3-4 желтоқсан 2013 жыл мектепішілік олимпиада 8-сынып І тур
жүктеу/скачать 65,36 Kb.
|
олимпиада
|
3-4 желтоқсан 2013 жыл мектепішілік олимпиада 8-сынып І тур 1. Бірдей әріптерге бірдей цифрлар сәйкес болатын КИС+КСИ=ИСК ребусын шешу керек. Шешуі: С+И саны К-ға бітіп, ал И+С саны С-ға бітіп тұрғандықтан С+И екі орынды сан. Екі цифр қосылғанда тек 0-дік немесе 1-лік ондық болғандықтан С=К+1 болады. И+С саны С цифрымен біткендіктен және оған ойдағы 1 қосылғандықтан И=9 болуы керек. Олай болса, К+К саны И-мен аяқталғандықтан және оған ойдағы бір қосылып 9 болғандықтан К=4 болады. Сонда КИС=495 болады. Жауабы: КИС=495 2. AD=AB+CD шартымен ABCD дөңес төртбұрышы берілген. А бұрышының биссектрисасы ВС қабырғасының ортасынан өтеді. D бұрышының биссектрисасы да ВС қабырғасының ортасынан өтетінін дәлелдеңдер. Шешуі: АК=АВ болатындай AD-дан К нүктесін аламыз. Сонда ВК АО болады. Ендеше ВО=OC=KO болады. Енді KD=AD–AK=AD–AB=CD. Олай болса OCDK – дельтоид. Осыдан OD KDC бұрышының биссектрисасы екендігі шығады. 3. Үймекте 20 тас жатыр. Екі ойыншы кезегімен үймектен тастарды алып отыр. Бір жүргенде 1-ден 3-ке дейін тас алуға болады. Тас жетпеген ойыншы ойыннан қалады. Ойыншының қайсысы (1-ші ме, 2-ші ме), қарсыласының қалай ойнағанына қарамастан, ойынды жеңіп алады? Шешуі: Әрбір ойында төрт тастан кетіп отырғанда, ең соңғы ойында төрт тас қалады және бірінші ойыншы жүру керек болады. Сонда екінші ойыншыға тас қалады да, бірінші ойыншыға тас қалмайды. Жауабы: 1-ші ойыншы жеңіске жетеді. 8-сынып ІІ тур 1. (a+b)(b+c)(a+c)=2013 теңдеуі дұрыс болатындай a, b, c натурал сандары табыла ма? Шешуі: a, b, c натурал сандар болғандықтан a+b, b+c, a+c сандары да натурал болады. 2013=3∙11∙61 болғандықтан, a Жауабы: Берілген теңдік орындалатындай a, b, c натурал сандары да табылмайды. 2. Қоймада құрамында 99% су болған 100 кг жидек сақтаулы. Сақтау мерзімі ұзарғанның салдарынан жидектің құрамындағы су 98% -ға төмендеген. Жидектің салмағы неше килограмм болады? Шешуі: 100 кг жидекте 99 кг су және 1 кг мейіз болады. Сақтау мерзімі ұзарғанымен мейіз салмағы өзгермейді. Ендеше y судың салмағы 98% тең болса, x=y+1 100%-ға тең болады. Осыдан (1+y)∙98=100∙y, y=49 кг су болады. x=1+49=50 кг жидек болады. Жауабы: Жидектің салмағы 50 кг. 3. L және К сәйкесінше ABCD тіктөртбұрышының АВ және ВС қабырғаларының орталары, ал Р – CL және AK кесінділерінің қиылысы. KPC=30o екені белгілі болса, LDK бұрышын табыңдар. Шешуі: LC –ға параллель AQ жүргіземіз. Сонда KAQ бұрышы мен LDK бұрышы өзара тең болады. KPC бұрышы мен KAQ бұрышы өзара тең болғандықтан KAQ бұрышы мен KDL бұрышына тең. Ендеше жауабы: KDL=30о. 9-сынып І тур 1. x2-y2-x+y=10 теңдеуін натурал сандар жиынында шешіңдер. Шешуі: Бұл теңдеудің сол жағын көбейткіштерге жіктей отырып (x-y)(x+y-1)=10 теңдеуін аламыз. Сонда {x-y=1 x+y=11 немесе {x-y=2 x+y=6 теңдеулер жүйесі шығады. Осыдан x=6, y=5 немесе x=4, y=2 шешімдері шығады. 2. ABCD (AB||CD) тең бүйірлі трапецияның диагоналдары О нүктесінде қиылысады. P, Q, R нүктелері – AO, DO, BC кесінділерінің орталары. АОВ=60о тең болса, онда PQR теңбүйірлі үшбұрыш екендігін дәлелдеңдер. Шешуі: Берілгені: AD=CB , DC||AB AP=PO, DQ=QO, CR=RB, АОВ=60о Дәлелдеу керегі: PQR теңбүйірлі үшбұрыш Дәлелдеу: DOC тең қабырғалы. Осыдан QC DO. Ендеше CQB тік бұрышты үшбұрыш. Сонда QR=RB=12CB=12AD=PQ. 3. Кезкелген n>1 натурал саны үшін a+b=c+d=ab-cd=4n болатындай a,b,c,d натурал сандары табылатынын көрсетіңдер. Шешуі: {a+b=4n c+d=4n ab-cd=4n жүйесін қарастырамыз. Егер a=4n-b, c=4n-d болса, онда (4n-b)b-(4n-d)d=4n болады. Осыдан (b-d)(4n-b-d)=4n болады. Егер b-d=2, 4n-b-d=2n деп алсақ, a=3n-1, b=n+1, c=3n+1, d=n-1 екендігі шығады. 9-сынып ІІ тур 1. 1∙2∙3∙…∙98∙99∙100 саны қанша нөлмен аяқталады? Шешуі: Берілген 100! саны (k рет 0) түрінде жазылсын делік, сонда 100!= ∙10k, мұндағы ar≠0. Ал 10k=(2∙5)k=2k∙5k болады. Ендеше біз 100! санында 5-тің қанша дәрежесі бар екенін білуіміз керек. Осыны есептейік:
Сонымен 100! санында 5-тің 24 дәрежесі бар. Яғни 100! саны 24 нөлмен бітеді. 2-нің дәрежесі 5-тің дәрежесінен көп болғандықтан 2-нің дәрежесін есептеудің қажеті жоқ. 2. АВС үшбұрышының К және Р нүктелері ВН биіктігінің Н нүктесіне АВ және ВС қабырғалары бойынша симметриялы. АВ және ВС қабырғаларымен (немесе олардың жалғасымен) КР кесіндісінің қиылысу нүктелері АВС үшбұрышының биіктіктерінің табандары екенін дәлелдеңдер. Шешуі: ВCA=α, BAC=β болсын. ВКР–теңбүйірлі үшбұрыш. Сонда ВРК=α=ВНР. ВРК=(π-(2π-2α-2β))/2=α+β-π2. КРН= ВРН– КРВ=α-(α+β)+π2=π2-β=NHP. BHN= BHP– NHP=α-(π2-β)=α+β-π2= BAN. HNC=π2- NHP=π2-(π2-β)=β. Сонда BNH=π-β. Бұдан ABNH төртбұрышына сырттай шеңбер сызуға болады. Ендеше АНВ=π2 ANB=π2. 3. Отрядта 40 баланың 30-ы жүзу біледі, 27-сі шахмат ойнай алады, тек бесеуі ғана жүзуді де, шахмат ойнауды да білмейді. Қанша бала жүзуді де, шахмат ойнауды да біледі? Шешуі: Ж – жүзуді білетін балалар жиыны, Ш – шахмат ойнай алатын балалар жиыны. Сонда бізге |Ш∩Ж| шамасын табумыз керек. Ол үшін біз кіріс-шығыс формуласын қолданамыз. |Ш∪Ж|=|Ш|+|Ж|–|Ш∩Ж| | Ш∪Ж | шамасын есептеу оңай, себебі барлығы 40 бала, олардан тек бесеуі ғана жүзуді де, шахмат ойнауды да білмейді. Сондықтан | Ш∪Ж |=40–5=35. Ендеше 35=27+30–|Ш∩Ж|. Бұдан |Ш∩Ж|=22. Яғни 22 бала жүзуді де, шахмат ойнауды да біледі. 10-сынып І тур 1. a, b,c нақты сандары үшін a+b+c=0 және a4+b4+c4=50 болатындай ab+bc+ca мәнін анықтаңдар. Шешуі: 0=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+ac+bc). Осыдан -2(ab+ac+bc)=a2+b2+c2≥0. Ендеше ab+ac+bc≤0 болады. Енді (a2+b2+c2)2=4(ab+ac+bc)2 a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=4(a2b2+a2c2+b2c2+2abc(a+b+c)) a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) a2b2+a2c2+b2c2=25 Ендеше 4(ab+ac+bc)2=100 (ab+ac+bc)2=25 ab+bc+ca=-5. 2. (x-1)(y-1)(z-1) формуласымен есептелген сан xyz-1 формуласымен есептелген санға бөлінетіндей 1 Осыдан (x-1)(y-1)(z-1)=abc , ал xyz-1=(a+1)(b+1)(c+1)-1=abc+ab+ac+bc+a+b+c болады. Ендеше abc 3. Үшбұрышқа іштей сызылған шеңбер АВС үшбұрышының АВ және АС қабырғаларын, сәйкесінше M және N нүктелерінде қияды. Р нүктесі MN түзуімен В бұрышының биссектрисаның (немесе оның жалғасының) қиылысы болсын. ВРС бұрышының тік бұрыш екенін дәлелдеңіз. Шешуі: NCO= OCB=α, OBC= OBM=β POC=α+β. NOC=π2-α NOP=π2-α-(α+β)=π2-2α-β. BOM=π2-β MON=π-(π2-β)-π2+2α+β=2α+β. ONM=π2-α-β PNC=α+β NPO=π-(π2-2α-β)-π2-α-β=α ONPC төртбұрышына сырттай шеңбер жүргізуге болады. ОС диаметр. Ендеше ВРС= ОРС=π2. 10-сынып ІІ тур 1. x1∙x2∙…∙xn=1 және x1,x2,…,xn>0 болатын кез келген x1,x2,…,xn сандары үшін (1+x1)(1+x2)…(1+xn)≥2n теңдігі орындалатынын дәлелдеңдер. Шешуі: Арифметикалық орта мен геометриялық ортаны байланыстыратын Коши теңсіздігін пайдаланамыз. Ол келесі теңсіздік y1+y2+...+ynn≥ny1∙y2∙…∙yn Сонда кез келген 1≤і≤n үшін x1x2∙∙∙xi+x1x2∙∙∙xi-1xi+1+...+xn-i+1…xn-1xn≥(n i )(x1x2∙∙∙xn)n-i+1=(n i ) болады. Ендеше (1+x1)(1+x2)…(1+xn)=1+(x1+x2+…+xn)+(x1x2+x1x3+…+xn-1xn)+ +…+(x1x2…xi-1xi+x1x2…xi-1xi+1+…+xn-i+1…xn-1xn)+…+x1x2…xn≥ ≥(n 0 )+(n 1 )+(n 2 )+…+(n i )+…+(n n-1 )+(n n )=(1+1)n=2n болады. 2. Тең қабырғалы АВС үшбұрышының С нүктесінен кез келген түзу жүргізілген. К жене М нүктелері А және В нүктелерінің осы түзудегі проекциялары. Р АВ кесіндісінің ортасы КМР үшбұрышының тең қабырғалы екенін көрсетіңіз. Шешуі: МР=KP екені түсінікті. СВК=α болсын. АС=СВ=АВ=а болсын. Сонда MC=a∙sin (60o-α) , CK=a∙sinα, бұдан MK=a(sinα+sin (60o-α) ) екені шығады. PK2=BK2+BK2-2BK∙PK∙cos (60o+α)= =a2cos2α+a2sin230o-2a2∙cosα∙cos60o∙cos(600+α)=a2cos2α+a24-a2cosα∙cos(600+α)= =a2cos2α+a24-a2(cos2α2-32cosα∙sinα)=a2(14+cos2α2+32cosα∙sinα)= =a24(2cos2α+1+23cosα∙sinα). MK2=a2(sinα+32cosα-12sinα)2=a2(12sinα+32cosα)2=a24(sin2α+23sinαcosα+3cos2α)= =a24(2cos2α+1+23cosα∙sinα). PK2=MK2 PK=MK 3. x3-y3=xy+61 теңдеуінің натурал сандарда шешімін табыңдар. Шешуі: x>y болғандағы x=y+a натурал сан болады, a>0. Ендеше (y+a)3-y3=(y+a)y+61 теңдігінен (3a-1)y2+(3a2-a)y+a3-61=0 квадрат теңдеуін аламыз. Оның натурал түбірі болу үшін дискриминанты толық квадрат болуы тиісті. D=(3a2-a)2-4(3a-1)(a3-61)=(3a-1)(3a3-a2-4a-244) a=1 D=222 ; y1,2=-2±224; y1=5; x1=6; y2=-6N a=2 D=5∙232 D N a=3 D=8∙118 D N a=4 D=14∙194 D N a=5 D=11∙164 D N a=5 D<0 және a≥6 D<0 Сонда жалғыз ғана шешім: (x;y)=(6;5) болады. 11 сынып 1 тур 1. n2+n+5 саны толық квадрат болатындай барлық n натурал сандары табыңыз. Шешуі: n2+n+5=m2 болсын. Сонда m>n болады. Осыдан m=n+a, a ϵ N. n2+n+5=n2+2an +a2=> n+5=2an+a2=> (2a-1)n=5-a2 => a2<5 => a≤2 a=1 => n=4; a=2 => 3n=1 => n=13 N. 2. Қосындыны есептеңдер: 11+12+14+21+22+24+…+1001+1002+1004 Шешуі: Осы қосындының жалпы мүшесінің формуласын табайық. Ол n1+n2+n4 өрнегімен есептелінеді. Бұл бөлшек функция. Оны қарапайым бөлшек функциялардың қосындысына жіктейміз. Ол үшін 1+n2+n4=(1+n+n2)(1-n+n2) екенін көреміз. Сонда n1+n2+n4=(11-n+n2-11+n+n2)∙12 екені шығады. Олай болса қосынды S=12(11-13+13-17+17-113+…+11002-100+1-11002+100+1)=12(1-11002+100+1)= =12∙1010010101=505010101 . Жауабы: 505010101 11 cынып ІІ тур 1. Кез келген x саны үшін x8+x2+1-x5-x>0 теңсіздігі орындалатын дәлелдеңдер. Шешуі: x≤0 болғанда бұл теңсіздіктің ақиқаттығы белгілі. Енді x>0 болсын. Онда 0 2. АВС үшбұрышы берілсін. Г шеңбері А төбесі арқылы өтіп ВС қабырғасын Р нүктесінде жанайды. Сонымен қатар Г шеңбері АВ және АС қабырғаларын, сәйкесінше M және N нүктелерінде қияды. MP және NP тең болуы үшін Г шеңбер АВС үшбұрышына сырттай сызылған шеңбермен жанасуы қажетті және жеткілікті екенін дәлелдеңдер. Шешуі: MP̆=NP̆ болсын. Онда MP=NP болады. Сонымен бірге АР ВС-ға перпендикуляр болғандықтан AMP= ANP=900 болады. Яғни АМР үшбұрышы мен ANP үшбұрышы тең. AM=AN болғандықтан АР биссектриса. Сонымен бірге АР биіктік. АВС тең бүйірлі үшбұрыш. Олай болса Г∩ОАВС={A}. Енді Г шеңбері ОАВС сырттай сызылған шеңбермен жанассын. Ол жанасу нүктесі, әрине, А нүктесі болады. АР – Г шеңберінің диаметрі, ендеше ОАВС шеңберінің диаметрі ВС қабырғасына перпендикуляр. Олай болса АВ=АС және ВР=РС. Ендеше MP=NP, бұдан MP̆=NP̆. 3. x6+3x2+1=y2 теңдеуін бүтін сандарда шешіңдер. Шешуі: f(x,y)=x6+3x2+1-y2 функциясын қарастырамыз. Сонда f(x,y)=f(-x,y)=f(x,-y)=f(-x,-y) болғандықтан x,y>0 деп алсақ болады. (x,y)=(0,0) шешім емес екені түсінікті. Теңдеуден y>x3>0 екені түсінікті. Ендеше y=x3+a болсын. Сонда 3x3+1=2ax3+a2 параметрлі теңдеуі шығады, мұндағы a>0. a=1 3x3=2x3 x=0. Ендеше (0,1); (0,–1) шешімдері болады. Егер a≥2 болса 2x3a>3x2, a2>1. Бұл жағдайда теңдеуді қанағаттандыратын x>0 саны табылмайды. жүктеу/скачать 65,36 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|