1 Матрица рангісі және кері матрица туралы тусінік. Сызықтық теңдеулер жуйесін шешу жолдары
жүктеу/скачать 87,88 Kb.
|
1 2
Байланысты:Алгебра және сандар теориясы пәні бойынша лекция
| 2. Кері матрица.
Анықтама. Анықтауышы нөлге тең матрицаны ерекше матрица деп, ал керісінше жағдайда ерекше емес матрица деп атайды. Элементтері К сақинасында болатын квадраттық А матрицасы үшін Х матрицасы табылып, АХ=ХА=Е орындалса, онда А матрицасын қайтарымды матрица деп, Х-ті оның кері матрицасы деп атап, А-1 арқылы белгілейміз. Сонымен, анықтама бойынша А* А-1=А-1*А=Е. А және А-1 ауыстырылымды матрица болғандықтан, (А-1)-1=А Егер А,В,С n-реттегі квадраттық қайтымды матрицалар болса, онда А,В АВС матрицалары да қайтымды матрицалар болады және (ÀÀ)-1=À-1,À-1, (ÀÀÑ)-1=Ñ-1À-1 À-1 теңдіктері орынды. Анықтама. А матрицасының әрбір элементін сәйкес алгебралық толықтауышымен ауыстырып және оған матрицаның элементтерінің орын ауыстыру (транспозициялау) амалын қолданғандағы шыққан матрицаны А матрицасына қосалқы матрица деп атап, төмендегідей белгілейміз. d арқылы А матрицасының анықтауышын белгілейік. Анықтауыштың жолдың бағананың элементтері арқылы жіктеу формуласынан Теңдігінің орындалатыны белгілі. Енді А ерекше емес матрица болса, онда À* матрицасының да ерекше емес матрица болатынын жіне оның анықтауышының А анықтауышының (n-1) дәрежесіне тең болатынын көреміз. dd*=d" Егер d онда d*= dn-1; Енді кез келген ерекше емес матрицаның кері матрицасының бар екендігін және оның түрін анықтау қиын емес. Ол үшін (1) теңдікті d-ға бөлеміз(d Сонда:
Кері À-1 матрицаның анықтауышы А матрицасының анықтауышының кері шамасына тең. Берілген шаршы матрицаға кері матрица табу үшін: Берілген матрицаға сәйкес анықтауышын табамыз. матрицасын транспонирлейміз, яғни -ны табамыз. Транспонирленген матрицасының алгебралық толықтауыштарын тауып, олардан одақтас матрицасын құрамыз. Кері матрицаны формуласы арқылы есептейміз. Табылған кері матрицаның дұрыстығын теңдігі арқылы тексереміз. өлшемді матрицасының әр жолын , - жол вектор, әр бағанын , - баған вектор ретінде қарастыруға болады. Егер бәрі бірдей қатарынан нөлге тең болмайтын нақты сандары табылып, берілген матрицаның жолдары үшін (1) теңдігі орындалатын болса, онда ол жолдар сызықты тәуелді деп аталады, былай жазылады: Егер (1) теңдік тек ғана барлық болғанда орындалатын болса, онда матрицаның жолдары сызықты тәуелсіз деп аталады. Теорема: Кез келген матрица үшін оның сызықты тәуелсіз жолдар саны сызықты тәуелсіз бағандар санына тең болады. Матрицаның сызықты тәуелсіз жолдарының (бағандарының) ең үлкен саны, оның рангы деп аталады және түрінде белгіленеді. Теорема: Егер матрицаның нөлден ерекше -ші ретті миноры болып, оны қоршайтын ретті минорлардың барлығы нөлге тең болса, онда ол матрицаның рангы - болады. Матрица рангысының қасиеттері. 10) Матрицаны транспонирлегеннен оның рангы өзгермейді. 20) Матрицаның жолын (бағанын) ауыстырғаннан оның рангы өзгермейді. 30) Матрицаның бір жолының (бағанының) барлық элементтерін бірдей санға көбейткеннен оның рангы өзгермейді. 40) Матрицаның бір жолына (бағанына) басқа жолдың (бағынының) сәйкес элементтерін бірдей санға көбейтіп қосқаннан оның рангы өзгермейді. 50) Матрицаның бір жол (баған) элементтері толығымен нөлге тең болғанда, оны алып тастағаннан рангы өзгермейді. 60) Егер матрицаның бір жолы (бағаны) басқа жолдардың (бағандардың) сызықты комбинациясы болғанда, оны алып тастағаннан, матрицаның рангы өзгермейді. Егер жолдары ( бағандары) үшін бәрі бірдей қатарынан нөлге тең болмайтын ( ) сандары табылып ( ) теңдігі орындалатын болса, онда ( ) - ( ) жолдардың (бағандардың) сызықты комбинациясы деп аталады. жүктеу/скачать 87,88 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|
1 2