Кинетическая энергия твердого тела при движении вокруг неподвижной точки выражаются формулой

Таким образом, вся теория управления движениями космического летательного аппарата относительно центра масс является теорией управляемых сферических движений твердого тела. При этом выявляется интересный факт: задача управляемых сферических движений уже перестает быть математической загадкой в том смысле, что в тех случаях неуправляемого движения, когда уравнения не могут быть проинтегрированы в квадратурах; в случае управляемых движений они интегрируется.

Рассмотрим основные случаи управляемых сферических движений вокруг центра масс, практически важных в космическом полете. Данные управления выражаются голономными связями, описываемыми простейшими уравнениями, или =const, или ………………………………….

Но здесь все же придется рассмотреть класс движений при отсутствии заданных внешних активных моментов, т.е. управляемые движения Эйлера-Пуансо, и управляемые движения при наличии активных моментов. В каждом случае составляются уравнения движения и указывается метод их решения в квадратурах, что вполне достаточно для составления конкретной числовой программы движения.

Кинетическая энергия твердого тела при движении вокруг неподвижной точки выражаются формулой

(2.4)

(2.5)

Составим ряд выражений, потребующихся в дальнейшем при составлении уравнений движений тела в различных случаях:

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, (2.7)

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, (2.6)

Рассмотрим безпрециссионное движение, т.е. движение с установлением ( в случае Эйлера-Пуансо):

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(2.13)

Составляем уравнения движения

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(2.14)

Выписываем выражения (2.7) , (2.8) , (2.9) , (2.10) , (2.11) , (2.12) , с учетом (,,,,,,,,)*, в частности, ………., в силу отсутствия ,,,,,в выражения (2.4). Таким образом, уравнение по …. Примет вид

……………………………………(2.15)

Уравнение по ,,,,,,,,,,, напишется

………………………….(2.16)

так как в правой части второго равенства в группе (2.10) за скобу выходит множитель …… Уравнение по ……….

………………………(2.17)

Составилась система двух дифференциальных уравнений относительно искомых функции …. и …. Система решается в квадратурах. Из уравнения (2.16) вытекает интеграл

…………………………………….(2.18)

Выражая из него …… и подставляя в (2.17), приходим к уравнению

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(2.19)

Пологая ………………………..

…………………………….

где ……-правая часть (2.19). Отсюда

………….

Само …. и затем … выразятся более сложными функциями. Затем уже из уравнения (2.15) найдется в функции времени множитель ….., выражающий управляющий момент относительно оси ….. Перейдем к изучению движения без собственного вращения, т.е. при

……………………..

Из формулы (2.7) вытекает следующее уравнение движения по …:

……………

откуда …………..

В

……………………………………….

Из формулы (2.9) и (2.10) следует уравнение по …. :

……………………………..

……………………………………………..

………………………………….(2.21)

Из группы (2.11) и (2.12), полагая затем …………….

……………………………………..

……………………………………….(2.22)

Присоединяем интегралы энергии ……………. , или

…………………………………..

…………………..

(использование интеграла энергии возможно, строго говоря, при «пассивном» упралении).

Вся система уравнений решается в квадратурах *.

3. Управление при действующих моментах

В данном случае в виде модели процесса берем ту же классическую задачу о движении твердого тела вокруг неподвижной точки, но уже не в случае Эйлера, при отсутствии приложенных активных моментов, а при наличии момента относительно неподвижной точки, порождаемого, например, действием силы веса тела. Все отличие уравнений движения в данном случае от уравнений предыдущего параграфа будет состоять в том, что в правых частях уравнений появятся обобщенные силы, выражающиеся частными производными по обобщенным координатам от силовой функции ……… силы веса. Известно :

………………….

……..-аппликата центра тяжести тела, причем