Факультет: Механики и математики
жүктеу/скачать 79,72 Kb.
|
Теорема вириала в классической и квантовой механике
|
где А есть оператор Лапласа. Если функция нормирована так, что
то величина 
есть математическое ожидание кинетической энергии, а величина 
— математическое ожидание потенциальной энергии. Теорема вириала может быть сформулирована следующим образом. Если волновая функция принадлежит к точечному спектру и потенциальная энергия есть однородная функция степени от координат, так что 
то имеет место равенство 
т. е. удвоенное математическое ожидание кинетической энергии равно умноженному на математическому ожиданию потенциальной энергии. Для доказательства заменим в координаты величинами, им пропорциональными и рассмотрим функцию
которая при условии также будет нормирована на единицу. Подставим в интеграл действия и обозначим через То и математические ожидания кинетической и потенциальной энергии в состоянии, описываемом функцией Так как при замене на (т. е. при изменении масштаба) оператор переходит в а условие нормировки для будет то же как для мы получим 
а также
и, в силу однородности функции 
Интеграл действия будет равен 
Приравнивая нулю его вариацию по параметру X, получим 
Но решение вариационной задачи получается при Отсюда 
что и требовалось доказать. В общем случае произвольной потенциальной энергии мы будем иметь 
Наши рассуждения легко переносятся на случай системы частиц при условии однородности операторов выражаемой формулами. Соотношение, выражающее теорему вириала, удовлетворяется не только точным, но и приближенным решением задачи, если только решение получено по вариационному способу, допускающему вариацию масштаба. Под вариацией масштаба мы разумеем преобразование волновой функции вида (с соответствующим обобщением для многих частиц) и последующее определение параметра X из вариационного начала. Таким свойством обладает, в частности, получаемый из вариационного начала способ «самосогласованного поля». жүктеу/скачать 79,72 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|
