Тепе –теңдік дифференциалдық теңдеулері. Нормаль кернеу мәні мен қысым тепе – теңдікте аудан ориентациясынан тәуелді болмаса да, сұйықтың әртүрлі нүктесінде мәндері әртүрлі болуы мүмкін. Басқаша айтқанда гидростатикалық қысым координата функциясы, яғни
(2.2)
Тыныштықтағы сұйық ішіне тік бұрышты координаталар жүйесін орналастырамыз, нүктесінен осі жоғарыға вертикаль бағытында орналассын (2.3- сурет). Сұйық ішінде қырларымен параллелепипед формалы элементті бөліп аламыз. Олар координата осьтеріне параллель, қырларына әсер ететін алты қысым күші және бірдей әсер ететін көлемдік күштер тепе – теңдік шартын жазамыз.
Бөлінген көлемнің тепе – теңдік теңдеуі мына түрге ие
теңдеуі келесі күштердің әсерін өрнектейді: сол қабырғадағы қысым күшін мұндағы берілген қабырға үшін гидростатикалық қысым; оң қабырғадағы қысым күші және осіндегі көлемдік күш проекциясы
Бөлінген көлем өте кішкентай. Олай болса, ішіндегі қысым кез келген координата бойынша сызықты өзгереді. Онда Тейлор қатарына жіктей отырып аламыз
немесе, түрленуден және бөлгеннен соң,
(2.3)
Осыған ұқсас басқа екі теңдеуді алып, келесі тепе – теңдік теңдеулер жүйесін (Эйлер) аламыз:
(2.4)
Осы жүйенің бірінші теңдеуін ке, екіншісін ке, үшіншісін ке көбейтіп және оларды қосып, аламыз
(2.5)
(2.5) теңдеуінің сол жағын
(2.6)
(2.6) теңдеу - сұйықтар мен газдар статикасының негізгі дифференциалдық теңдеуі. Егер күш пен тығыздық функциялары сияқты болса, (2.6)-теңдеуінің оң жағы толық дифференциалды көрсетпейді, онда сұйықтың тепе-теңдігі мүмкін емес. Осылайша, сұйықтың тығыздығы мен күшіне қатысты барлық жағдайда тепе – теңдікте бола бермейді. Сығылмайтын сұйық үшін (2.6)-теңдеуінің оң жағы мына теңдіктер орындалғанда толық дифференциал болады
(2.7)
Осындай жолмен анықталатын функция күштік, ал оның шамасы кері белгімен – потенциал деп аталады. Олай болса (2.6) теңдеуді мына түрде көрсетуге болады, ал тепе-теңдік шартын былай өрнектеуге болады: сығылмайтын сұйыққа түсіретін күш потенциалға ие болса, онда ол тепе-теңдікке бола алады.
Егер сұйық немесе газ сығылатын, бірақ тұрақты температураға ие болса, онда тығыздық тек қысымның функциясы болады, яғни Онда (2.6) теңдеу төмендегідей
Сұйық тыныштықта болуы үшін, оған түсірілетін күштер потенциалға ие болуы керек.
