A: m { —> m 2 метрикалық M
жүктеу/скачать 73,23 Kb.
|
диффур кз
|
Коши есебін шешуге арналған жергілікті болмыс пен бірегейлік теоремасы Липшиц жағдайы. A: M { —> M 2 метрикалық M { ( метрикалық pj ) кеңістігінен M 2 метрикалық кеңістігіне (p 2 метрикасымен ) салыстыру болсын, ал L оң нақты сан болсын. Анықтама 2.11. A кескіні Липшиц шартын тұрақты L (жазбаша A e LipL ) егер ол M x кеңістігінің екі нүктесі арасындағы қашықтықты L еседен аспайтын болса : p 2 (Ax, Ay) << Кез келген x, y e M , үшін Epj (x, y) . Егер дисплей Сондай -ақ, M j метрикалық кеңістігінің әрбір х нүктесінде Липшиц шарты қандай да бір тұрақты L x қанағаттандырылатын U x маңайы болады , яғни . кез келген y, z e U x үшін p 2 (/1x, Ay ) < L v p { (x, y) екені рас болса , онда А картасы жергілікті Липшиц шартын (жазбаша A e ) қанағаттандырады деп айтамыз. locLip ). Қысылған дисплей A : M —> M. A: M —> M салыстыруды келесідей анықтаймыз : (2.6) теңсіздігінің арқасында (m, x + h{ m, x)) e K x нүктесі және, демек, v өрісінің анықталу облысына жатады . 2.4 теорема. Егер a' мәні жеткілікті түрде аз болса, онда (2.7) өрнек M кеңістігінің өзіне сығылған кескінін анықтайды. Дәлелдеу. 1. Соны көрсетейік A M -ді өзіне аударады . Ah функциясы үзіліссіз болады, өйткені параметрге үздіксіз тәуелді үзіліссіз функцияның интегралы параметрге және жоғарғы шекке үздіксіз тәуелді болады. Бізде бар: Сонымен , AM мен М. 2. Карталау екенін көрсетейік Және қысылған, яғни. || Ah x - Ah 2 < A||/g, - h 2 кейбір 0 < A. < 1. Шынында да, мұндағы Vj = v(x, x + h,( m, x)), i = 1, 2. Бірақ тұрақты m үшін u( m, x ), L тұрақтысы бар Липшиц шартын (екінші аргумент бойынша) қанағаттандырады. Сондықтан, Содан кейін La ' < 1 үшін салыстыру келісім-шартқа жатады. 2.5 теорема (Коши есебін шешуге арналған жергілікті болмыс пен бірегейлік теоремасы). (2.5) дифференциалдық теңдеудің оң жағы кеңейтілген фазалық кеңістіктің нүктесінің (t 0 , x 0 ) маңайында үздіксіз дифференциалданатын болсын. Сонда t 0 нүктесінің көршілестігі сонша , бұл маңайда ( 2.5 ) теңдеудің шешімі х бастапқы нүктесінен бастап бастапқы шартымен анықталған және бірегей болады . Дәлелдеу. Бар болу. Қысылған дисплей Ал , қысқарту кескіндеу теоремасы бойынша h ∈ M тіркелген нүктесі бар. Біз орнаттық және демек Содан кейін Тұрақты үшін g екенін көреміз x (2.5) теңдеуін қанағаттандырады, ал t = t 0 үшін g(? 0 , x) = x бастапқы шартын қанағаттандырады. h e M болғандықтан g функциясы үздіксіз . Бірегейлік. φ және φ 2 жалпы бастапқы шарты φ,(?<)) = φ r ( A))> 1 1 - t 0 < a үшін анықталған жұп шешімдер болсын. 0 < a' < a болсын. қояйық Бізде бар Жеткілікті аз a' үшін нүктелер (m, φ > m )), (m, φ 2 (m)) цилиндрде жатыр, мұнда v e LipZ .. Сондықтан ||φ, - φ 2 || < La ' ||- φ 2 ||, осыдан La ' < 1 үшін || φ} - φ 2 || = 0. Осылайша, шешімдер φ! және f 2 нүктенің кейбір төңірегінде ? 0 сәйкестік. Ескерту 2.1. Теореманы дәлелдеуден, кеңейтілген фазалық кеңістіктің (/. 0 , x 0 ) нүктесінің кейбір маңайындағы v функциясының үздіксіз дифференциалдану шартының орнына Липшиц шартын талап ету жеткілікті болғаны анық. осы маңайдағы фазалық айнымалыға қатысты қанағаттандыру. Ескерту 2.2. (? 0 , x 0 ) нүктесінің маңайындағы v(t, x ) функциясының үздіксіздік шарты Коши есебінің шешімі бар екеніне, ал v' x ( t, x ) үзіліссіздігі шарты Нүктенің көршілестігі ( ? 0 , x 0 ) оның бірегейлігіне кепілдік береді. 2.1-мысал Коши есебін x' = [x^, g(0) = 0 қарастырайық. Шешім. v(t, x) = fx ^ функциясы бүкіл жазықтықта үздіксіз және for форманың барлық нүктелерінде үздіксіздік бұзылады (t, 0). Осылайша, (0; 0) бастапқы нүктенің маңайында 2.5 теоремасының шарттары орындалмайды. Мұны тексеру оңай Қойылған Коши есебінің екі шешімі бар: x t =0 және dg 2 = мұнда b 1 . 2.2-мысал Коши есебін x ' = --, q;(0) = 0 қарастырайық. X Шешім. v( t,x ) = функциясының үздіксіздігі форманың барлық нүктелерінде бұзылған X ((; 0). Берілген дифференциалдық теңдеуді интегралдасақ, аламыз осыдан дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін табамыз Осылайша, x(0) = 0 бастапқы шарттары бар Коши есебінің шешімі жоқ. 2.3-мысал X Коши есебін қарастырайық x ' = ~> - g (0) = 0. Шешім. Берілген дифференциалдық теңдеуді интегралдасақ, аламыз осыдан дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін табамыз Осылайша, кез келген үшін дифференциалдық теңдеудің барлық шешімдері С (0; 0) нүктесі арқылы өтеді (Коши есебінің шексіз көп шешімдері бар). Коши мәселесін шешуге арналған ғаламдық болмыс және бірегейлік теоремасы Коши есебін шешу үшін локальды бар болу және бірегейлік теоремасын пайдаланып, интегралдық қисық сызығының ашық қақпағын қарастырып, жергілікті шешімдерді желімдей отырып, мынаны шешу үшін келесі ғаламдық бар болу және бірегейлік теоремасының дәлелін алу қиын емес. Коши мәселесі. 2.6 теорема (Коши мәселесін шешуге арналған ғаламдық болмыс пен бірегейлік теоремасы). (2.3) жүйесі қарастырылып, G ашық жиын « Kx болсын Y n және f & C(G, Y"). Оған қоса, функциясы G - дегі фазалық айнымалыға қатысты жергілікті Липшиц шартын қанағаттандырады делік . Сонда кез келген Коши есебінде бірегей максималды кеңейтілген шешімі бар , және кез келген басқа шешім Коши мәселесі - бұл максималды жалғасатын шешімді кішірек интервалға шектеу. Ескерту 2.3. Фазалық айнымалыларға қатысты / үзіліссіз дифференциалданудан жергілікті Липшиц шарты ,/e болатыны шығады. locLip /G). Ескерту 2.4. Ғаламдық болмыс теоремасы мен Коши мәселесінің шешімінің бірегейлігінен максималды кеңейтілген шешім болатын интервал әрқашан ашық болатыны шығады. Жалпы жүйені (2.1) қалыпты жүйеге (2.2) келтіру бізге жалпы жүйелер үшін келесі теореманы береді. 2.7 теорема (жалпы жүйелер үшін Коши есебін шешуге арналған ғаламдық болмыс және бірегейлік теоремасы). Егер G кеңейтілген фазалық кеңістіктің ашық жиыны болса және f x , / 2 , ..., /„ функциялары фазалық айнымалыларға қатысты жартылай туындыларымен бірге үздіксіз болса, онда кез келген Коши есебінің бірегей максималды кеңейтілген шешімі болады. . Кез келген басқа шешім - көрсетілген шешімнің кішірек интервалға тарылуы. Сызықтық жүйенің максималды кеңейтілген шешімдерінің әрекеті туралы келесі теореманы дәлелсіз келтіреміз. Теорема 2.8. (2.3) жүйе бастапқы шартпен (2.4) және бірдей шектеулермен зерттелсін : G ашық, функциясы / үзіліссіз және фазалық айнымалыға қатысты G жергілікті Липшиц шарттарын қанағаттандырады. Φ : / - " Y" Коши есебінің (2.3) - (2.4) максималды кеңейтілген шешімі болсын.Одан кейін t интервалдың қандай да бір соңына қарай ұмтылатындықтан, φ шешімінің графигінің сәйкес нүктесі кез келген нүктені қалдырады . G-де жататын ықшам жиын . Осылайша, егер / = (a; (3)), кез келген ықшам D C G үшін a' және (3' мәндері болады, сондықтан a < a ' < (3' < (3)) және кез келген t e (a; a') және (3'; (3) ( t , f(?)) g D екені рас . Анықтама 2.12. Қалыпты жүйе (2.1) сызықты деп аталады, егер екі шарт орындалса: 1) G ауданы ерекше пішінге ие: G = I x Y n / интервалында теріс емес үздіксіз нақты (скаляр) функциялар M(t) және N(t) бар, кез келген жұп (?, y) e G үшін бұл рас 2.9 теорема (сызықтық дерлік жүйенің максималды кеңейтілген шешімі бойынша). Коши есебін шешу үшін ғаламдық болмыс пен бірегейлік теоремасының шарттары орындалсын, ал (2.1) жүйесі дерлік сызықты болсын. Сонда бұл жүйенің кез келген максималды кеңейтілген шешімі I интервалында анықталады. Ескерту 2.5. Басқаша айтқанда, дерлік сызықтық жүйелер үшін барлық максималды кеңейтілген шешімдер бір интервалда, атап айтқанда, берілген теңдеудің интервалында анықталады. Сызықты емес және дерлік сызықты емес жүйелер әртүрлі интервалдарда әртүрлі максималды кеңейтілген шешімдерге ие болуы мүмкін. жүктеу/скачать 73,23 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|