Геометрия негіздері
жүктеу/скачать 15,14 Kb.
|
Сәулет өнері, ҰБТ
|
3.Гилберттің аксиомалар жүйесі.Бірінші топтағы аксиомалар және олардың салдары. Д.Гилберт 1900 жылы жазған “ Геометрия негіздері” атты кітабында үш өлшемдік евклидтік кеңістіктің құрылымын қарастырған .Базалық жиындар ретінде ( негізгі анықталмайтын объектілер) нүктелер, түзулер және жазықтықтар берілген .Негізгі (анықталмайтын )қатынастар ретінде : “ тиістілік ” , “ арасында жатады” және “ конгуренттілік” қарастырады. Гилберттің аксиомалар жүйесі 20 аксиомадан тұрады , олар бес топқа бөлінген. Осы аксиомалар жүйесінің бірінші топтағы аксиомалары және олардың салдарын зерттейік . Бұл топтағы аксиомалар нүктелер , түзулер және жазықтықтардың “ тиісті” , “жатады” , “өтеді” деген сөздерімен сипатталатын өзара орналасу қасиеттерін анықтайды . I-1.Қандай болмасын А және В арқылы өтетін түзу бар болады. I-2. Қандай болмасын екі нүкте А және В арқылы өтетін біреуден артық түзу болмайды. I-3. Кез келген түзуде жататын ең болмағанда екі нүкте бар болады. Бір түзуде жатпайтын ең болмағанда үш нүкте бар болады. I-4.Қандай болмасын бір түзудің бойында жататын үш нүкте берілсе А,В,С осы нүктелер арқылы өтетін жазықтық бар болады.Әрбір жазықтықта жататын ең болмағанда бір нүкте бар болады. I-5.Бір түзудің бойында жатпайтын қандайда бір үш нүкте арқылы біреуден артық жазықтық өтпейді. I-6.Егер а түзуінің екі нүктесі А және В қандайда бір жазықтығында жатса , онда осы а түзуінің әрбір нүктесінде осы жазықтығында жатады. I-7.Егер екі жазықтық және -ның бір ортақ нүктесі А бар болса , онда бұл жазықтықтардың кем дегенде бір ортақ нүктесі В бар болады . I-8. Бір жазықтықта жатпайтын кем дегенде төрт нүкте бар болады. Егер екі түзу немесе екі жазықтық , түзу мен жазықтықтың ортақ нүктесі бар болса , онда олар “қиылысады ” деп айтамыз .Егер түзудің барлық нүктелері жазықтыққа тиесілі болса , онда түзумен жазықтықта жатады деп айтамыз. I топтағы аксиомалардың салдары Егер әр түрлі екі жазықтықтың ортақ нүктесі бар болса , онда олар осы нүкте арқылы өтетін түзу бойынша қиылысады . Дәлелдеуі: Әр түрлі екі жазықтықтың және бір ортақ нүктесі М бар болсын , онда I-7 аксиома бойынша олардың екеуіне бірдеә тиісті және бір N нүктесі бар болады .Онда I-1 аксиомаға сәйкес М және N нүктелері а түзуіне тиісті болып , ол нүктелер жазықтығында жататындықтан I-6 аксиома бойынша а түзуінің барлық нүктелеріде жазықтығында жатады.Сол сияқты а түзуі жазықтығында жатады .Енді және жазықтықтарының барлық ортақ нүктелері а түзуінде жататынын дәлелдейік . Қандайда бір А нүктесі және жазықтықтарында жататын болып , ол нүкте а түзуіне тиісті емес деп жориық .Онда А,М және В нүктелері бір түзудің бойында жатпайды .Онда A ,M, N нүктелері бір түзудің бойында жатпайды , бірақ жазықтықтарында жатады , демек I-5 аксиома бойынша жазықтықтары беттеседі .Олай болса жазықтықтары әр түрлі жазықтықтар дегенге қарама-қайшы келеді . Сонымен , жазықтықтарының ортақ а түзуі бар болады .Бұл дегеніміз жазықтықтары а түзуінің бойымен қиылысады және М нүктесі а түзуіне тиісті болады . Жаттығулар: 5. Екі түзудің бірден артық ортақ нүктесі болмайтынын дәлелдеңіз. 6.Жазықтықпен онда жатпайтын түзудің бірден артық ортақ нүктесі болмайтынын дәлелдеңіз. 7.Берілген түзу а және оған тиісті емес А нүктесі арқылы жалғыз жазықтық өтетінін дәлелдеңіз. 8.Өзара қиылысатын екі түзу арқылы жалғыз жазықтық өтетінін дәлелдеңіз. 9.Кез келген А нүктесі үшін В және С нүктелері бар болып, ол үш нүкте А,В және С бір түзудің бойында жатпайтынын дәлелдеңіз . 10.Кез келген А және В нүктелері үшін С және Д нүктелері бар болып , А,В,С,Д нүктелері бір жазықтықта жатпайтынын дәлелдеңіз. 11. Әрбір жазықтықта бір түзудің бойында жатпайтын үш нүкте бар болатынын дәлелдеңіз. жүктеу/скачать 15,14 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|