Мысалы,
егер Х сызықтық метрде өрнектелетін болса, онда σ(Х) сызықтық метрде өрнектеледі, ал D(X) – квадрат метрде.
Мысалы,
үлестіру заңымен берілген Х дискретті кездейсоқ шамасының математикалық күтімін, дисперсиясын, орта квадраттық ауытқуын есептеңіз:
-
x
|
-5
|
2
|
3
|
4
|
p
|
0,4
|
0,3
|
0,1
|
0,2
|
Шешуі:
Математикалық күтімін табайық:
М(Х)=-5·0,4+2·0,3+3·0,1+4·0,2=-0,3.
Дисперсияны есептеу үшін мына формуланы қолданған жөн:
D(X)=M(X2)- [M(X)]2
Х2 үлестіру заңын құрастырайық:
-
х2
|
25
|
4
|
9
|
16
|
p
|
0,4
|
0,3
|
0,1
|
0,2
|
М(Х2)=25·0,4+4·0,3+9·0,1+16·0,2=15,3.
D(X)=M(X2)- [M(X)]2=15,3-(-0,3)2=15,21
σ(X)= = =3,9
Теорема. А оқиғасының көріну санының М(Х) математикалық күтімі n тәуелсіз тәжірибелердің әрқайсысындағы оқиға санын оқиғасының көрінуінің ықтималдығына көбейткенге тең:
M(X)=n·p.
Теорема. А оқиғасының D(Х) дисперсиясы n тәуелсіз тәжірибелерде, олардың әрқайсысында р ықтималдығы тұрақты болатын көріну тәжірибелер санын оқиғаның бір тәжірибеде көрінбеу санына көбейткенге тең:
D(X)=n·p·q
Дәріс №5.
Тақырыбы: «Үздіксіз кездейсоқ шамалар. ҮКШ сандық сипаттамалары.».
«Үлкен сандар заңы. Бернулли теоремасы».
Үздіксіз кездейсоқ шамалардың сандық сипататамалары.
Мүмкін мәндері Ох осіне тиісті болатын Х үздіксіз кездейсоқ шаманың математикалық күтімі деп мына интегралды атайды:
M(X)= , (1)
Мұндағы f(x) – Х кездейсоқ шаманың үлестіру тығыздығы, бұл интеграл абсолютты жинақты.
Егер Х мүмкін мәндері (a,b) интервалына тиісті болса, онда
M(X)= (2)
Х үздіксіз кездейсоқ шаманың дисперсиясы деп оның ауытқуынан алынған математикалық күтімінің квадратын атайды.
Егер Х – тің мүмкін мәндері Ох – тің барлық осінде жататын болса, онда
M(X)= (3)
Егер Х мүмкін мәндері [a,b] кесіндісіне тиісті болса, онда
D(X)= (4)
Үздіксіз кездейсоқ шаманың орта квадраттық ауытқуы мына теңдікпен анықталады.
σ(X)=;
Дисперсияны есептеу үшін келесі формула ыңғайлы:
D(X)= (5)
Жоғарыда көрсетілген математикалық күтім мен дисперсияның қасиеттері үздіксіз кездейсоқ шамалар үшін де сақталады.
Достарыңызбен бөлісу: |
