Ақтөбе облысы Мұғалжар ауданы Бірлік ауылы Құмжарған орта мектебінің математика пәні мұғалімі Қанымқұлова Данара Валихановна «Оқушылардың математикалық қабілетін дамыту жүйесінде олимпиадаға дайындау барысында күрделі есептерді шығарудың

Қазақстан Республикасының «Білім туралы» заңында «білім беру жүйесінің басты міндеті –ұлттық және азаматтық құндылықтар ғылыми практика жетістіктері негізінде және адамды қалыптастыруға кәсіби шеберлігін шыңдауға бағытталған білім алу үшін қажетті жағдай жасау: оқытудың жаңа технологияларын енгізу, білім беруді ақпараттыру, халықаралық ғаламдық коммуникациялық желілерге шығу»-деп білім беру жүйесін одан әрі дамыту міндеттері көзделеді.

Бала қабілетін дамыту мәселесі өз тамырын адамзат тарихынан терең алады. Ежелгі грек ғалымы және философы Сократ оқушылардың дамуына үнемі қамқорлық жасап отырған.шығыстың атақты ойшылы Әл-Фараби адамның ақыл-ойын , қабілеттерін дамыту арқылы оны бақыт жолына жеткізу мәселесіне бірнеше құнды еңбектерін арнаған.Бүкіл халықтың ұстазы ұлы Абай қара сөзінде (43) бала өмірге келгенде қабілеттерін әрі қарай дамытуды шындаудағанда ғана пайдаға асатынын жазған.ал назардан тыс қалған қабілеттер бара-бара жойылып, жоқ болатынын айтқанбіріншіден кез-келген бала адамзат баласының осы бір кезеңге дейін жинақтаған тәжірибесін меңгеруге бағытталған оқу-әрекеті арқылы дамиды, білім-білік дағдыны қабылдайды.екіншіден кез-келген оқушы шығармашылық әрекеттерді орындау арқылы өзінің мүмкіндіктерін дамытады.Бұл екі әрекет әртүрлі мақсатты шешеді. Адамның логикалық ойлауы өмір туралы ойлары дайын білімдермен келмейді. Олардың бәрін өмір процесінде тану арқылы қабылдайды. Адам дайын қалыптасқан математикалық немесе музыкалық дарынмен тумайды: оларды адам математика немесе музыка дүниесіне кіру арқылы дамытады, әрине индивид кейін атақты математик немесе музыкант болып шығады.

Математикада есеп шығаруға ерекше мән беретіндігін білеміз, сондықтан олимпиада барысында оқушылардың орындаған жұмысы көбінесе олардың есептерді шығаруға қаншалықты төселгендігі арқылы бағаланады. Ал есеп болса сан қилы, оның белгілі бір жолы, қалыптасқан формуласы әр уақытта бола бермейді, ендеше оқушының мақсаты есеп қиын не оңай болсын оны шығарудың дұрыс жолын жаңылмай таңдай білуінде. Дұрыс, әдемі әрі тиімді де қысқа жолды таңдай білу – ол баланың тапқырлығын, зеректігін, ойлауға икемділігін, дербестігін білдіреді. Мұндай ерекше оқушылардың әрі қарай тапқырлығын дамыту үшін оларды тек оқулықпен шектемей, қосымша әдебиет пен кезекті басылым беттерінде кездесетін қызықты, конкурстық, стандарт емес олимпиадалық есептерді талдап шығаруға әрқашан бағыт – бағдар беріп отыру керек деп ойлаймын.

Адамның ерекше қасиеттерінің бірі  - есепті дұрыс шеше білу. Менің мақсатым - әр түрлі  қиындықтағы есептерді дұрыс шығара білуге үйрену. Біздің заманымыз ғылым мен техниканың қарқынды дамуымен ерекшеленеді. Сондықтан әрбір мектеп оқушысының алдында тұрған міндеті – қазіргі заманғы математикалық логиканың негізін түсіне білу, олимпиадалық  есептерді шеше білу. Математикалық логиканы білмейінше, оны ойдағыдай меңгеру қиын. Өйткені бүгінгі күні ғылым мен техниканың қарыштап дамуы ол адамның ойлау қабілетінің ең ірі жетістіктері болып табылуда.

Арнайы формуланы қолдануға келмейтін әрқайсысына өзінше талдау жасауды қажет ететін есептерді логикалық есептер дейміз.

Олимпиадалық  есептердің саны да, шығару да тәсілдері де алуан түрлі. Математика ғылымында логикалық есептер бірнеше түрге бөлінеді,  соларға жеке – жеке тоқталайын.

Бұл әдіс кейбіреулері қырлары деп аталатын сызықтар мен қосылатын нүктелердің шектеулі жиыны.

 

Есеп: Төрт спортшы: Әлия, Ғалия, Мадина, Динара гимнастикадан өткен жарыста алдыңғы 4 орынды алды, бірақ олардың кез келген екеуі бұл орынды бөліскен жоқ.

Кім нешінші орын алды?- деген сұраққа үш жанкүйер былай деп жауап берді.

а) Әлия – ІІ, Динара – ІІІ

ә) Әлия – І, Ғалия – ІІ

б) Мадина – ІІ, Динара – ІҮ.

Жанкүйерлердің әрқайсысы бір рет қателескенін ескеріп, әр спортшының қандай орын алғанын табы керек.

Жауабы: Әлия –І

Мадина – ІІ

Динара – ІІІ

Ғалия – ІҮ

Ә                    І

Ғ                    ІІ

М                   ІІІ

Д                    ІҮ

 

Аты	І	ІІ	ІІІ	ІҮ
Әлия	+	+	-	-
Мадина	-	+	-	-
Динара	-	-	+	+
Ғалия	-	-	-	-

 

Есеп:

Үш адам сөйесіп тұр: Ақбаев, Қарабаев, Сарыбаев. Олардың қара шаштысы Ақбаевқа айтады. «Біреуіміздің шашымыз ақ, екіншінің шашы қара, үшіншісінің шашы сары, бірақ ешкімнің шашының түсі фамилясына сәйкес келмейді». Олардың әрқайсысының шаштарының түстері қандай? [№1, 2007 ж, математика және физика]

1 – тәсіл (логикалық пайымдау арқылы)

Қара шашты адам Ақбаевпен сөйлескендіктен, Ақбаев қара шашты да болмайды, ақ шашты да болмайды  (себебі шашының түсі фамилясына сәйкес келмеу керек). Олай болса Ақбаев – сары шашты. Онда Қарабаев – ақ шашты, ал Сарыбаев – қара шашты болады.

ІІ – тәсіл. (кестенің көмегімен )

алдымен есептің шарты бойынша, І кестені салайық

 

Тегі	Сары	Қара	Ақ
Ақбаев	+	-	-
Сарыбаев	-	+	-
Қарабаев	-	-	+

 

Жауабы: Ақбаев – сары шашты

                  Қарабаев – ақ шашты

                  Сарыбаев – қара шашты

 

Олипиадалық есептердің келесі түрі өлшеумен байланысты.

 

Есеп: Бөтелкеде, стаканда, құмырада, банкада сүт, лимонад, квас, су бар. Су мен сүт бөтелкеде емес.

Лимонад құйылған ыдыс құмыра мен квас құйылған ыдыстың арасында. Банкаға құйылған лимонад та су да емес. Стакан банка мен сүт құйылған ыдыстың қасында. Қандай сұйық қай ыдысқа құйылған.

 

Жасырын санды табу.

1)   924                2)  450            3)   3хх

 ххх                     ххх                     2х

      206                    630                 ххх6

                                                        хх2

9ххх

 

Жауабы:  

1)   924                2)  450            3)   351

    -                       +                          х

 718                      180                    26

      206                      630                2106

                                                  +

                                                        702

9126

1. Ақдананың ойлаған санынан ең үлкен бір таңбалы санды азайтып, нәтижеге  ең кіші екі таңбалы санды қосқанда 100 шықты. Ақдана қандай сан ойлады?

Т/қ:   (х-9) + 11 =100

          х – 9 = 99

         х = 108                  

 

Жауабы: 108.

 

Есеп:  Қанаттан «сыныпта неше қыз бала бар?» - деп сұрағанда, ол «қыз балалардың санынан ең кіші екі таңбалы санды азайтып, нәтижеге 80 – ді қосса, 88 шығады» деп жауап берді. Сыныпта неше қыз бар?

Т/қ: (х - 11) + 80= 88

        х = 19                                  

 

Теңдеуді шешу.

Ағайынды екі адамның жастарының қосындысы 30 – ға тең. Олардың әрқайсысының  жастарын табу керек, егер біреуінің жастарының   екіншісінің жасының  - не тең болса.

І сан - х

ІІ сан  - х

Т/қ: х + х = 30                                     Жауабы:

5х = 180                                                     ІІ сан -  * 36 = 12

х = 36

Жауабы:  12 жас, 18 жас

 

Есеп:

 Қазір ағасы қарындасынан 5 жас үлкен. 4 жылдан соң, олардың жастарының қосындысы 19 жас болады. Қазір қарындасы неше жаста, ағасы неше жаста?

Шешуі:

Белгілеу енгіземіз:

қарындасы – х

ағасы – х + 5

         4 жылдан соң

қарындасы – х + 4

ағасы – х + 5 + 4

 

Т/қ:     (х + 4) + (х + 5 + 4) = 19

            х +  4 + х + 9 = 19

            2х = 19 – 13

            2х = 6

            х = 3

Белгілеу енгіземіз: 

Тауық – 3х

Қозы – х

        10х =40

         х = 4                                                

Жауабы: Қозы – 4, тауық – 12

 

Есеп: Теңдеуді шешу:

2= 0,3

0,2 – 0,02 =0,15

0,02 =0,2 – 0,15

0,02 =0,05

0,002+ 0,0002х =0,02  0,05

0,002 + 0,0002х = 0,4

0,0002х = 0,4 – 0,002

0,0002х = 0,398

х =0,398 0,0002

х = 1990

 

Есеп:   Мерген.

    Мерген нысанаға 10 рет атып, 90 ұпай жинады. Оның төртеуін ондыққа, сегіздікке және жетілікке тигізді. Ол тоғыздыққа нешеуін, сегіздікке нешеуін, жетілікке нешеуін тигізді?

    Аң таппаған,

    Атынан көреді.

   Ата алмаған

   Мылтығынан көреді.

Шешуі:  7* 1 + 8 * 2 + 9 * 3 + 10 * 4 =90 болғандықтан,  жетілікке біреуін, сегіздікке екеуін, тоғыздыққа үшеуін, ондыққа төртеуін тигізгені

Тоғыз тарау иірімдерінің бүге-шігесін меңгеріп, зерде тезіне салып, керегенің көгіндей атқаратын қызметін түсіну, көген түймесін табу-есепті шешудің алтын балдағы. Оны көп, із кессең табасың. 

Міне ,бұл қазақ халқының ауыз екі тараған есебінің артықшылығы. Қазақ халқының математикалық білімінің тамыры терең. Ол қазіргі тілмен алғанда санаудың әртүрлі жүйесін,  мәселен үштік,  ондық,  тоғыздық пайдаланған.  Тоғыздық жүйе ешбір жалықта кездеспейді. Қазақтың мұра есебі – Симплекс әдісіне келсе, мүшел есебі, зекет есебі, бітір есебі, тоғыз құмалақ есебі - өз алдына бір төбе. Қазақтың қара есебі өмір қажеттілігінен туындаған. Қазақ халқының тәрбиесінің математикалық астары да түрліше.

   Олар: 1. Жұмбақ есеп

          2. Өлең есеп

          3. Ертегі есеп

Ғасырлар бойы даналығымен, өміршеңдігімен дәлелденген халықтық есептер  үлгілері- тәрбиенің қайнар көзі болып табылады. Қанша уақыт өтсе де маңызын жоймаған халықтың ұлттық мұрасын тәлім-тәрбиенің түп қазығына айналдыру – біздің де асыл борышымыз. Сондықтан халқымыздың ауыз әдебиетінде, ертегілерде, шешендік тапқыр сөздерінде, салт-дәстүрінде оқушылардың ақыл-ой зердесін тәрбиелеуде ұлттық мазмұнды есептер шығарудың маңызы зор.

    Есепке құмар бір кісі қыңырдан:

-  Жасың нешеде? – деп сұрапты. Сонда ол:

-         Менің 3 жылдан кейінгі жасымда үш еселеңіз, содан соң 3 жыл бұрынғы жасымды үш еселеңіз. Алғашқы көбейтіндіден соңғы нәтижені  шегеріңіз. Сонда менің жасымды табасыз. Ол кісі нешеде?

    Жетесінде жоқ,

    Жете сыйламайды.

3(х+3) – 3(х-3) = 3х+9 – 3х + 9 =18

Тексеруі:

18+3=21;

21 х 3 – 3 х 15 = 63 – 45 =18.

        Есеп:  «Қисынсыз жору»

Мынау бір есеп мүлде мағынасыз болып көрінуі мүмкін:

Егер 8  = 54 болса, 84 неге тең?

Осы оғаш сұрақ онша мағынасыз емес, бұл есепті теңдеу құрып шығаруға болады.

 

Шешуі: Бәлкім, сендер есепке енген сандардың ондық санау системасында жызылмағандығын аңғарған боларсыңдар - әйтпесе «84 неге тең» деген сұрақ мағынасыз болған болар еді. Белгісіз санау системасының негізі х болсын. «84» саны бұл жағдайда екінші разрядтың 8 бірлігін және бірінші разрядтың 4 бірлігін көрсетеді, яғни

                                      84 = 8х + 4

«54» саны 5х + 4 екенін көрсетеді. 8= 5х + 4 теңдеуі шығады, бұл ондық санау системасында

64 = 5х + 4 болып жазылады, бұдан х =12. Сан он екілік санау системасында жазылған,

«84» = 812 + 4 =  100. Сонымен, егер 88 = «54» болса, онда

«84» = 100

Мына түрдегі есепте осыған ұқсас шығарылады: 5  6 = 33 болғанда, 100 неге тең болады? жауабы: 81 (тоғыздық санау системасы)

 

Теңдеу біз үшін ойлайды

Егер сендер теңдеудің кей кездерде біздің өзімізден гөрі алдын  ала болжағыштығына  күмәнданатын болсаңдар, мына есепті шығарып көріңдер.

Әкесі 32 жаста, баласы 5 жаста. Қанша жылдан кейін әкесінің жасы  баласының жасынан 10 есе үлкен болады?

Ізделіп отырған мерзімді х арқылы белгілейік. х жыл өткен соңәкесі 32 + х, ал баласы 5 + х жаста болады. Әкесінің жасы ол кезде баласының жасынан 10 есе үлкен болуы себепті, мынадай теңдеу шығады:

                                      32 + х = 10 (5 + х)

Мұны шешіп, х = -2 болатынын табамыз.

«Минус 2 жылдан соң» деген «екі жыл бұрын» деген сөз. Біз теңдеу құрған  кезімізде, болашақта ешқашан әкесінің жасы баласының жасынан 10 есе үлкен бола алмайтынын ескермегенбіз – ондай қатынас тек өткен уақытта ғана болуы мүмкін еді. теңдеу бізден өткен ойлампаз болды және де өзіміз жіберіп алған ағаттықты ескертті.

 

Олимпиадалық  есептерді теңдеулер жүйесі арқылы да  шешімін табуға болады.

1. Аулада тауықтар мен лақтар бар. Олардың 19 басы және 46 аяғы бар. Аулада неше тауық және лақ бар?

Белгісізге белгілеу енгіземіз:

Бастары: тауық – х                Аяқтары:   тауық – 2х

               лақ – у                                          лақ – 4у

Теңдеулер жүйесін құрамыз

                   2у=46 – 38

                   2у=8

                   у=4

Шешімдерін зерттеу:

лақ – 4

аяқтарының саны: 2=46

Есептің жауабы: 15 – тауық

                            4 – лақ

 

Теңдеулер жүйесін құру тақырыбына: «Қаз бен түлкі» ертегісін оқи отырып,

         Логикалық есептерді шығару оқушы шығармашылығы болып табылады

 Есеп:  Мұғалім сыныпқа 11 дәптер алып келіп, әр оқушыдағы дәптер саны

               Сыныпта қанша оқушы бар?

 

Шешуі:

           37 – оқушы бар. 3 – дәптерден берген

1.     1,2,3,4,5 сандарының арасына арифметикалық таңбалар мен жақшаларды қойып, нәтижесін 1 – ге теңестіру

12

Шешуі: Барлығы – 33 тышқан бар

8                       7                      6                        5                     4                  3

«21» шешу үшін жұлдызшалардың орнына математикалық амал таңбасымен (қосу, бөлу, азайту, көбейту, жақша) нәтижесінде 21 саны шығатындай етіп, алмастыру қажет. Сонда тігінен де, көлденең де сандар қосындысы 21 – ге тең болуы тиіс.

 

2       4        5           9        1          7 = 21

9       1        7           5        3          4 = 21

5       8        2           5        3          1 = 21

6       5        1           4        2          8 = 21

7       9        7           6        1          7 = 21

=       =       =          =        =          =

21     21      21         21      21       21

Шешуі:

Көлденең:

( 2+4+5-9+1)*7=21

3-8+6-2-9+2=21

( 9+1 )*7÷5+( 3+4 ) =21

( 5+8 )+( 2*5-3)+1=21

6*5+1-4+2-8=21

( 79-76 )*( 1*7 ) =21

          Тігінен:

          ( 2+3+9-5-6 )*7=21

          4*8+1-8+5-9=21

          ( 5+6-7-2+1 )*7=21

          ( 9+2 )*5÷5+4+6=21

          ( 1+9+3-3 )*2+1=21

          ( 7*2-4+1-8 )*7=21

 

Есеп:   Қазір әкесінің жасы баласынан 10 есе үлкен, ал 10 жылдан кейін тек 4 есе ғана үлкен болады. Баласы неше жаста?

                   әкесі: 10х

Т/қ:

4х+40=10х+10

10х-4х=40-10

6х=30

Теңдеудің шешімін зерттеу: баласы – 5 жаста

10 – жылдан кейін:

баласы – 15 жаста

әкесі – 60 жаста болады.

 

Жауабы: Баласы – 15 жаста,     әкесі – 60 жаста

 

Есеп:     Бастапқыда автобуста 14 адам болды. Автобус қозғалды, одан ол тоқтады. І- ші аялдамада 6 адам кірді,8 адам шықты. Кейінгі аялдамада 7 адам шықты, 4 адам кірді. Келесі аялдамада 1 кісі кірді. Бүтін жолда кісілер қанша, аялдама қанша?

 

Шешуі:

Аялдама: 1+1+1+1=4

Адамдар: (14+ 6 )- 8- 7+ 4+ 1=10 адам

Жауабы:   4 аялдама,     10 адам.

 

Есеп. Егер сіз қай жылы туғаныңызды білгіңіз келсе:

Туған жылға 9 – ды қосып, 12 – ге бөлгендегі қалған қалдығы  

өзіңіздің туған жылыңыз (қазақша) болып шығады.

Қазақша жыл аттары:

1.     Тышқан

2.     Сиыр

3.     Барыс

4.     Қоян

5.     Ұлу

6.     Жылан

7.     Жылқы

8.     Қой

9.     Мешін

10.           Тауық

11.           Ит

12.           Доңыз

         Мысалы: Менің туған жылым 1994 жыл.

1)    1994 + 9 = 2003

     2)    ит жылы туған екенмін

ІІ. Әкем 1962 жылы туған

1)    1962 + 9=1971

2)    1971 барыс жылы

          Әріптерді цифрлармен алмастыру

1.                     Шешуі:

+                       +                               Ү=5                      

   ТҮН                254                          Н=4

       ЖЕР                608                           Т=2

                                                               Ж=6

                                                                Е=0

                                                                Р=8

2.                                  Шешуі:

х                                    х                                   

     ВВ                                 11                            Б=2

  АБВ                                            321                         В=1

+                                   +

АБВ                              321                             Г=5

 АГАВ                           3531

 

Мысалы – 1. «Алты қанат киіз үйге екі мысық келіп кірді де, бірінші керегенің түбіне екеуі балалап, әрқайсысы алтыдан балалады. Олардың бәріде мысық болып өсті де, тағыда алты – алтыдан балалады, т.с.с. осылайша әр керегенің түбіне барып балапан шықты». Сонда киіз үйден неше мысық өсіп шығады?

1.     Есепті талдау

а) Алты қанат киіз үй туралы түсінік

ә) Мысықтардың өсімталдығы туралы

б) Әр кереге түбіне әрқайсысы алтыдан мысық шығаратыны туралы түсінік беру

2.     Есепті схема сурет түрінде жазу

3.     Шығару тәсілі - әр керегенің түсіне 6 – дан балалайтын болғандықтан, әр керегедегі мысықтар санын 6 – ға көбейту.

4.     Есепті шығару: әр керегедегі мысық саны.             12+72+432+2592+15552+93312= 111972

5.     Есептің нәтижесін тексеру:

6.     Есепті зерттеу: Әр керегеде мысықтар саны өсіп 6 есеге көбейіп отырады

7.     Есептің жауабы: алты қанат киіз үйден барлығы 111972 мысық өсіп шығады 

Марат пен Жанат поезда жүріп келе жатып, терезеден бағандарды қарап отырып санайды: «бір, екі, ...» . Марат «Р» әрпіне тілі келмегендіктен, «Р» әрпі бар сандарды өткізіп жібереді де, келесі «Р» әрпі жоқ сандарды жалғастырады. Жанат «Ш»  әрпіне тілі келмейді, сондықтан «Ш»  әрпі бар сандарды өткізіп жібереді. Мараттың ақырғы бағаны «жүз» номерімен аяқталады. Бұл Жанатта нешінші номерді иеленді?

 Шешуі:

Марат 1,4,11,14, 20-29,31,34,40-49,51,54,61,64,71,74,81,84,91,94 сандарын өткізді. Сонда барлығы 36 санды өткізіді, ендеше ақырғы баған «64» санына тең.

Жанат 3,13,23,33,43,53,63,73,83,93  бағандарын өткізіп жіберді. «64» баған Жанатта «90» номер.

Жауабы: Жанаттың бағаны 90 номерді иеленді.

Еcеп:

Бір жылы жазғы каникулға (1 маусымнан 31 тамызға дейін) 14 жексекнбі келді. 31 желтоқсан жұманың қай күніне  түседі?

Маусым, шілде, және тамыз айларын 14 жексенбі күні болуы ұшін. 1 маусым мен 31 тамыз жексенбі болуы керек. 31 тамыз жексенбі болғандықтан 1 қыркүйек дүйсенбі болады. 1 қыркүйектен бастап 31 желтоқсанға дейін 30+31+30+31=122 күн. 122:7=17 және 3 қалдық шығады. Ендеше, 1 қыркүйектен 31 желтоқсанға дейін толық 17 апта  және 18 аптаның 3 күніне келеді, ал үшінші күн бұл – сәрсенбі.

х²= у²+77 теңдеуін қанағаттандыратын, барлық х  және у натурал сан жұптарын табыңдар.

Жүйелерді құрып және оларды шығарайық.

   х – у =1       2х = 78,   х = 39,  у = 77 – 39 = 38, бұдан сандар жұбы (39;38)

    х + у = 77                                                                              шығады.

   х – у =77       2х = 78,   х = 39,  у = 1 – 39 = -38,

мұнда (39;-38) бұл сандар жұбы біздің шартты қанағаттандырмайды, өйткені -38  натурал сан емес.

    х – у =11       2х = 18,   х = 9,  у = 7 – 9 = -2, бұл (9;-2) сандар жұбы

    х + у = 7                                                        да қанағаттандырмайды.                                                                       

   х – у =11       2х = 18,   х = 9,  у = 11-9 = 2,    (9;2) сандар жұбы

 

Жауабы:      Екі жұп сандарды шығардық х=39,   ал у=38 және х=9,    у=2.

 

Есеп: Үш бөлшектің алымы 1,2,3, сандарына пропорционал, ал бөлімдері 1,5,4 сандарына сәйкесінше пропорционал. Егер, осы үш бөлшектің  арифмтеикалық ортасы   тең болса, онда осы бөлшектердің ең кішісі неге тең болады?

Шешуі: х және у алымы мен бөлімінің пропорционалдық коэффициенті  болсын. Онда бірінші бөлшек  -   тең,    - екінші бөлшек,   - үшінші бөлшек.      Шарты бойынша олардың арифетикалық ортасы ( + ) :3 ,

   тең,   яғни  

( + ) :3 =    ,  бұдан х = 1,

 = .   Онда бірінші бөлшек  - ,      - үшінші бөлшек болады. Сонда шығатыны ең кіші бөлшек    -ке тең.

9(х – у) =(х+у)  ,   = 9 .

Х  және у натурал сан болғандықтан, олардың қосындысы да натурал сан.  9 – натурал сан, ендеше (х – у) – натурал сан, бұдан  х  > у .

    х+у = 9 к

    х – у = к       жүйесін шығарып аламыз, к – натурал сан.

Алгебралық қосынды тәсілін жүйеге пайдаланып,

    у = 4 к   шығарамыз, онда 5 к + 4 к = 9, к = 1, х = 5, у = 4.