Бойынша дифференциалдайық



бет1/2
Дата04.05.2020
өлшемі129.75 Kb.
  1   2





Градиент

кеңістік нүктелерінің (x,y,z) мәніне тәуелді. Скаляр болғандықтан кез келген координаттар жүйесінде белгілі бір нүкте үшін нақты мәні өзгермеуі тиіс, яғни:


(x1, x2 , x3 )  (x1, x2 , x3 ).

xi бойынша дифференциалдайық:
(x1, x2 , x3 ) (x1, x2 , x3 )

(1.51)



xi
xj

xi


  a a
 .
(1.52)

j x '
x

j i


ij ij

j

xj


(1.52) теңдеуін салыстырсақ (1.17) векторды түрлендіру




заңымен, онда

x j

компоненттері болатын бір вектор аламыз.


Бұл векторды градиенті деп атайды. Ыңғайлы болу үшін символдық түрде жазайық:


  i j
(1.53)

x y k z


немесе

x y z

(1.54)


Мұндағы  (набла) – векторлық дифференциалдық

оператор. Бұл оператордың векторлық қасиеттері бар және дербес дифференциалдау заңдарына бағынады.



f (r)  f ( x2 y 2 z 2 )
функциясының градиентін есептейік.


f (r)  i f

x

  • j f

y

  • k f ,

z

f (r) f (r) r df x .



x r x dr r
Басқа компоненттері де осыған ұқсас табылады. Сонда,


f (r)  (ix jy kz)  1 df

r df

r df ,



r dr r dr

0 dr


r r

0 r



  • радиус-вектор бағытымен бағыттас бірлік вектор. 

ұзындық өсімшесін есептеуге қолданылады:

dr idx jdy
kdz

(1.55)



 

()dr x dx y dy z dz d

, (1.56)


яғни - скаляр функциясының өзгерісі dr -дің өзгеруіне (орын ауыстыруына) сәйкес келеді.

(x, y, z)  C бетінде P және Q нүктелерін қарас-

тырайық. Екі нүкте арақашықтығы dr болсын. Онда P

нүктесінен Q нүктесіне көшкенде (x, y, z)  C функциясының бетіндегі өзгерісі:


d  ( )dr  0
(1.57)




нөлге тең. Осыдан ()  dr . нүктесіне бағытталғандықтан,

dr -дің бағыты P нүктесінен Q

dr әрқашан сол бетте

орналасады. Демек

перпендикуляр.



  сonsбетіне кез келген нүктеде






    1. сурет

Енді


dr

  c1


бетінен

  c2


бетіне бағытталсын

(12-сурет). Онда:
d c2 c1  c  ()  dr.

(1.58)


Берілген d үшін

dr -дің абсолют шамасы минималды, егер

dr   (cos=1), керісінше, берілген dr үшін  скаляр

функциясының өзгерісі максималды. Егер,

dr  

болса,

онда

векторы  скаляр функциясының ең жылдам өзгеру



бағытын көрсететін вектор.

Скаляр шаманың градиенті физикада күш өрісі мен потенциалды өріс арасындағы байланысты табуда үлкен рөл атқарады:



Күш= -  (потенциал). (1.59) Бұл гравитация және электр өрістері үшін орынды.

    1. Дивергенция

Векторлық функцияларды дифференциалдау скалярлық функцияларды дифференциалдаудың жалпы түрі болып

табылады. Мысалы: r(t) дененің кеңістіктегі t уақытағы орнын

анықтасын.





    1. сурет

Сонда (13-сурет):



dr(t) lim r(t  t)  r(t) v,

dt t0 t

v - сызықтық жылдамдық, ал  - операторын 1.6-параграфта векторлық оператор деп қарастырдық.

Енді оның векторлық және дифференциалдық қасиеттерін

пайдаланып, оның векторлық шамаларға әсерін қарастырайық.

операторының векторға скаляр көбейтіндісі:

Vx


  • Vy

  • Vz ,

(1.60)


V x y z

векторының дивергенциясы деп аталады. 1.3-бөліміндегі
V

анықтама бойынша, бұл скаляр шама. Мысалы:




 r  (i

j k )(ix jy kz)  x y z  3;



x y z x y z


rf (r) 

(xf (r))  ( yf (r))  (zf (r))  3 f (r)  r f .



x y z r


Дербес жағдай

f (r)  r n1 болса, онда

rr n1   r r n  3rn1  (n 1)r n1
0

олай болса n=-2 болғанда, онда осы шаманың дивергенциясы нөлге тең болады.



Дивергенцияның физикалық мағынасы түсінікті болу

үшін   (v) қарастырайық, мұндағы v(x, y, z) сығылатын



сұйықтың ағысының жылдамдығы,

(x, y, z)

– (x,y,z)



нүктесіндегі тығыздығы. Dxdydz – көлем элементін қарастырсақ (14-сурет), онда EFGH бетінен бірлік уақытта ағатын сұйық мөлшері:

(келген) EFGH=vxdydz, ал АВС D бетінен шығатын сұйық



мөлшері: (кеткен)

ABCD

= v



x

(v



x x

)dxdydz . Туынды





тығыздықтың біртектілігін және жылдамдықтың х координатына тәуелділігін ескереді. Осы аралықта ағып өткен сұйық мөлшері екеуінің айырмасына тең, яғни х осі бойынша:

( v )dxdydz . Қалған 4 беттен ағып өтетін сұйықтарды

x x

ескерсек, онда толық ағып өткен сұйық (уақыт бірлігінде):



x

( vx ) 

(v ) 

y y



(

z



vz ) dxdydz

 

 (v)dxdydz.


. (1.61)





    1. сурет

Толық сығылатын сұйықтық бірлік көлемнен бірлік уақытта

ағып өтетін мөлшері   (v) -ға тең. Дивергенция және



шығындылық деген атауы да осыдан.

   (v)  0

t


(1.62)

– үздіксіздік теңдеуі деп аталады.



  ( fv ) 



( fv )  ( fv ) 

( fv ) 



x x y

y z z


f v

x x



  • f

y

vy



  • f

z

vz f

vx

x



    • f vy f

y

vz

z
(1.63)

f v f   v,

мұндағы f - скаляр, ал v - векторлық функция.

Дербес жағдай. Егер   0 , онда векторы

B B


соленоидты деп аталады.

    1. Ротор




 v i v

v j v


v




y z z y z x x z

 


(1.64)


      • k v



x y

y x


  • v



 


– пайда болған теңдеу v векторының роторы деп аталады. Анықтауышты есептегенде немесе кез келген басқа

операторымен жұмыс істегенде оның дифференциалдық

табиғатын ескеру қажет. Арнайы ескертейік, диффренциалдық оператор. Жалпы жағдайда

v   - жаңа

v     v .


Егер  векторды скаляр мен векторға векторлы көбейтсек,

онда





fv

i

y

( fvz ) 



( fv

z y


)


 


f

vy f






y vz f

z z vy

(1.65)



f  v



x f v ;


y және z - компоненттері де осыған ұқсас. Сонда:
x


 fv f  v f v.

(1.66)

(1.66) теңдеуі (1.63) теңдеуінің көшірмесі.

Мысалы:

 rf (r)  f (r) r  (f (r)) r



А)







Достарыңызбен бөлісу:
  1   2




©engime.org 2020
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет