Кинетическая энергия твердого тела при движении вокруг неподвижной точки выражаются формулой



Дата12.12.2021
өлшемі18,99 Kb.
#99617
түріЗадача
Байланысты:
космический летательный аппарат окажется под влиянием момента


космический летательный аппарат окажется под влиянием момента, аналогичного моменту силы веса в классической задаче динамике твердого тела.

Таким образом, вся теория управления движениями космического летательного аппарата относительно центра масс является теорией управляемых сферических движений твердого тела. При этом выявляется интересный факт: задача управляемых сферических движений уже перестает быть математической загадкой в том смысле, что в тех случаях неуправляемого движения, когда уравнения не могут быть проинтегрированы в квадратурах; в случае управляемых движений они интегрируется.

Рассмотрим основные случаи управляемых сферических движений вокруг центра масс, практически важных в космическом полете. Данные управления выражаются голономными связями, описываемыми простейшими уравнениями, или =const, или ………………………………….

Но здесь все же придется рассмотреть класс движений при отсутствии заданных внешних активных моментов, т.е. управляемые движения Эйлера-Пуансо, и управляемые движения при наличии активных моментов. В каждом случае составляются уравнения движения и указывается метод их решения в квадратурах, что вполне достаточно для составления конкретной числовой программы движения.

Кинетическая энергия твердого тела при движении вокруг неподвижной точки выражаются формулой

(2.4)


где………-проекции мгновенной угловой скорости тела на подвижные оси координат, направленные по главным осям инерции тела для его неподвижной точки, при этом

(2.5)


(2.6)

Составим ряд выражений, потребующихся в дальнейшем при составлении уравнений движений тела в различных случаях:

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, (2.7)

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, (2.6)

Рассмотрим безпрециссионное движение, т.е. движение с установлением ( в случае Эйлера-Пуансо):

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(2.13)

Составляем уравнения движения

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(2.14)

Выписываем выражения (2.7) , (2.8) , (2.9) , (2.10) , (2.11) , (2.12) , с учетом (,,,,,,,,)*, в частности, ………., в силу отсутствия ,,,,,в выражения (2.4). Таким образом, уравнение по …. Примет вид

……………………………………(2.15)

Уравнение по ,,,,,,,,,,, напишется

………………………….(2.16)

так как в правой части второго равенства в группе (2.10) за скобу выходит множитель …… Уравнение по ……….

………………………(2.17)

Составилась система двух дифференциальных уравнений относительно искомых функции …. и …. Система решается в квадратурах. Из уравнения (2.16) вытекает интеграл

…………………………………….(2.18)

Выражая из него …… и подставляя в (2.17), приходим к уравнению

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(2.19)

Пологая ………………………..

…………………………….

где ……-правая часть (2.19). Отсюда

………….


где квадратура выражается элементарными функциями.

Само …. и затем … выразятся более сложными функциями. Затем уже из уравнения (2.15) найдется в функции времени множитель ….., выражающий управляющий момент относительно оси ….. Перейдем к изучению движения без собственного вращения, т.е. при

……………………..

Из формулы (2.7) вытекает следующее уравнение движения по …:

……………

откуда …………..



или из (2.7)

В

……………………………………….



…………………………………………………….

Из формулы (2.9) и (2.10) следует уравнение по …. :

……………………………..

……………………………………………..

………………………………….(2.21)

Из группы (2.11) и (2.12), полагая затем …………….

……………………………………..

……………………………………….(2.22)

Присоединяем интегралы энергии ……………. , или

…………………………………..

…………………..

(использование интеграла энергии возможно, строго говоря, при «пассивном» упралении).

Вся система уравнений решается в квадратурах *.

3. Управление при действующих моментах

В данном случае в виде модели процесса берем ту же классическую задачу о движении твердого тела вокруг неподвижной точки, но уже не в случае Эйлера, при отсутствии приложенных активных моментов, а при наличии момента относительно неподвижной точки, порождаемого, например, действием силы веса тела. Все отличие уравнений движения в данном случае от уравнений предыдущего параграфа будет состоять в том, что в правых частях уравнений появятся обобщенные силы, выражающиеся частными производными по обобщенным координатам от силовой функции ……… силы веса. Известно :

………………….

……..-аппликата центра тяжести тела, причем



…………………

где ………., ……………,……..,-направляющие косинусы единичного вектора оси … по отношению к подвижной системе координат ……. ,..,…

Достарыңызбен бөлісу:




©engime.org 2023
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет