Тақырып: Кездейсоқ шамалар Дәрiстің мақсаты

Тақырып: Кездейсоқ шамалар

Дәрiстің мақсаты:

• Кездейсоқ шамалардың үлестiрiм заңдарымен және сандық сипаттамаларымен таныстыру.

Қарастырылатын сұрақтар:

• 1. Кездейсоқ шамалар және үлестiрiм заңдары.
• 2. Дискреттiк кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары.
• 3. Кездейсоқ шаманың үлестiрiм функциясы және оның қасиеттерi.
• 4. Кездейсоқ шаманың үлестiрiм тығыздығы және оның қасиеттерi.
• 5.Үзiлiссiз кездейсоқ шамалар.
• 6. Үзiлiссiз кездейсоқ шаманың негiзгi үлестiрiм заңдары.
• 7. Үзiлiссiз кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары.

Анықтама.

• Кездейсоқ себептен тәуелдi, алдын-ала белгiсiз бiр мүмкiн мәндi тәжiрибе нәтижесiнде қабылдайтын шама кездейсоқ деп аталады.

Анықтама.

• Мәндерi саналатын жиын құратын шама (элементтерiн нөмiрлеуге болатын жиын) дискреттiк кездейсоқ шама деп аталады.

Анықтама.

• Кездейсоқ шаманың мүмкiн мәндерi мен сәйкес ықтималдықтары арасындағы қатынасты тағайындайтын заң кездейсоқ шаманың үлестiрiм заңы деп аталады.
•  

Дискреттiк кездейсоқ шаманың үлестiрiм заңы кесте арқылы берiледi:

• мұнда

• =1.

Анықтама.

• Дискреттiк кездейсоқ шаманың математикалық үмiтi деп оның мүмкiн мәндерi мен сәйкес ықтималдықтарының көбейтiндiлерiнiң қосындысы аталады:

Анықтама.

• Кездейсоқ шама мен оның математикалық үмiтiнiң айырмасы ауытқу деп аталады:

• =

• Х – М(Х)

Анықтама.

• Кездейсоқ шаманың дисперсиясы деп шаманың өз математикалық үмiтiнен ауыткуының квадратының математикалық үмiтi аталады:

• =

• М[X - M(X)]2.

Дисперсияны есептеу үшiн келесі формуланы қолдану ыңғайлы:

Анықтама.

• Кездейсоқ шаманың орта квадраттық ауытқуы деп дисперсияның квадрат түбiрiне тең шама аталады:

Математикалық үмiттің негiзгi қасиеттерi:

• 1. М(С) = С
• 2. М(С*Х) = С М(Х)
• 3.М(ХУ) = М(Х)  М(У)
• 4. М(Х*У) = М(Х)* М(У)

Дисперсияның негiзгi қасиеттерi:

• 1. D(С) = 0
• 2. D(СХ) = С2D(Х)
• 3. D(ХУ) = D(Х) +D(У)

Анықтама.

• Кейбiр шектелген немесе шексiз интервалдан кез келген мән қабылдайтын шама үзiлiссiз кездейсоқ шама деп аталады.

Анықтама.

• Х

• кездейсоқ шамасының ықтималдықтарының үлестiрiм функциясы

• деп х-тiң әрбiр мәнi үшiн Х -кездейсоқ шамасы х-тен кем мән қабылдау ықтималдығын анықтайтын функция аталады:

Үлестiрiм функциясының қасиеттерi:

• 1. Функция мәндерi [0,1] кесiндiсiне тиiстi:

• .

• 2. Үлестiрiм функциясы кемiмейтiн функция:
• егер х2> х1 болса

• .

• 3. Егер Х кездейсоқ шамасының барлық
• мүмкiн мәндерi (а;в) интервалына тиiстi
• болса, онда х  а болғанда
• F(x)=0 және х  в болғанда F(x)=1.
•  

• Салдар 1.

• Салдар 2.

• Х үзiлiссiз кездейсоқ шамасының нақты
• бiр мән қабылдау ықтималдығы нольге тең.

• Салдар 3.

• Егер Х - кездейсоқ шамасының мүмкiн мәндерi осьтiң барлық бойында орналасса, онда

• F(x)=0,

• F(x)=1.

Анықтама.

• Үлестiрiм функциясының туындысы ықтималдықтар үлестiрiмiнiң тығыздығы деп аталады:

Теорема.

• Х- үзiлiссiз кездейсоқ шамасының интервалынан мән қабылдау ықтималдығы мына формуламен анықталады:

Үлестiрiм тығыздығының негiзгi қасиеттерi:

• 1. Үлестiрiм тығыздығы терiс емес функция: f(x) 0.
• 2. Интегралдау шегi барлық сан осi болғанда үлестiрiм тығыздығының меншiксiз интегралы бiрге тең:

Үздіксіз кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары:

• анықтама бойынша

• - теорема бойынша

Кездейсоқ шамалардың үлестірім заңдары.

Биномдық үлестiрiм заңы.

• Бұл заң бойынша Х – n тәуелсiз тәжiрибелерде оқиғаның пайда болу саны кездейсоқ шамасы үлестiрiмдi. Ол 0, 1, 2,…, m,…, n мәндерiн мына ықтималдықпен қабылдайды:

• мұнда

• m =0,1,…, n.

Пуассон үлестiрiм заңы.

• Х - n тәуелсiз тәжiрибеде сирек оқиғаның пайда болу саны кездейсоқ шамасы мәндерiн қабылдау ықтималдығы:

• , где

• =

• =

• m =0,1,…,n.

Геометриялық үлестiрiм заңы.

• Х - n тәуелсiз тәжiрибеде ең алғаш рет оқиға пайда болғанға дейiнгi тәжiрибелер саны. Ол 1,2,…, m,… мәндерiн мына ықтималдықпен қабылдайды:

• =

• , где

• m =1, 2,…

Гипергеометриялық үлестiрiм заңы.

• N объектiнiң iшiнде М объектiде альтернативтi қасиет бар болсын. Сонда Х- кездейсоқ алынған n объектiнiң iшiнде осы қасиетi бар элементтер саны. Х-тiң m мәнiн қабылдау ықтималдығы мынаған тең:

• =

• мұнда

• m =0,1,2,…,
• min(n;M).

Бiрқалыпты үлестiрiм заңы –

• кездейсоқ шаманың мүмкiн мәндерiнiң интервалында үлестiрiм тығыздығы өзгермейтiн үлестiрiм:

Көрсеткiштiк (экспоненталық) үлестiрiм заңы –

• – параметрi болатын үлестiрiм,
• егер ықтималдықтар тығыздығы
• мына түрде болса:

Қалыпты үлестiрiм заңы (Гаусс заңы)

• параметрлерi а және , егер оның ықтималдықтар тығыздығы мына
• түрде болса:

Параметрлерi а=0, σ =1 болатын кездейсоқ шаманың қалыпты

• Параметрлерi а=0, σ =1 болатын кездейсоқ шаманың қалыпты
• үлестiрiм заңы стандартты немесе мөлшерленген деп аталады.

• Мөлшерленген үлестiрiмнiң
• ықтималдықтар тығыздығы мына түрде болады:

• функциясы Лапластың локалдық
• функциясы деп аталады.

• Теорема.

• Қалыпты заңмен үлестiрiмдi Х - кездейсоқ шамасының

• М(Х) = а, D(Х) =

• 2.

• 2

• 2.

• Х қалыпты үлестiрiмдi шамасы

• интервалына тиiстi мән
• қабылдау ықтималдығы:

• мұнда

• Ф (х) – Лаплас интегралдық
• функциясы.

• 2.

• Қалыпты кездейсоқ шаманың
• өз математикалық үмiтiнен ауытқуы

• шамасынан кем болу
• ықтималдығы мынаған тең: