1 такырып. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер ұғымы Дәрістің мақсаты
Айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеулер және оларға келтірілетін теңдеулер
жүктеу/скачать 190,26 Kb.
|
Дәріс 1
| 2. Айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеулер және оларға келтірілетін теңдеулер
Бірінші ретті дифференциалдық теңдеуді мына түрде жазуға болады. , (1) Дифференциалдық теңдеудің бұлай жазылуының артықшылығы мынада: (1) теңдеуінде х пен у айнымалылары тең құқықта қатысады. Айталық, функцияларын және түрінде жазуға мүмкіндік болсын. Сонда (1) теңдеуді айнымылылыры ажыратылатын деп атайды. Енді теңдеуінің екі жағын көбейтіндісіне бөлсек: (2) теңдеуі шығады. (2) теңдеуде х пен у айнымалылары ажыратылған :dx дифференциалының алдындағы коэффициент тек қана х- ке, ал dy алдындағы - тек қана у- ке байланысты .Осындай түрде берілген теңдеу айнымалылары ажыратылған теңдеу деп аталады . Мысалы, теңдеулері. Дербес жағдайда, айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеулерге мына теңдеулер жатады: (7а) Соңғы (7а) теңдеуі – айнымалылары ажыратылған теңдеу деп аталады. 1- мысал . дифференциалдық теңдеуін шешу керек . Шешуі: Айнымалыларды ажыратсақ: Соңғы теңдеуді интегралдасақ : Бұл жерде және бұдан былай да ыңғайына қарай отырып С тұрақтысын ерікті түрде жазамыз: логарифмі де кез келген тұрақты болады. Сөйтіп теңдеудің жалпы шешімін табу үшін соңғы теңдік потенциалдау керек: 2-мысал. теңдеуі берілген. Оның барлық шешімдерін табу керек. Шешуі: Берілген теңдеу – айнымалылары ажыратылатын теңдеу. Оны көбейтіндісіне мүшелеп бөлеміз: Енді интегралдаймыз: яғни (мұнда тұрақтысы - мен ауыстырылған). Бұдан Ал бұдан жалпы шешімді аламыз: Сол сияқты теңдеуін де қарастырамыз. Бірақ бұл теңдеудің шешімі (y=0) берілген теңдеудің ерекше шешімі болмайды, себебі ол С=0 болғанда жалпы интегралдан алынады. Жауабы: мұндағы С – кез келген тұрақты. 3-Мысал. теңдеуінің x=0,y=-1 бастапқы шартты қанағаттандыратын дербес шешімін табу керек. Шешуі: Бұдан, берілген теңдеу – айнымалылары ажыратылатын теңдеу екенін көреміз. Айнымалыларын ажырату үшін бұл теңдеудің барлық мүшелерін өрнегіне бөлеміз: Енді интегралдасақ: деп белгілеп, берілген теңдеудің жалпы интегралына келеміз: Бұған x=0,y=-1 бастапқы шартты қоямыз: бұдан C=2. Сонда y(0)=-1 бастапқы шартты қанағаттандыратын дербес шешім мына түрде болады: Жауабы: 4-Мысал теңдеуінің жалпы интегралын және ерекше шешімін табу керек. Шешуі: Берілген теңдеуді мына түрде жазамыз: Екі жағын -ке бөліп,dx-ке көбейтеміз: Интегралдасақ: Сонда жалпы интеграл: Ерекше шешімді алу үшін теңдеуін қарастырамыз. Бұдан y=0. Бұл шешім – ерекше шешім, себебі ол С тұрақтысының ешқандай мәнінде жалпы шешімнен алынбайды. Жауабы: және y=0. жүктеу/скачать 190,26 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|