Өзін-өзі бақылауға арналған сұрақтар

1. 
   Жазықтықтағы аффиндік координаттар жүйесі.
   
2. 
   Кеңістіктегі аффиндік координаттар жүйесі.
   
3. 
   Аффиндік реперлер
   

1. 
   Түзудің кесінділік теңдеуі
   

3. Параллель түзулердің ара қашықтығы

4. Түзулердің арасындағы бұрыш

Әдебиеті: [1], [3], [4].

№12 -13 сабақ.

Тақырып: Векторлық кеңістіктер, ішкі кеңістіктер. Өлшемі және базисы. Біртектес сызықтық теңдеулер жүйесінің шешулерінің фундаментальді жүйесі.

Сабақтың мақсаты: Студенттерге векторлардың сызықты тәуелділігі туралы түсінік беру. Векторлар жүйесінің базисі және ранг қасиеттерін баяндау. Студенттерге Евклид кеңістігі,оның нормасы, ортонормалданған векторлар жүйесі және базис, ортогонал толықтауыш түсінігін беру. Евклид кеңістігінің негізгі қасиеттерімен таныстыру

Қарастыратын сұрақтар:

1. 
   Векторлардың сызықты тәуелділігі.
   
2. 
   Векторлар жүйесінің базисі және ранг.
   
3. 
   Базис бойынша векторларды бөліп- ажырату.
   

б) Евклид кеңістігінің нормасы және оның қасиеттері.

в) Ортонормалданған векторлар жүйесі және оның қасиеттері.

г) Ортонормалданған базисте координаттарымен өрнектелген екі вектордың скаляр көбейтіндісі

д) Ортогонал толықтауыш

е) Евклид кеңістігінің изоморфтылығы.

Әр түрлі есептерді шығарған кезде, бір вектормен ғана емес кейбір бір тектес векторлар жиынымен әрекеттер жасауға тура келеді.Мұндай жиынды векторлар жүйесі деп атайды да, оларды бір әріппен және реттік нәмірмен белгілейді:

а₁,а₂,....,а_к (1)

1-анықтама. (1)өрнектегі векторлардың сызықтық комбинациясы деп мына түрдегі векторлады атайды:

b=λ₁а₁+λ₂а₂ +λ_ка_к (2)

Мұндағы,λ₁,...λ_к-кез-келген нақты сандар.

Мысалға айталық үш вектор берілсін, а₁=(1,2,0),а₂=(2,1,1)және а₃=(-1,-1,-2). Олардың 2,3 және 4 коэффициенттерімен бірге сызықтық комбинациясы: b=(4.15.-5)

(2)-теңдігіне сәйкес b векторы (1) вектор жүйесі арқылы сызықты өрнектелінеді немесе осы векторлар бойынша бөлініп ажырайды делінеді.

λ₁а₁+λ₂а₂+...+λ_к а_к=0 (3)

онда (1) векторлар жүйесі сызықты тәуелді деп аталады.

Егер (3) теңдігі (4) векторлар жүйесі үшін мына: λ₁=λ₂₌....=λ_к=0 жағдайда ғана орындалса, онда осы векторлар жүйесі сызықты тәуелсіз делінеді.

Айтйлық (1) векторлар жүйесі сызықты тәуелді векторлар (3) қосындысын λ_s-коэффициенті нөлге тең емес(λ_s=0) қосындыларын таңдап алып, оларды басқа қосындылар арқылы өрнектейік:

а_s=- λ₁а₁/ λ_s- λ₂а₂ / λ_s -....- λ_s-1а_s+1/ λ₂-....- λ_к а_к / λ_s

Теңдіктен (1.7) сызықты тәуелді векторлар жүйесінің бір векторы, осы жүйенің басқа бір векторы арқылы өрнектелгені (немесе басқа векторлар бойынша бөлініп ажырағаны) байқалады.

1. Бір вектордан тұратын жүйе – сызықты тәуелді.

2. Нөлдік векторы бар жүйе әрқашанда – сызықты тәуелді.

3. Бірнеше векторлардан тұратын жүйе, векторлардың ішінде басқалармен сызықты өрнектелетін бір вектор болған жағдайда ғана сызықты тәуелді бола алады.

Геометриялық тұрғыдан қарасақ екі өлшемді векторлар жазықтықта, ал үш өлшемді векторлар кеңістікте сызықты тәуелді болуы мүмкін екені белгілі.Бір векторды екінші бір вектормен өрнектеген жағдайда:

а₂= λа₂ бұл векторлар коллинеарлы делінеді, яғни олар параллельді жазықтықта жатады, яғни олар компланарлы делінеді.Арнайы көбейткіштер арқылы осы векторлардың ұзындықтарын бейнелеу және біреуін екеуінің қосындысымен немесе солармен өрнектеу үшін түзету (енгізу) жеткілікті.

Төмендегі теорема осы айтылған мәселелер жөнінде маңызды.

1-теорема. Rⁿ кеңістікте m векторларды ұстайтын кез келген жүйе мына m>n жағдайда сызықты тәуелді.

Векторлар жүйесінің базисі және ранг.

а₁,а₂,....,а_к –векторлар жүйесін қарастырайық.Жекелеп жиналған векторлар жүйесі және мынадай екі жағдайды қанаңаттандыратын:а) жиындардың векторлары сызықты тәуелсіз;б) жүйенің кез келген векторы осы жиындағы векторлрмен сызықты өрнектелетін векторлар осы жүйелердің максималь тәуелсіз қосымша жүйесі деп аталады.

Берілген векторлар жүйесінің барлық максимальды тәуелсіз қосымша жүйелері бір векторлар санын құрайды деп бекітілген теорема нақты. Векторлар жүйесінің максимальды тәуелсіз қосымша жүйедегі векторлар базистік деп, ал базиске кірген векторлар базистік векторлар деп аталады.Векторлар жүйесінің базистік векторларының саны олардың рангі делінеді.

Мысалға, мына векторлар жүйесінің:

А₁=( а₁₁,а₁₂,.. ..,а_1n)

А₂=( а₂₁,а₂₂,.. ..,а_2n)

..............................

А_m=( а_m1,а_m2,.. ..,а_mn)

А=[5 4 3 2

3. 
   3 2 2
   

8. 
   1 3 -4]
   

Екінші ретті минор:[5 4

3. 
   3]
   

[5 4 3 [5 4 2

3 3 2 3 3 2

8 1 3 ]=118-118=0; 8 1-4]=2(59-59)=0.

Сондықтан максимальды сызықты тәуелсіз қосымша жүйе екі кез келген векторлардан тұрады, ал үшінші вектор олардың сызықтық комбинациялары.

Базис туралы түсінік n өлшемді векторлардың шексіз жиынтықтарынан тұратын кеңістіктегі Rⁿ –де бөлініп-ажырайды.

3-анықтама. n векторлар жүйесі Rⁿ кеңістікте базис деп аталады ,егер

1.осы жұйенің векторлары сызықты тәуелсіз болса

2. Rⁿ-ң кез келген векторы осы жүйенің векторларымен сызықты өрнектелсе.
Кез келген базисте векторларды бейнелеу.

Айталық

векторлар жүйесі базистік, ал b олардың сызықтық комбинациясы болсын. Онда мына теорема орынды.

b=α₁a+ α₂a₂+…..+ α_ma_m және b=β₁a+ β₂a₂+…..+ β_ma_m

мұндағы α_i және β_i - бір-біріне дәл келмейтін сандар жиыны.Бұл жиындарда міндетті түрде бір-біріне дәл келмейтін нөлге тең емес сандар болуға тиісті.

Біріншісінен екінші теңдікті алып тастап мынадай өрнекті алайық.

(α_{1 +} β₂)* α₁+(α_{2 -} β₂)* α_2+.........+(α_m– β_m)* α_m=0

Алынған теңдік (1.9) өрнектегі векторлар жүйесінің сызықтық комбинациялары. Онда коэффициенттердің барлығы бірдей нөлге тең емес.(себебі α_i және β_i - бір-біріне дәл келмейді).Теңдік нөлге тең, яғни берілген жүйе сызықты тәуелді болып шықты. Бұл жағдай теореманың шартына қарсы.Сөйтіп алынған қайшылық теореманың нақтылығын дәлелдейді.

Сонымен Rⁿ кеңістікте кез келген базисте

а₁,а₂,....,а_n (1.10)

осы кеңістіктің кез келген векторын мына түрде бөліп – ажырату арқылы бейнелеуге болады.

b=α₁a+ α₂a₂+…..+ α_na_n (1.11)

және бұл бөліп- ажырату берілген базис үшін жалғыз ғана.

Бөліп- ажырату коэффициенттері а₁,а₂,....,а_n b-векторының (1.10) базистегі координаттары деп аталады және жоғарыда айтылғандай біл жиын Rⁿ-ң кез келген векторлары үшін жалғыз ғана.

Жалпы айтқанда, (1.10) –ды кез келген базисінде бөліп- ажырату коэффициенттерін табу есебі оңай емес. Сол жақтан бастап сызықты комбинациялау векторларының координаттарын b-векторының (1.11) координаттарымен теңестіру керек. Базистік векторлармен b-векторының координаттары мынадай қалыпта берілсін

а₁=( а₁₁,а₁₂,.. ..,а_1n)

а₂=( а₂₁,а₂₂,.. ..,а_2n)

..............................

a_n=( а_n1,а_n2,.. ..,а_nn)

b=( b₁,b₂,.. ..,b_n)

Жоғарыда жазылған тәсілдермен белгісіз n координаттар бойынша b-векторды (1.10) базиске бөліп- ажырату барысында n сызықтық теңдеулер жүйесіне өтеміз

а₁₁а₁+а₁₂а₂+…+а_1nа_n=b₁

а₂₁а₁+а₂₂а₂+…+а_2nа_n=b₂

А_n1а₁+а_n2а₂+…+а_nnа_n=b_n

3. (х + у, z) = (х, z) + (у, z),