15.Функцияның үзіліссіздігі. Нүктеде және сегментте үзіліссіз функциялардың қасиеттері. Вейерштрасстың теоремалары
Теорема (функцияның үзіліссіздігі туралы Вейерштасс теоремасы). Егер y f (x) функциясы тұйықталған a;b аралығында үзіліссіз болса, онда осы аралықтағы мәндердің арасында функцияның ең үлкен және ең кіші мәндері болады.
1-теорема (Вейерштрасс). Кесіндіде үзіліссіз функция осы кесіндіде шектеулі.
Дәлелдеуі. кесіндісінде үзіліссіз функциясы осы кесіндіде шектелмеген деп ұйғарайық. Онда Енді деп болатын тізбегін түземіз. Бұл тізбегі шектеулі, демек, Больцано-Вейерштрасс теоремасы бойынша жинақталатын ішкі тізбек бөліп алуға болады. Айталық , болсын. Ал болғандықтан . Сонымен бірге функциясы үзіліссіз болғандықтан . Бұлай болуы мүмкін емес, өйткені теңсіздігінен және екені шығады. Бұл қайшылық теореманы дәлелдейді.
2-теорема (Вейерштрасс). Кесіндіде үзіліссіз функция осы кесіндіде өзінің ең үлкен және ең кіші мәндерін қабылдайды.
Басқаша айтқанда,
Дәлелдеуі. Дәлелдеуді тек дәл жоғарғы шекара үшін ғана жүргізсек болғаны, өйткені
Айталық, болсын. Бізге болатын кесіндісінен нүктесінің табылатынын көрсетсек болғаны. Керісінше, ондай нүкте жоқ деп ұйғарайық. Онда 3 параграфтың 1-теремасы бойынша функциясы кесіндісінде үзіліссіз және осы кесіндіде Ал 1-теорема бойынша функциясы шектелген, яғни Мұнан Бұлай болуы мүмкін емес, өйткені саны функциясын жоғарыдан шектейтін сандардың ең кішісі. Бұл қайшылық теореманы дәлелдейді.
16.Үзіліссіз функцияның астынан шекке көшу. Күрделі функцияның үзіліссіздігі.
теңдігінен ( ) болғандықтан депте жазуға болады. Бұдан үзіліссіз функция белгісінің астына шекке өтуге болатынын көреміз.
Күрделі функцияның үзіліссіздігі Теоремасы: Егер u=f(x) функциясы x0 нүктесінде үзіліссіз және u0=f(x0), ал z=g(u) функциясы u0 нүктесінде үзіліссіз болса, онда күрделі функция x0 –нүктесінде үзіліссіз болады
17.Функцияның бірқалыпты үзіліссіздігі. Кантор теоремасы.
Анықтама Егер кез келген шартын қанағаттандыратын Х аралығының кез келген екі нүктесі және үшін теңсіздігі орындалса ,онда функциясы Х аралығында бірқалыпты үзіліссіз деп аталады.
Кантор теоремасы:Егер f функциясы кесіндісінде үзіліссіз болса , онда ол кесіндіде бірқалыпты үзіліссіз болады.
Дәлелдеуі: Қарсы жору тәсілімен дәлелдейік.Айталық қандай да бір мен кез келген үшін нүктелері табылып , ,ал болсын.Енді ақырсыз кіші , тізбегін қарастырайық.Жоғарыда айтылған бойынша әрбір үшін , нүктелері табылып |-|< ал, (1)
болады. тізбегі шенделген демек, Больцано Вейерштрасс теоремасы бойынша,одан кесіндісінің кейбір нүктесіне жинақталған тізбекшесін бөліп шығаруға болады.
Достарыңызбен бөлісу: |
