§ 2. Дифференцирование функций

В задачах 
471 — 489 продифференцировать 
указанные функции
471. 1) у —  (.х9 — Зх - f 3) (х* 4 -2 х— 1);
2) у =  (х'А — 3jct —
(—
2) (л;4 -}- -Хг2 — 1);
3)
y = {V x +
0 ( j 7 ^ —
l);
4) 
У=={^-У?)(4Х
^ + Щ-
5) у = (v^А' -j- 2х) ( l -j- V x 1 
Зх);
6) y = (x*—  1) (-*3 
4 )(лг9 
9);
7) y = ( l + ^ ) ( l - ( - K Z ? ) ( l + I ' A3S).
472.J- = f ± | .
473.
4 7 4 . * = ^ .
475.« = ^
; -
.
47«- * = 7 £ $ Г -
4 7 7 . * - 7 ^ У
і г
+ ( * * - 1 ) ( 1 - ^
4 7 8 . « = - ^ .
479. у.
§ 2. Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО ВА Н И Е ФУНКЦИИ 
49
V s 
—
2 '
J
 
1 - (- A ' 1 
*
уіоа 
2 
t>s — г;+ 1
489. J- = - jr = T . 481. « = — , - J
482. у — 1 
483. z 
1
у К '
о И
484‘ s==— - а + 6 - 
485- У ^ Ж = 7 Г -
486. > =
487. y = TT_ J L _ ^
.
488. у =
489. у = . 
a V c'-
am -f- bm* * 
(a — «) (д: — &) (jc — с) *
490. / (л;) = (л*2 —
j—
.дет -}—
1) (л:2 — х  -[- 1); найти f  (0) и f  ( 1).
491. Ғ (х ) = ( х — 1)(лг— 2)(лг— 3); найти 
Ғ ’ (0); Ғ' ( 1) и Ғ' (2).
492. Ғ (х) = ^ p 2 + ^ q r i ; найти F ' (0) и F (— 1).
493. s (*) = 5~Г7 
; 
найти s' (0) н s" (2).
494. j/(„v) = (l -|- дг:‘) ^5— p j ; найти У (1) и у' (495. р (?) = —
- j ; найти р'(2) и р' (0).
496. ф (z) =■ 
найти <р' (1).
1 -j- z
497. ar(0 = (V r'^ + 1)<; найти .г'(О).

В задачах 498 — 513 продифференцировать данные функции.
498. 1) (.х — а) (х — b) (х — с)(х — d)\ 2) {х1 -J- I)4; 3) (1 - #)20;
4) 
(1 + 2#)30; 5) (1 — jc2)10; 6) (5# 3 - f #2 — 4)й; 7) (#3—-#)6;
8> ( 7jc,- 4 + 6)e; в) . - ( < • - ■ £- + з )‘ ; 10) у = ( Л ± ^ .  
П > J ' H t + T - ) ' ; 12) У = (2л 3 + 3 ^ + 6
х + 1 )* . 
'
499. 
600.
5 0 1 . , _ i ± £ .
Б 0 2 . у = 1 ^ £ .
^
\-\-V2x 
\ + V 2 x
603. y = V  1 — #2. 
504. ^ = ( 1— 2^ 2) •
БОБ. в = ( - ^ г ) ” . 
506. у = (x- _ l + lf ■
507- ^ = 7 = = -
608. _у = | Х p j b -
509. j/ = - 
1 ■
=
. 
510. у = \ + х
^ 
/ 1
- л:4 - jc8
511. у = г х*- = . 
512. 
и = ------ *
_______.
У х 3 + a3 
v - V а8 + V3
513. у —  
.
з
514. н 
(гғ) 
= (г>2 
г; -}- 2)2; найти и'(1).
515. >/(л:)= У
Щ
; найти / (2).
516. у {х ) = У у ^ г ? \  найти / ( 0).
Т р и г о н о м е т р и ч е с к и е ф у н к ц и и
В задачах 517 — 546 продифференцировать данные функции.
517. у  = sinх -4-cosх. 
518. У — -,— —---- .
^ 
1 
*  
1 — COS x
519. y = —^-, 
520. p = <
p sin <
p -J- cos 
521. z = —  + -Д-. 
522. s = . f lt 7.
a 
1 sin a 
1 -j- COS с
ro o
X
-n . 
x  sin X
523. у =  —:-- i-----. 
524. у — -
sin л; -j- cos x  
1 -j- tg jc
525. y =  cos2#. 
526. y — ~^ tg4#.
527. _y = cosx — -Trcos3# . 
528. j/ = 3sin‘“ # — sin3#.
50 
ГЛ. III.ПРОИ ЗВО Д НАЯ И Д ИФФЕРЕНЦ И АЛ

§ 2. Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО ВА Н И Е ФУНКЦИИ
61
529. у =  -j- tg3 х  — tg х  -j- х.
631. у  = sec9 # -f- cosec2 #.
633. у = a co s~.
535. у =  tg - i± i-
1
530. у = х sec9 х  — tg х. 
632. _y = sin3#.
634. _у = 3 sin (3
jc
—
(— 5).
630. y = V  1 + 2 t g # .
538. у =  sin (sin x).
540. y =
Y
 
tg ~ .
642. _y = ctgf/'l -\-xl . 
544
• 
j - = ] / " ' + ‘ § ( * + т ) •
546. у =  sin9 (cos 3#).
537. у =  sin — .
x
639. у  = cos’* 4#.
541. у  = sin У 1 -j-#*.
543. ^ = (1 -J- sin9 #)\
545. у = cos" 1
\ + V *
647. Вьизестп формулы
(sin” x  cos nx)' = n sin” -1 x  cos (;/ -j- 1) #;
(sin” x  sin nxУ = n sin" -1 x  sin (ii -J- 1) x\
(cosn x sin nx)’ = 11 cos" -1 X  COS (« 
1) x ’>
(cos'1 X COS nx)' =  — 11 cos" -1 X  Sin {tl -|- 1) X.
О б р а т н ы е т р и г о н о м е т р и ч е с к и е фу и к ци и 
В задачах 548 — 572 продифференцировать данные функции.
548. у = х arcsin х.
550. у =  (arcsin #)а.
552. у = -  
1
549. у
arcsin 
х
554. у =
arcsin 
х 
arccos 
х
551. у  = х arcsin х -\~У 1 — #* .
553. у = х  sin х  arctg х.
555. у = У х  • arctg х.
556. у =  (arccos х  -{- arcsin x )r 
657. у =  arcsec х.
arcsin л:
559. У = -7=
.
V l - x *
561. у =  arcsin ( # — 1).
558. у  
560. у :
1 + Л'а
л-3 
arctg X*
arctg#.
562. у =  arccos
2х— 1 
У З
563. у =  arctg #а.
564. у = arcsin — . 
'
х

52
ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И Д И Ф Ф ЕРЕНЦ И АЛ
565. у =  arcsin (sin #).
566. ,у = arctg2 — .
567. 
y = V
1 — (arccos#)9. 
568. у =  arcsin 
^
569. y =
l Y  
arcsin 
V X- -j- 2#.
570. у —  arcsin
sin a sin х 
— COS a sin X '
b
-4-0 cos 
x
571. у = arccos —
----.
y 
a b
cos 
x
572. у  = arctg (# — V 1 -|- #2).
Л о г а р и ф м и че 
В задачах 573 — 597
In* х.
573. у = х* log3 
575. y = x\gx. 
577. у
х.
X - 1
' logo х *
579. у =  г^—.
J  
In л: 
r o t
1 — In .V
581. 
y = — ——
.
s  
1 4- In A'
583. y = x n \nx.
585. у  = In (1 — 2x).
587. y =  In sin x.
589. y =  In tg x.
591. y =  In4 sin#.
593. у =  (1 -}- In sin #)Л. 
595. у =  In arctg V 1 -j- #2.
3 /
о и ф ми ч е с к и е ф у н к ц и и
продифференцировать данные функции: 
574. у = 1п2 х.
576. 
y — V
In#.
# sin # In #.
578. у- 
580. у. 
582. у.
In 
X 
:
~х«■* 
1п 
X 
’ 1
-\-х*
584. у = У  1 -j- In2х. 
586. у =  1п (#2 — 4#). 
588. у =  loga (#2 — 1). 
= In arccos 2#.
590. у = in arccos zx.
' =  arctg [In (a# -j- b)]. 
594. y =  log2 [log3 (log5#)].
>
 =  arcsin2 [In (a3-|-#,)b
592.
596. y:
597. y = y  In s i n I
П о к а з а т е л ь н ы е ф у н к ц и и
В задачах 598 — 633 продифференцировать данные функции.
598. у = 2х. 
599. у =  10*. 
600. У = р .
601. у = ± .  
604. у = *
602. у = Х ’ 10*
а 3 + 2х 
иОб. у = -- ----
607. у = Х — . 
608. у :
у  
S ill X
S
//X
cos X
603. у = хех.
606. у = ех cos #.
609. у = 2і1Гх.

§ 2. Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО ВА Н И Е ФУНКЦИИ
53
610. 
у
=
л ? — Зх. 
611. 
у = V
1
-|- 
612. у = (х* —
2лг 
-|- 3) ех. 
613. у =
1 — ю *
ех
614. У ^ ү + ^ -  
615. У = г ф ^ .
616. у = хех 
(cos 
х  
-j- sin 
х). 
617. у = е х.
618. у =  10и-'л. 
619. у = е ^ .
620. ;/ = sin (2А). 
621. y==Ssinx.
622. j/ = a sin**. 
623. у — ел«sin2л
624. у =  
23'\ 
625. у  =
626. ;> = sin (ех3 + 3х- 2). 
627. j/ = 1 0 l ~ si"44
628. у =  
629. у =  In sin f/^arctg ё
630. y = ae~b~xi. 
631. у = хг е
632. у = Ае~к*х sin 
(оол: 
-f- а).
633. у = ахх а
хз
аа
Г и п е р б о л и ч е с к и е ф у н к ц и и
— 649 продифференцировать данные функции. 
635. у =  In ch х.
В задачах 634
634. 
у =
sh3 х. 
___ ^ 
______
636. 
у =
arctg (th 
лг). 
637. 
у =  th 
(1 — лг2).
638. 
у
=
sh2 х 
-j- 
ch2 х. 
639. 
у —  ch (sh x).
640. 
y = V ch 
x. 
641. 
^/ = 642. 
у =
th 
(In 
x).
643. 
y = x
sh x
— 
ch x.
644. 
y = y /
 (1 
th'2 x)\
 
645. 
у
 =
\
 
th j
— 
tlr* 
ү .
* / l  
+ tli x 
РЛ- 
1 
, V i , \ + V 2 t h x
646. 
У =  
1 /
. 
T.--. 
647. 
у = -~ th x
 
-f- 
In 
~T f
-----
.
Y 1 — th л: 
2 ' 8 1 — У 2 th x
648. 
y = ^ c h 2x
-j- 
У x
sh 2x.
649. 
у = x
2 
e*x
cosech 
л*.
Л о г а р и ф м и ч е с к о е д и ф ф е р е н ц и р о в а н и 
е
В задачах 650 — 666 продифференцировать данные функции, исполь­
зуя правило логарифмического дифференцирования.
650. 
у — X х*.
651. 
у = X х*.
652. 
у —
(siп 
хУ05х.
653. 
у
= (1 п 
х)х.
654. 
у = (х
-J- I)2/-*. 
655. 
у =
лг* 
ех3
sin 2л*.
656. 
657. 
у = х ых.
(X — О)

54
1 — arcsin 
x
658. y =
660
. 
у = У і + иЫах
662. y = x s[nx.
664. y = 2x?*.
666
. У = у щ
щ
.
ГЛ. I I I . П РО И ЗВ О Д Н А Я И Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л
659. у = ] / х sin х У \ — ех.
( х
-\-1 )3 
У х
— 2 
^ ( * - 3 ) *
661. 
у = Х х.
663. У = { т ^ у .
665. у = (х* -}- 1)
,sin -V
Р а з н ы е ф у нк ц и и 
В задачах 667 — 770 продифференцировать данные функции.
667. у = ( \ + У х ) \  
668. y = a t g ( j + b )j .
670. у  = arctg (х2 — Зх -{- 2).
672. у =  3 cos2 х — cos'1 х.
674. у =  
'
У х- \- ух
676. j/ = sinx-eCOSJf.
678. у = е~хМ пх.
669. у = У  1 + У 2рх.
671. у =  lg (x — cosx).
673. _V = 5 t g | + t g | .
675. у =  sin 
sin 2х.
677. у = у * У х « — 8.
679. у = ( у х + ^
° .
681. у = е2х+3 (х* — х
y j . 
683. у =  
arctg 
1/3
\| 680. jy = arctg
682. j/ = —
^ 
cos2x
■
x~
У з
685. .y = sin2^ c tg
687. .y = In (x -j- 
+ -*3)*
689. j/ = К 1 -f- tg2 x -j- tg4 x.
2
1
691. ^ = -3 arctg x a r c t g у
693. y =  arcsin У sinx.
684. y =
. x 
. 
x 
tg7 + ctgT
COG ..__ У
+ 2
686‘ y
w  "•
688. 
= x arctg У х .
690. у =  cos 2x In x.
692. у =  arcsin (« sin x).
694. j/=-j^sin°3x— ^ s in R3x.
1
= x — У 1 — x arcsin x
695. у
697. j/ = | / "x -j- j/ ’x-j- У х .
696. у = cos
arcsin 
a
2
’
698. ^ = arccos К 1 — Зх.

5 2. Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО ВА Н И Е Ф УН КЦ И Я
55
:arctg у
1 - X 
1 -\-Х‘
х arcsin (In х).
699. jf = sin»(m ? * ) . 
701. 
у 
703. 
у 
705. 
у 
J  707. у
709. у =  In arctg
У 700. у =  log3 (лг2 — sin х).
702. 
у
=  In 
704. y = tg
х  
-f- 
Y
1 - л
1 - е х
cos#]^ 1 -j- sin2 
x. 
x- 10>Я
1
1 + е*‘
706. 
у
= 0,4 
^cos 
— sin 
0,8 x j9. 
708. у
1
tga 
2х'
1
Ч 71 1. у: 
713. 
у:
1 +•*'
|/ 1 -|- х У х -j- з] 
1
’)/ 1 + sill- лг' 
In sin 
X
710. y =  In- 
,______
х + У * = Т
712. y = x2] V  1 -f V x . 
714. 
у
= лг* arctg 
Xх.
1
= In
In 
COS X ’
arcsin 
4x 
''
1 -
4x
* 
1 -
cx
715. j/
717. у  
719. 
у
721. 
y =
sin
2 
x
• 
sin лг9 
723. у =
725. 
у 
727. j/
729. у = V a* — x* — a arccos — .
’ 
a
730.
у
=
V x l
-}- 
1 
— In 
—
J~ l / " l -j- 
~ij
731. 
у
732. 
у
716. у =  arcsin x -j- У 1— x*.
I
718. y = eUlx.
720. y =  10-vt?-v.
722. у
2 cos 
x 
)^cos 
2x
, 
___ 1 . 
1 -j— X  
1
724. у = -г In i
--- -r
У = І [п ү ± ^ ~ i arctg^.
2ln -v. 726. y = V (a — лг) (лг — Ь) — (a — b) arctg j f  
•
l/ IE Z
r 
1 -j- x
sin Зл 
’ 2 sin* x
 
cos x
 *
728. 
y 
= e y H-
sin- 
X
cos- ЛГ
1 + Ctg * ~ 1 + tg ЛГ •
In (лг -f- 
Vx*
— 1) —
V x * — 1 ■
eax (a
sin лг 
— 
cos лг). 
734. 
у
=
xex
~ cos 
*.
1 
736. 
у
733. у  
735. у
737, у =  Зл:3 arcsin х  -|- (лг3 
2) У 1 — х\
arctg е~
ех(sin Зх — 3cos Зл).

3 
ГЛ. II I. ПРОИЗВОДНАЯ И Д ИФ Ф ЕРЕНЦ И АЛ
738. у  = - г 
1 
— . 
739. у  = 2 arcsin --у..2- — ]/2 4- 4лг — х*.
і Л + г ^
>
/6
740. 
= In (ё~х sin x).
741. у =  
742. у
1 _|_ X s 
cos (л' — cos х ) '
743. _y = ev sin #cos3at. 
744. y = } /
746. y = x  — In (2ev -j—
1 -|— eiv -f- 4ex -f-1).
746. ^/ = earctg/i+ni(2jf+3)>
747^ y —  _ _ _ _ _ _ ^
748.
у —
In tg ү
— 
ctg x
In (1 
sin 
#) — 
x.
749. у =  2 In (2# — 3 
1 — Ax'11) — 6 arcsin 2x.
750. у  = Зл3 ~ 1 + In У  1 + .лг -f- arctg x.
751. у =  -i- (3 — x) У 1 — 2x
 
— x*
 
-f- 2 arcsin 
•
762. 3/ = In (# sin x У 1 — x 1). 
753. у  = x У 1 -j- x* sin x.
754. ^
• 
75в- -У= К о Т ^ 77)3-
756. v = -
L
' «*+3' " *+1.
sin .t 
, 3 sin 
x
 
. 3 . 
^2
757‘ ^ = W - A' + 8^
+
8- ІП7 - ~ Т -
1
- t g y
_ _ _
xcx
 
arctg
x
 
- _ л
(1 — л*2) e,'!-v-1 cos 
x
758‘ ->'= 
In5 ДГ 
• 
759- У -  
(arccos x)‘-----•
760. у = x У (x1 + aJ) ' -j- 
l/j;* + a’; +
1" (л + V ".*1 + a2)-
761. _y = x (arcsin x)“ — 2x -J- 2 ]/ 1 — x 1 arcsin x.
762. ^ = In cos arctg 
763. y = —p = arctg (em* ]/"-*)
764. 
= 4- in 
*
t . 
J = - f 
arctg ~
3 
/.л-- -
x
 
+ 1 1
/ 3
b / 3
765. у  = In V 1 + л 
_j_ 2 arctg l/~
^ і Л
-4- 
x
-j- 
\
1 — 
x
1 
& 
V
Y \ + x + V l - x
1 
& 
V
 
1 + л *
766. у  = (tg 2* ) " 4
767. j- =
- j / -
768. у = in У
' £ ± £ £ + ^
(arctg *£± 1 + arctg ^

Х~п — 1
769. у =  arccos 
ү ♦
77П 
Л- 
. I 
(I ~Ь 2лг)3 
| у з  
.
7 7 0 . > —
] - f 8. t , _ T l 2
1 - 2 л г +
4 * = + 0
® 
У 'З
771. Доказать, что функция у =  In 
удовлетворяет соотношению
* / + 1~ Л
772. Доказать, что функция
У = = ү - \ ~ ү х V х * 
1 + 1п 
+ V "-*'2 “ Ь *
удовлетворяет соотношению 2у 
=
xyf 
In 
у .
773. Доказать, что функция у  =
удовлетворяет соотношению
"1/ 1
jc
*
(1 — х *)У — ху = 1.
774*. Вычислить суммы
а) 1 —
(—
2# —
j—
3_хг^ —
}—... —
J- ttxn
б) 2 —
J—
2 • Зл: —
j—
3 * 4#3 
я (я — 1) У 1-1.
О б р а т н ы е ф у н к ц и и
775. Допустим, что правило дифференцирования степенной функции 
установлено только для целого положительного показателя. Вывести 
формулу дифференцирования корня, используя правило дифференциро­
вания обратной функции.
dv
776. x = earcsiny\ найти выражение для 
через у; через х.
ds
777. t = 2 — 3s 
s:t; выразить 
через 5.
1, 14- 
v 
da dv 
,
778. и =
~2
In j _ v ; проверить соотношение 
=
779. Зная, что функции arcsin У х  и sin2# — взаимно обратные функ­
ции и что (sin2# ) '= sin 2#, найти (arcsin Ух)'-
780. Обозначим функцию, обратную степенно-показательной функции 
у = Xх, символом а(лг), т. е. положим, что из у = X х следует: х = а (у). 
Найти формулу для производной от функции у = а(х).
781. Функции, обратные гиперболическим, обозначаются символами 
Arsh #, Arch х, Arth х. Найти производные or этих функций.
782. s = te~(; найти
J __
^ ^
783. у =  у - . Выразить ^ через х\ через у. Показать справедли-
dy dx 
.
вость соотношения 
= I.
dx dv

жүктеу/скачать 9,73 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: