып отырған. Ол барлық дүниежүзілік ғылым академиясын құру жоспарын жасайды. Осының нәтижесінде Лейбниц Берлин академиясын ұйымдастырып, оның тұңғыш басшысы болады. Ол мұндай академия басқа елдерде де болу қажеттігін барынша уағыздап, тікелей жәрдем көрсетеді. Лейбниц өмірінің соңғы жылдарында бірінші Петрмен жақсы қарым-қатынаста болған, жүзбе – жүз кездескен. Ол Ресей үшін де Ғылым академиясын құрудың керектігін және бұл істе өзінің жан-жақты көмек көрсетуге дайын екендігін айтып бірінші Петрге хат жазған.

Лейбниц дүние туралы тұтас ғылыми – философиялық көзқарастар жүйесін жасайды. Ол жалпы алғанда, идеалист. Оның түсіндіруі бойынша дүниенің негізінде қарапайым рухани клетка – бөліньейтін монодалар жатыр. Монода – физикалық нүкте де, математикалық нүкте де емес, көзге көрінбейтін, қолға ұстауға болмайтын идеялық субстанция. Ол өзінше дербес өмір сүреді. Сан алуан өзгеріске ұшырай алады. Тынымсыз, белсенді қозғалыста болады. Әлемнің көп түрлілігі осы монодалардың сан алуан жолмен бірігу көрінісінің әр түрлі сипаттары. Монодалардан материч, болмыс түзіледі.

Лейбниц шындыққа, ақиқатқа жетудің шешуші құралы ретінде, логика мен математиканы ұсынады. Осыдан барып Лейбниц ғылыми танып – білудің әмбебап, логика – математикалық әдісін, әмбебап сипаттамасын жасайды. Бұл жаңа әдіс барлық логикалық қорытындыларды, ұғымдарды бір мәнді дәлме – дәл бейнелейтін сөздерге, басқа да символдарға жүргізілетін есептеу тектес амалдармен ауыстыруға тиіс болады. Бұл жағдайда ол қарапайым элементтердің байланыстары мен тәуелділіктерінің барлық мүмкін түрлерін бейнелейтін ғылым ретінде жаңа мағынаға ие болады. Математиканың белгілі әдістері болашақ жалпы математикаға құрама бөлік ретінде енеді. Мұнда ұғымдар мен амалдардың мәнін дәл бейнелейтін аса кемелденген символиканы пайдаланатын алгоритмдердің қызметі ерекше болады.

Лейбниц басшылыққа алған алғашқы осындай математикалық мақсаттар дифференциалдық және интегралдық есептеуді ашуға, математикалық зерттеулерге бағыт – бағдар сілтеді. Бұл мақсаттарды жүзеге асыру үшін ол Декарт, Кавальери, Валлис, Паскаль, Гюйгенс т.б математиктердің шығармаларын тәптіштеп, егжей – тегжейлі оқып үйренеді. Лейбництің шексіз аздар анализінің үш бастау көзі мыналар еді:


  • елеулі түрде жалпыланған Паскальдың сипаттамалық үшбұрыш әдісі;

  • Декарт және оның ізбасарлары жасаған аналитикалық геометрия;

  • шексіз қатарларды қосындылау және бұған шекті айырымдар жүйесән қолдану.

Осы идеяларды синтездеу арқылы Лейбниц барлық шексіз аздарға тірелетін есептерді екі типке келтіруге болатынын ашады. Жанама туралы және оған байланысты есептер әрқашанда қатарлардың шексіз жақын мүшелерінің айырмасын есептеуге әкеліп соғады. Квадратура туралы және оған байланысты есептер әрқашанда шексіз кіші көршілес мүшелері бар шексіз қатарлардың қосындыларын табуға тіреледі.

Лейбниц жаңа есептеудің қолайлы символикасын көп іздестіреді. Ақырында ол шексіз кіші айырманы таңбалау үшін  ( differenti – айырма сөзінің бас әрпі ) символына тоқтайды. Лейбниц Кавальери мен Паскальдің жолын қуып интегралды « барлық » шексіз көп ординаттардың қосындысы деп қарастырып, ( барлық ) символымен белгілейді де кейіннен Summa ( қосынды ) сөзінің бас әрпінен алынған S таңбасына көшеді.



Дифференциалдық есептеудің негізгі бастамалары толық түрде 1648 жылы « Acta Erudiform » журналында жарық көрген, бас аяғы жеті беттен ғана тұратын «Максимум және минимумдардың, сондай-ақ жанамалардың жаңа әдісі» мақаласында баяндалады. Мұнда ол ең әуелі фукцияның дифференциалының анықтамасын береді. Аргументтің дифференциалы  үшін кез келген шама алынады ( функцияның дифференциалы

 нүктесіне жүргізілген жанама табаны ), символдары енгізіледі. Мұнда сонымен қатар бірінші дифференциалдың немесе функцияның функциясының инварианттық қасиеті айтылыды, дифференциалдар шамалардың лездік өсімшелеріне пропорцонал шамалар болып түсіндіріледі. Алайда , кейіннен олар қайтадан шексіз аз айырмалар түрінде анықталады.

Дифференциалдау алгоритмі ережелерімен қатар Лейбниц олардың жәрдемімен функциялар мен қисықтарды зерттеу әдістерін тұжырымдайды.



Бұл мақалада Лейбниц дифференциалдық есептеу мәселелерімен шектеледі. Екі жыл өткеннен кейін жарық көрген « Терең геометрия туралы » мақаласында бірінші рет баспа бетінде интеграл таңбасын еңгізіп, s және d операторларының өзара кері сипатын көрсетеді. Бір есепте  интегралына келіп  теңдігінен тікелей  теңдігін шығарып, оны мынадай қорытындымен толықтырады. «...бізде қосынды мен айырма немесе s және d кәдімгі есептеудегі дәрежелеу мен түбір табу сияқты өзара кері амалдар болады ». Бұған мысал ретінде циклоиданың теңдеуі интегралдық түрде  жазылып, бұдан оның барлық қасиеттерін шығарып алуға болатыны түсіндіріледі.

Қазір Ньютон және Лейбниц формуласы аталып жүрген анықталған интегралды интегралдаудың жоғары және төменгі шектеріндегі алғашқы функция мәндерінің айырмасы арқылы өрнектейтін  аналитикалық формуласы дәл осы күйінде оларда болмаған. Ол бірінші рет XVIII ғасыр Париждегі Политехникалық институтының профессоры Лакроуаның «Дифференциялдық және интегралдық есептеу туралы» оқулығында кездеседі. Алайда, оған эквивалент ереже Ньютон мен Лейбницте болған.

1693 жылы Лейбниц жаңа есептеуді анықталмаған коэффициенттер әдісі арқылы қатарларға жіктеуге болатын трансцентті негізінен дифференциалдық және интегралдық есептеудің барлық бастапқы бөліктері қамтылады. 1695 жылы ол жалпы көрсеткіштік функцияны дифференцалдау ережесі мен көбейтінді не көп еселі дифференциалау формуласын



жариялайды. Осы кездерде ол дифференциал ұғымын теріс және бөлшек көрсеткіш жағдайына жалпылайды. 1702 – 1703 жылдары рационал бөлшектерді интегралдау әдістері жасалынады.

Лейбництің символикасы мен терминдері жақсы ойластырылып сәтті табылған болып шықты. Олардың бірсыпырасы өзгермей осы көзге дейін келіп жетті. Лейбниц дифференциал, дифференцалдық есептеу, функция, координаттар, дифференциалдық теңдеу лагоритм т.с.с терминдерді және символдардың көпшілігін еңгізген.

Лейбництің шексіз аздар теориясының әлсіз жері де болды. Шексіз жақындау, шексіз аздық немесе процестің шексіз созылуына сүйенетін негізгі ұғымдардың рационал түрде түсіндірілу жағы айқын емес еді. Лецбництің қолжазбалары мен мақалаларында шексіз аздар анализін негіздеу мәселесі аз қозғалмайды. Ол мәселен шексіз аздарды биархимедтік шамалар деп немесе интуктивті түрде қабылданатын потенцалды шексіз аздық деп алады. Кейде ежелгі гректердің сарқу әдісіне сілтейді, қиындықтарды соған аударады немесе әлі егжей-тегжейлі ашылмаған шекке көшу тәріздес бұлдыр ұғымдарға сүйенеді т.с.с.

Қалай болғанда Лейбниц те Ньютон сияқты математикалық анализді негіздеу проблемасын шеше алмайды.



Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет