Сборник задач по алгебре Часть Иррациональные, тригонометрические, показательные



Pdf көрінісі
бет1/18
Дата05.04.2020
өлшемі1,19 Mb.
#61597
түріСборник задач
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   18
Байланысты:
3m


Федеральное агентство по образованию 
Российской Федерации 
 
НАЦИОНАЛЬНЫЙ  ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ  ЯДЕРНЫЙ  
УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Сборник задач 
по алгебре 
 
Часть 2.  Иррациональные, 
тригонометрические, показательные 
уравнения и неравенства. Прогрессии 
 
В помощь учащимся  10–11 классов  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва  2009 

УДК   512(076) 
ББК   22.143я7 
С23 
 
Сборник  задач  по  алгебре.  Часть 2.  Иррациональные, триго-
нометрические,  логарифмические  уравнения  и  неравенства.  Про-
грессии.  В  помощь  учащимся  10–11-х  классов/  О.В.  Нагорнов,  А.В. 
Баскаков, О.Б. Баскакова, С.А. Гришин, Н.В. Мирошин, Р.Р. Резванов.  
М.: НИЯУ МИФИ, 2009. –  160 с. 
 
Данная книга является второй частью пособия, составленного в соот-
ветствии  с  программой  углубленного  изучения  математики  в  10–11-х 
классах. Сборник включает задачи, относящиеся к тригонометрическим и 
логарифмическим  уравнениям  и  неравенствам,  а  также  прогрессиям.  За-
дачи  сгруппированы  по  трем  уровням  сложности.  В  некоторых  разделах 
даны  краткие  теоретические  сведения.  Задачи  второй  и  третьей  группы 
сложности  могут  быть  использованы  при  проведении  математических 
олимпиад.   
Пособие  предназначено  для  слушателей  подготовительных  курсов,  а 
также  поможет  подготовиться  к  олимпиадам,  поступлению  в  физико-
математические    лицеи  и  НИЯУ  МИФИ.  Учителя  могут  использовать 
данное пособие для подготовки к занятиям. 
 
Рекомендовано редсоветом МИФИ 
в качестве учебного пособия 
 
Рецензент   проф.  Н. А. Кудряшов    
 
 
© Национальный исследовательский ядерный 
   университет «МИФИ», 2009 
 
 ISBN   978-5-7262-1171-8 
 
 
 
  
Редактор   Е. Н. Кочубей       
Макет подготовлен Е. Н. Кочубей   
Подписано в печать 15.07.2009.          Формат 6084 1/16.  
Изд. №  068-1.  П.л. 10,0.  Уч.-изд. л. 10,0.   Тираж  4500 экз.  Заказ № 
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ».  
115409, Москва, Каширское ш., 31 

 

 
 
 
СОДЕРЖАНИЕ
 
 
 
I. Тригонометрия  ............................................................................. 4 
1. Начала тригонометрии ............................................................. 7 
2. Тождественные преобразования тригонометрических 
    выражений .............................................................................. 16 
3. Обратные тригонометрические функции  .............................. 20 
4. Тригонометрические уравнения  ............................................ 26 
5. Тригонометрические системы уравнений  ............................. 44 
6. Тригонометрические неравенства  ......................................... 47 
II. Логарифмические и показательные уравнения  
   и неравенства .............................................................................. 55 
1. Тождественные преобразования ............................................ 55 
2. Показательные и логарифмические уравнения  ..................... 68 
3. Показательные и логарифмические неравенства  .................. 78 
4. Системы показательных и логарифмических уравнений....... 84 
5. Уравнения и неравенства с параметрами  .............................. 86 
6. Построение графиков ............................................................. 93 
III. Понятие функции, область определения, область 
   значений, свойства функций  ...................................................... 95 
1. Область определения функции ............................................... 95 
2. Область значения функции  .................................................... 98 
3. Четность и нечетность функции  .......................................... 103 
4. Периодичность  ..................................................................... 105 
IV. Прогрессии  ............................................................................ 107 
1. Арифметическая прогрессия  ............................................... 107 
2. Геометрическая прогрессия  ................................................. 116 
Ответы  ......................................................................................... 123 
 
 
 

 
 

I. 
ТРИГОНОМЕТРИЯ 
 
Для решения задач данной темы необходимо вспомнить триго-
нометрический  круг  (рис.  1.1)  и    ,     
  тождественных .  
 
 
 
I. Знаки тригонометрических функций по квадрантам. 
 
   
1-  
(0–90


2-  
(90–180


3-  
(180–270


4-  
(270–360


 


 
 
 

 
 

 

 

 
 

 

 
 
(    "+"  ""  .)
 

 

II. Формулы приведения. 
 
 
-α 
90

α 
180

α 
270

α 
360

α 
sin 
-sinα 
cosα 
sinα 
-cosα 
sinα 
cos 
cosα 
sinα 
-cosα 
sinα 
cosα 
tg 
-tgα 
ctgα 
tgα 
ctgα 
tgα 
ctg 
-ctgα 
tgα 
ctgα 
tgα 
ctgα 
 
III. Тригонометрические функции основных углов. 
 
 
0

 
30

 
45

 
60

 
90

 
180

 
270

 
360

 
sin 

2
1
 
2
2
 
2
3
 


-1 

cos 

2
3
 
2
2
 
2
1
 

-1 


tg 

3
1
 

3
 
 

 

ctg 
 
3
 

3
1
 

 

 
 
IV. Соотношения между тригонометрическими функциями 
одного угла
. 
sin
2
α + cos
2
α =1; 
;
 
 
cos
sin 
  
=
  
 
tg



  
;
 
sin 
 
cos
  
=
  
 
ctg



 
;
 
1
  
=
  
 
ctg
 
tg



  


 
  
=
  
 
cos
1
sec



 
  
=
  
 
sin
1
cosec

 
;
 
 
cos
1
  
=
  
 
sec
 
=
  
 
tg
1
2
2
2



  
+
 
     

 
sin
1
  
=
  
 
cosec
  
=
  
 
ctg
1
2
2
2




   
 
V.  Формулы  тригонометрических  функций  сумы  и  разно-
сти углов

sin (α + ) = sincos + cossin; 
sin (α – ) = sincos – cossin; 
cos (α + ) = coscos – sinsin; 
сos (α – ) = coscos + sinsin;   

 
 

;
 
 
tg
 
tg
1
 
tg
tg
  
=
  
)
 
 
(
 
tg










       

 
tg
 
tg
1
 
tg
tg
  
=
  
)
 
 
(
 
tg










 
VI. Тригонометрические функции двойного и тройного угла. 
sin 2α = 2sincos α; 
cos 2α = cos
2
 – sin
2
 = 1 – 2sin
2
 = 2cos
2
 – 1; 
2
2
cos
1
cos
2




;                 
;
2
2
cos
1
sin
2




 
        
;
 
tg
1
tg
2
  
=
  
2
 
tg
2




 
sin 3α = 3sin – 4sin
3
;     
cos 3α = 4cos
3
 – 3cos. 
 
VII. Тригонометрические функции половинного угла. 
;
2
α
cos
1
2
α
sin



       
;
2
α
cos
1
2
α
cos



 
;
 
 
cos
1
 
cos
1
 
2
 
tg







       
;
 
sin 
 
cos
1
  
=
  
 
cos
1
sin 
2
 
tg








 
;
 
sin 
 
cos
1
  
=
  
 
cos
1
sin 
  
=
  
2
 
ctg







      
;
 
2
 
tg
  
+
  
1
2
 
tg
2
sin
2



  
=
  
 
            

2
 
tg
1
2
 
tg
1
cos
2
2





  
=
  
 
 
 
VIII.  Формулы  преобразования  суммы  тригонометриче-
ских функций в произведение
. 
;
2
cos
2
sin
2
sin
sin









 
 
 
 
=
  
 
 
 
 
;
2
sin
2
cos
2
sin
sin








 
  
  
+
  
 
 
  
=
  
 
 
 
 
;
2
cos
2
cos
2
cos
cos









 
 
 
 
=
  
 
 
 
;
2
sin
2
sin
2
cos
cos










 
  
 
  
=
  
 
 
 
;
 
 
cos
 
cos
)
 
 
(
sin 
  
=
  
 
tg
 
tg









        
;
 
 
cos
 
cos
)
 
 
(
sin 
  
=
  
 
tg
 
tg









 

 

;
2
cos
2
cos
1
2
 
 
  
=
  
 



               
.
 
 
=
  
 
2
sin
2
cos
1
2



 
 
IX. Формулы преобразования произведений тригонометри-
ческих функций
 в сумму. 


 
 
 
  
=
  
 
 
)
sin(
)
sin(
2
1
cos
sin













;
)
cos(
)
cos(
2
1
cos
cos
 
 
 
 
 
 











 


.
 
 
 
 
 
 
)
cos(
)
cos(
2
1
sin
sin











 
 
1. 
Начала тригонометрии 
 
– А – 
 
1.1.    Перевести  угол  из  градусной  системы  измерения  в  ради-
анную и отметить угол на тригонометрической круге. 
1) 30; 
2) –45; 
3) 90; 
4) 150; 
5) –240; 
6) 300; 
7) –120; 
8) –540; 
9) 135; 
10) 1500; 
11) –270;  12) –22,5; 
13) 105;   14) 200; 
15) –315. 
 
1.2. Перевести угол из радианной системы измерений в градус-
ную и отметить угол на тригонометрическом круге. 
1) 
6


2)
3
2


3) ; 
4) 
4
3

5) 
6
5

6) 
2
3


7) –3; 
8) 
4
17

;  9) 
6
17
 
10) 
6
13

;   
11) 
4
7

12) 
3
10

;  13) 
12
7

14) 
18
11

15) 
24
121

 
1.3. Найти синусы углов. 
1) 30; 
2) –45; 
3) 90; 
4) 150; 
5) –240; 
6) 300;  7) –120; 
8) –540; 
9) 135; 
10) 1500; 
11) –270. 
 

 
 

1.4. Найти косинусы углов. 
1) 
6


2)
3
2


3) ; 
4) 
4
3

5) 
6
5

6) 
2
3

;  7) –3; 
8) 
4
17

;  9) 
6
17
 
10) 
6
13

;   
11) 
4
7
;  12) 
3
10


 
1.5. Вычислить значения функции у = f(x) в точке х = х
0

1) у = sin2x + cos3x
4
0


x
;    
2) 

















x
x
y
3
sin
6
tg

6
7
0


x

3) y = sin
2
x + cos
2
2x
12
0



x

4) 

















x
x
y
4
cos
4
sin

12
0


x

5) y = sin5x cos3x
8
0


x

1.6. Вычислить. 
1) sin(450) + cos(–690)sin(780); 
2) ctg150tg240 + sin(1260); 
3)
);
960
sin(
2
1
)
15
cos(
)
105
sin(




 
4) cos
2
(570) : sin
2
(–840); 
5) sin(–105) + sin(–915). 
 
1.7.  На  тригонометрическом  круге  отметьте  точки,  соответст-
вующие сериям. 
1) kk  ℤ; 
2) 
п



2
2
n  ℤ; 
3) 
k




2
3
k  ℤ; 
4) 
m




2
4
3
m  ℤ; 

 

5)  + 2nn  ℤ; 
6) 
п



2
3
2
n  ℤ; 
7) 
k




4
3
k  ℤ; 
8) 
m



2
2
m  ℤ; 
9) 
2
6
k



k  ℤ; 
10) 
2
3
п




n  ℤ; 
11) 
3
2
m



m  ℤ; 
12) 
3
3
2
k




k  ℤ; 
13) 
3
n



n  ℤ; 
14) 
k
k




2
)
1
(
k  ℤ; 
15) 
n
n




2
)
1
(
n  ℤ;  16) 
k
k





3
)
1
(
1
k  ℤ; 
17) 
n
n





3
2
)
1
(
1
n  ℤ. 
1.8. Найти знак sinx, если: 
1) 









;
2
x

2) 











2
;
2
3
x

3) 









2
3
;
x

 
1.9. Найти знак tgх, если: 
1) 









0
;
2
x

2) 
;
2
3
;









x
 
3) 











;
2
3
x

 
Вычислить. 
1.10.  1) sin, если 
5
4
cos



 и 










;
2

2) cos, если 
13
12
sin



 и 










2
;
2
3

3) sin, если 
3
2
cos


 и 










0
;
2

4) cos, если 
3
2
2
sin



 и 










2
3
;


 
 
10
5) sin, если  
7
5
3
cos



и 










;
2

 
1.11.  1) sin, если 
5
12
tg



 и 










2
;
2
3

2) sin, если 
35
12
tg



 и 










;
2

3) cos, если 
3
4
ctg 

 и 










2
3
;

4) cos, если 
3
10
2
tg 

 и 










2
5
;
2

5) sin, если 
5
39
ctg



 и 












2
;

1.12.  1) Знак 
,
2
sin

 если 
)
2
 
;
(





 2) знак 
,
2
cos

 если 
)
0
 
;
( 




 3) знак 
,
2
tg

 если 










2
;
2
3

 4) знак 
,
2
ctg

 если 








2
;
3

 
1.13. 1) 
,
2
cos

 если 
17
15
2
sin


 и 










;
2

 2) 
,
2
tg

 если 
25
24
sin



 и 










2
3
;

 3) 
,
2
sin

 если 
49
31
cos


 и 












2
;

 4) 
,
2
ctg

 если 
29
21
cos



 и 






3
;
2

 

 
11 


Достарыңызбен бөлісу:
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   18




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет