Таңбалары ауыспалы қатарлар, (6), (7) қатарларын қарастырамыз. Анықтама 4



бет3/5
Дата24.12.2023
өлшемі369,7 Kb.
#198904
1   2   3   4   5
Байланысты:
01.02-8.02 Таңбалары ауыспалы қатарлар. Дәрежелі қатарлар

21.2 Дәрежелік қатарлар

Дәрежелік қатар функционалдық қатарлардың дербес түрі.


Анықтама 5. ( ) –ға қатысты дәрежелік қатар деп:
, (3)
түрінде берілген қатарды айтамыз, мұндағы коэффиценттері – тұрақты сандар.
Егер болса, онда: (4)
Теорема 5. (Абель). болғанда (4) қатары жинақты болса, онда ол болғанда абсолютті жинақты; ал оның болғанда жинақсыз болуынан, болғанда жинақсыздығы шығады.
Абель теоремасынан: (4) қатары үшін жалғыз ғана саны, , табылады, болғанда (2) қатары жинақты, ал үшін жинақсыз болатындай.
саны дәрежелік қатардың жинақтылық радиусы деп аталады, ал - жинақтылық интервалы деп аталады. Егер ақырлы шегі табылса, онда қатарына Даламбер белгісін қолдансақ, , яғни, .
Дәл осылай, Коши белгісін қолдансақ: .
Мысал 3. қатарының жинақтылық облысын тап.
болғандықтан, - жинақтылық радиусы. нүктелерінде жинақтылыққа зерттейміз.


21.3 Тейлор қатары


функциясының қандай да бір нүктесінің аймағында - ші ретті туындысы бар болсын. Дәрежесі -нан жоғары емес төмендегі теңдік орындалатын көпмүшелігін табалық:
(5)
көпмүшелігін мына түрде іздейміз:

-ті тауып және (5) шартын қолдансақ:
.
- қалдық мүшесі болсын. Онда және -ті Лагранж формасында жазуға болатынын көрсетуге болады:

(6)
(6) формуласы Тейлор формуласы деп аталады, ал болса, Маклорен формуласы деп аталады.
Бұл формулалар функциясын көпмүшелігімен -ға тең дәлдікте айырбастауға мүмкіндік береді.
Мысал 6. функциясын Маклорен формуласы бойынша жікте және санын дәлдікке дейін есепте.


болса, . үшін: , ал үшін: болғандықтан, . Сонымен,
.
нүктесінің аймағында функциясы шексіз рет дифференциалданатын болсын. Онда -ді өте үлкен шама деп ала отырып, (4) теңдігінің оң жағында дәрежелік функция аламыз. Қандай шарт орындалғанда бұл қатардың қосындысы тең?
Теорема 6. Егер функциясы интервалында шектеусіз рет дифференциалданатын болса және , онда -да:
, (7)
Әрі, қатардың функциясына -да жинақталуы бірқалыпты.


Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет