И. П. Рустюмова? T. A. Кузнецова


§6. П РИ Л О Ж ЕН И Я О П РЕД ЕЛЕН Н О ГО И Н ТЕГРАЛА



Pdf көрінісі
бет53/61
Дата11.05.2022
өлшемі10,32 Mb.
#141770
1   ...   49   50   51   52   53   54   55   56   ...   61
Байланысты:
Р устюмова 2005


§6. П РИ Л О Ж ЕН И Я О П РЕД ЕЛЕН Н О ГО И Н ТЕГРАЛА
Вычисление площадей плоских фигур 
с помощью определенного интеграла
Вычисление объемов 
тел вращения
] . а ) у = х1 + 1, у = 0, х - -1, х = 2\
б) у = 4х, уЩ  0, х 1 1 х В 4;
в ) у ~ .  
„ 2. У - 0, х - 1 , 
х
- 2 .
(х + 1)
2. а) у = -х2, у  = 0, х = 3; 
б )у = \1х, у = 0, х = -1.
3. а)>" = 4 х -х2, у = 0, х = 0, х = 5;
л 
 
б) У = cosx, j/ =:0, х = — — , х — к.
6

J
4 а ).у = - , У = х, х = 2;
X
б )у = 2л[х, 6 - у = 0, х = 0;
в),у = х + 3, .у = х2 + 1;
г)>» = sinx, .у = cosx, х = 0;
д )у = л12х, У = у -
5. а)> = л/х-1, .У = 1, 
- О, х = 0; 
б )у = - у , ^ = 1, ^ = 4, х = 0.
X
6. _к = х2, ^ = 
- 7
(х > 0), у = 0, X = 5.

7. у = 4 х , у-\х-2\.
8. а) у  = х3 - 4х, ^ = 0;
6 )y = -j—
, у - I x ~ ~ j> х = 0’
Vx + 1 
4
е)j/ = xz-2x+ 2, >> = 2 + 4 x -x 2.
9. Найдите объем тела, полученного 
при вращении вокруг оси абсцисс 
криволинейной трапеции, ограничен­
ной линиями:
у = -Jx + 1 ,х = 0,х= 1,у = 0.
10. Вычислите объем тела, образо­
ванного вращением вокруг оси 
абсцисс криволинейной трапеции, 
ограниченной гиперболой ху = 2, 
прямыми х = 1, х = 2 и осью абсцисс.
11. Найдите объем фигуры, получен- 
ной при вращении вокруг оси 
абсцисс криволинейной трапеции, 
граница которой задана уравнения- 
ми:>> = х |х - 2 |,х = 0, л = 3, у = 0.
12. Найдите объем тела, полученно­
го вращением вокруг оси Ох фигу­
ры, ограниченной параболой у = х2, 
осью ординат и прямой у = 1.
457


Вычисление площадей плоских фигур 
с помощью определенного интеграла
Используя понятие определенного интеграла, рассмотрим общий метод 
вычисления площадей плоских фигур.
1. Определение. Фигура, ограниченная прямыми;/= 0,х=а,х = Ь и графи­
ком непрерывной и неотрицательной на [а\ Ь] функцииfix), называется криво­
линейной трапецией.
Площадь криволинейной
Приложения определенного интеграла
трапеции равна 
jf(x )d x .
1. Задание: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а ) 
у = х2 
+
1, у  

0, х = -1, 
х = 
2; 
б ) 
у  
4х, 
у  

0, 
х = 1, х = 
4;
1
в) у =
(х+1) 
Решение:
а) у - х1 + \, у = 0, х = -1, х = 
2)
, у = 
0, х = 1, х = 2.
Ответ: 6.
б) у = Jx , у = 
0, х = 1, х = 4;
458


5^ = jVxcfct = Jx2A = 
—x:
14
О твет: — -
3
“’' Я н
О твет:
6
2. 
Рассмотрим случай, когда у — f  
(jc), jc 
е 
[ а ; й ]
- неположительная не­
прерывная функция. Тогда график функции расположен ниже оси Ох. Для 
вычисления площади соответствующей криволинейной трапеции следует 
использовать формулу:


а) у = -х2, у  = 0, х = 3; 
б) у = \[х, у -  0, х = - I.
Решение:
а )у - -х2, у -  0, х = 3;
2. 
Задание:
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
= - |(- х 2)Л = Jx 2ofx =
о 
о
О твет: 9.
б) у = \[х, у -  0, х = -1; 
-1 
4
3. 
Пусть функция/(х) непрерывна на [а; 6] и принимает на этом отрезке 
как положительные, так и отрицательные значения.
В этом случае отрезок [а; Ь\ раз­
бивается на части, в каждой из кото­
рых функция не изменяет свой знак, 
затем вычисляются соответствующие 
этим частям площади по приведенным 
выше формулам. После этого полу­
ченные результаты складываются.
с
Ь



Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   49   50   51   52   53   54   55   56   ...   61




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет