3- тақырып. Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу әдістері Анықтама

мұндағы - жүйенің коэффициенттері, нақты сандар, - белгісіз шамалар, - бос мүшелер, .

Сызықты теңдеулер жүйесінің коэффициенттерінен анықталған мына матрицалар

,

сәйкес жүйе матрицасы және жүйенің кеңейтілген матрицасы деп аталады.

Кемінде бір шешімі бар теңдеулер жүйесі үйлесімді деп, ал шешімі жоқ теңдеулер жүйесін үйлесімсіз деп атайды.

Тек қана бір шешімі бар жүйені анықталған, ал бірден артық шешімі бар жүйені анықталмаған деп атайды.

Егер барлық бос мүшелері болса, онда жүйе бiртектi, ал ең болмағанда бос мүшелердiң бiреуi нөлге тең болмаса ол бiртектi емес деп аталады.

Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу әдістерін қарастырайық.

1. 
   Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін Крамер
   

болса, онда сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімі Крамер формулаларымен табылады:

мұндағы , , .

(1.3) теңдеуінің екi жағын солдан матрицасына көбейтеміз, сонда

.

(1.4)

(1.4) – сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін кері матрица көмегімен шешу формуласы.

матрицасы жүйенің кеңейтілген матрицасы деп аталады.

теңдеулер жүйесiн қарастырайық, мұндағы

Осы теңдеулер жүйесiнiң кеңейтiлген матрицасын элементарлық түрлендiрулер арқылы сатылы матрица түрiне келтiруге болады.

Мысалы, бiр айнымалыны таңдап аламыз (көбiнесе ) және оны, осы айнымалының алдындағы коэффициенттердi және сол айнымалы бар теңдеудi шешушi деп атаймыз. Егер шешушi коэффициент бiрден өзгеше болса, онда шешушi теңдеудегi барлық коэффициенттердi осы шешушi коэффициентке бөлiп, қалған барлық теңдеулерден шешушi айнымалыны жоямыз. Содан кейiн келесi шешушi айнымалыны таңдап аламыз (көбiнесе ), шешушi теңдеудi шешушi коэффициентке бөлемiз және қалған теңдеулерден осы шешушi айнымалыны жоямыз. Осы процестi әрi қарай жалғастырамыз. Осы процесс кезiнде түрiндегi теңдеу кездессе, мұндай теңдеудi немесе кеңейтiлген матрицадағы осыған сәйкес барлығы нөлден тұратын жолды алып тастауға болады. Себебi бұл теңдеудi кез келген сандар жиыны қанағаттандырады.

түріндегi теңдеу немесе кеңейтiлген матрицада барлық элементтерi нөлден тұратын, бiрақ соңғы элементi нөл емес жатық жол кездесуi мүмкiн. Онда бұл теңдеудiң, сонымен қатар берiлген теңдеулер жүйесiнiң шешiмi жоқ, яғни жүйе үйлесiмсiз.

Сонымен, берілген матрицаны, кеңейтiлген матрицаның жатық жолдарын элементарлық түрлендiрулер арқылы, сатылы матрицаға келтiремiз:

Бұл матрицаға төмендегі теңдеулер жүйесi сәйкес келедi:

мұндағы

(1.6) теңдеулер жүйесiнiң соңғы теңдеуiнен белгiсiздi басқа белгісіздері арқылы өрнектеймiз. Содан кейiн белгісізін жүйенiң соңғы теңдеуінiң алдындағы теңдеуге қойып белгiсiзi арқылы өрнектеймiз, содан кейiн белгiсiздердi осылай табамыз. Сонымен бос айнымалыларға кез келген мәндер берiп, жүйенiң шексiз көп шешiмдерiн аламыз.

Е с к е р т у. Егер сатылы матрица үшбұрышты болса, яғни онда берiлген жүйенiң тек қана бiр шешiмi болады. Соңғы теңдеуден белгiсiздi тауып, оны соңғы теңдеудiң алдындағы теңдеуге қойып -ді, тағы солай жалғастырып айнымалыларын табамыз.

Бір жүйені осы қарастырылған әдістермен шешейік.

1-мысал. теңдеулер жүйесін шешу керек.
Шешуі. 1) Крамер формулаларымен шешу:

Жүйенің матрицасының анықтауышын есептейік.

Кері матрица бар. Барлық алгебралық толықтауыштарды табайық.

Жауабы: