Барометрлік формула. Больцманның таралу заңы Қайсібір биіктіктегі атмосфералық қысым жоғарырақ жатқан газ қабатының салмағының әсерінен болады. Осындай биіктіктегі қысымды деп белгілейік. Сонда биіктіктегі қысым болады, егер мұнда оң таңбалы болса, теріс таңбалы болып тұр, бұл биіктік көбейген сайын қысымның азаюына байланысты. және қысымдарының айырымы яғни табанының ауданы бірге тең, ал биіктігі болатын цилиндр көлеміндегі газдың салмағына тең болады (2.8-сурет): мұндағы, биіктіктегі газдың тығыздығы. Осыдан
(2.54)
Газ күйінің теңдеуін пайдаланып, оның тығыздығын қысым мен температура арқылы өрнектеуге болады. Жоғарыда айтқанымыздай, ауаны қалыпты жағдайда идеал газ деп қарастыруға болады, сондықтан:
Осы өрнекті (2.54)-ке қойып, мынаны аламыз:
осыдан
(2.55)
аламыз.
Температура тұрақты болған жағдайды қарастырып, (2.55)-ті интегралдасақ, мынаны аламыз:
мұндағы -интегралдау тұрақтысы. Алынған өрнекті -ға қатысты жазсақ:
(2.56)
Осыған қойсақ және жер деңгейіндегі (бетіндегі) атмосфералық қысымды деп белгілесек, мынаны аламыз: . Мұны (2.56)-ға қойсақ:
(2.57)
Бұл формула барометрлік формула деп аталады. Бұдан газ неғұрлым ауырласа ( артса) және температура төмендесе, қысымның биіктеген сайын тезірек азаятыны көрініп тұр.
(2.57)-дегі қысымды арқылы алмастырып, бірлік көлемдегі молекулалар санының биіктік бойынша өзгеру заңын анықтаймыз:
Мұндағы ге болған кездегі бірлік көлемдегі молекулалар саны, ал биіктіктегі саны. Өрнектегі қатынасын оған тең қатынасымен (мұндағы бір молекуланың массасы, Больцман тұрақтысы) алмастырып, жоғарыдағы өрнекті былайша түрлендіруге болады:
(2.58)
Бұл өрнек бойынша температура төмендегенде белгілі биіктіктерде бөлшектер саны азаяды, ал болғанда, нөлге айналады (2.9-сурет). Сөйтіп, абсолют нөл температурада барлық бөлшектер жер бетінде орналасқан болар еді.
Жоғары температураларда, керісінше, биіктікке көтерілген сайын баяу кемиді. Мұның физикалық мағынасын және қатынасы арқылы түсіндіруге болады.
Әр түрлі биіктікте молекуланың потенциалдық энергия қоры да әр түрлі болады:
(2.59)
Демек, молекулалардың биіктік бойынша таралуы сонымен қатар, олардың потенциялық энергияларының мәндері бойынша да таралуы болып табылады. (2.59)-ті пайдаланып, (2.58) формуласын былайша жазуға болады:
(2.60)
мұндағы молекуланың потенциалдық энергиясы нөлге тең болатын жер бетіндегі бірлік көлемдегі молеулалар саны, ал молекуланың потенциалдық энергиясы ға тең болатын биіктіктегі (кеңістіктегі) нүктелерге сәйкес келетін бірлік көлемдегі молекулалар саны. Бұдан потенциалдық энергиясы аз болатын жерлерде молекулалардың тығыз орналасып, ал потенциалдық энергиясы көп болатын жерлерде сирегірек орналасатыны туралы қорытынды шығады. Бұл тек жердің тартылыс күшінің ғана емес, кез келген күштің потенциалдық өрісінде орындалады. Осыған орай, (2.60) бойынша таралу Больцманның таралу заңы деп аталады.
Сонымен, Максвелдің заңы бөлшектердің кинетикалық энергиясы бойынша таралуын қарастырса, Больцманның заңы бөлшектердің потенциалдық энергияларының мәндері бойынша таралуын қарастырады.
Жоғарыда қарастырылған (2.43) және (2.60) теңдеулерін біріктіру арқылы, жылдамдықтары мен аралығында жататын бірлік көлемдегі молекулалар санын анықтайтын Максвелл-Больцман заңына келуге болады:
(2.61)
