V x-
_ya -t- z1 — r*
( R > r ) .
П р е д е л . Н е п р е р ы в н о с т ь ф у н к ц и и
В задачах 3003— 3008 вычислить пределы функций, полагая, что не
зависимые переменные произвольно стремятся к своим предельным зна
чениям.
3003. lim
Xя + у*
х - о У х *+ у*+ 1 - Г
у-*о
3004. lim
Л--» 0
>-0
У х-у*
+ 1— 1
Xs + У*
8005. lim
3000. lira 1
+ f> .
л- _ 0
Х-+У-
x -»о (а-
+ у-) x-y
y^O
y- 0
1
1
§ 2. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ
189
3007. lim e , .
3008. lim ( H - x 2/ ) А' + Я .
x -> 0 А' + -У
-v-лО
jy-0
3--0
X -i- у
3009. Показать, что функция и = -
^ z ~ при „г—>0, >/->0 может
стремиться к любому пределу (в зависимости от того, как стремятся
к пулю х и у). Привести примеры таких изменений х и у, чтобы:
a) lim гг = 1, б) lim гг = 2.
2
ЗОЮ. Найти точки разрыва функции z — -*—.— гг. Как ведет себя
х- -j- jг
функция в окрестности точки разрыва?
3011. Найти точки разрыва функции z-=-r-r.--- \——— .
^ ^
1 J
Sill' TtX -j- Sill" 7\y
3012. Где будет разрывна функция z = -~_ ?
3013. Где будет разрывна функция z
sin т:у
.У + 2л-
’ у" —
2
х
3015*. Исследовать непрерывность функции при л'=-0, у = 0:
3014. Где будет разрывна функция z —
7 - **
1
)
/ ( Х , у ) =
- Ң
у і .
/ (
0
,
0
) =
0
.
2
)
/ (
0
,
0
) =
0
.
3) f(x , y ) = J ^ - /(0, 0 )= 0 .
4) f (x , 3,) = - ^ ; /(0, 0 )= 0.
5) f(x ,
/(0, 0) = 0.
0) f (x , y) = J ^ 7 - / ( 0, 0) = 0
Л и н и и и п о в е р х н о с т и у р о в н я
3016. Дана функция z = f (х, у ) = ■
. Построить линии уров-
х~
у~
ня этой функции для z — 1, 2, 3, 4.
3017. Функция z = f ( x , у ) задана следующим образом:
в
точке
Р (х, у) ее значение равно углу, под которым виден из этой точки
данный в плоскости Оху отрезок АВ. Найти линии уровня функции
f (x , у).
В задачах 3.018— 3021 начертить линии уровня данных функций,
придавая z значения от — 5 до -}~ б через 1.
3018. г = ху.
3019. z — х*у -j- лт.
3020. z = у (.г3-J- 1).
3021. z = ^ Z ~ .
3022. Построить линии уровня функции z = (х2 -}-у °)2— 2 (х2— j'2),
3
1
придавая z значения от — 1 до
через у .
3023. Построить линии уровня функции г, неявно заданной уравне
нием ( д V [(-^ — 5)“ +
— ( у ) " ((x + 5)2 + Л давая г значения от — 4
до 4 через единицу.
3024. Построить линии уровня функции z, заданной неявно уравне
нием У2 —
2
~г ( х — z), давая z значения or — 3 до 3 через 1.
190
ГЛ. X. Д ИФФЕРЕНЦ И АЛ ЬН О Е ИСЧИСЛЕНИЕ
3025. Найти линии уровня функции z, заданной неявно уравнением
z —
j—
х 1 n z-\~y =
0
.
3026. В пространстве дана точка А. Расстояние переменной точки
М от точки /1 есть функция координат точки М. Найти поверхности
уровня этой функции, соответствующие расстояниям, равным 1, 2, 3, 4.
3027. Функция u = f ( x , у, z) задана следующим образом: в точке
Р (х, у, z) ее значение равно сумме расстояний этой точки от двух
данных точек: А (х и у ь Zy), В(х», у о, zo). Указать поверхности уровня
функции f (x , у, z).
3028. Найти поверхности уровня функции
.
1
-j- Y х~ -4- V3 + z
1
и = In —1
' - 1
1
1
— у х~ -j—
у- —
|—
Z3
I .1)2
3029. Найти поверхности уровня функции п = :—
3030. Найти поверхности уровня функции:
1) и =
2) и = tg (х3 4- У —
2
z%
3031. На рис. 58 изображены линии уровня функции z — f { x , у).
Построить график функции:
1) z = / (х , 0);
2) z = f ( x , 4);
3) z = f ( 1, у);
4) z = f ( — 5, >');
5) z = f { x , Зх);
6) z = f ( x , х9).
Достарыңызбен бөлісу: |