Хуштова фатима гидовна краевые задачи для дифференциальных уравнений с оператором бесселя и частными

3
ВВЕДЕНИЕ
Данная работа посвящена краевым задачам в ограниченных и неограни-
ченных областях для дифференциального уравнения в частных производных
B
x
u(x, y) ?
?
?
?y
?
u(x, y) = f (x, y),
(1)
где u(x, y)  функция двух вещественных аргументов;
B
x
=
?
2
?x
2
+
b
x
?
?x
 оператор Бесселя,
?
?
?y
?
 дробная производная порядка 0 < ? 6 1 с началом
в точке y = 0, которая понимается в одном из следующих смыслов:
?
?
?y
?
= D
?
0y
 производная РиманаЛиувилля,
?
?
?y
?
= ?
?
0y
 производная Капуто (известная
также как производная ГерасимоваКапуто).
Актуальность темы исследования. Уравнения математической фи-
зики с оператором Бесселя относятся к классу вырождающихся дифферен-
циальных уравнений, для которых теория краевых задач в настоящее время
является одним из важных разделов теории дифференциальных уравнений
в частных производных.
Дифференциальные уравнения с производными дробного порядка высту-
пают в качестве основы при математическом моделировании процессов, про-
текающих в средах с фрактальной структурой.
Уравнение (1) при ? = 1, то есть
u
xx
(x, y) +
b
x
u
x
(x, y) ? u
y
(x, y) = f (x, y),
(2)
совпадает с названным И.А. Киприяновым B-параболическим уравне-
нием [19], [21]. Подобного рода уравнение, а именно
?u
?t
= ? ?
a
u, ? = const > 0,
(3)

4
где
?
a
= x
1?a
?
?x
x
a?1
?
?x
 ѕa-мерный оператор Лапласаї в работе А.М. Нахушева [36, с. 230] назы-
вается уравнением ѕтеплопроводности на фракталеї или уравнением ѕано-
мальной диффузииї. Уравнение (3) можно переписать в виде
x(u
t
? ?u
xx
) + (1 ? a)?u
x
= 0.
Последнее уравнение относится к классу уравнений параболического типа со
знакопеременной характеристической формой, рассмотренным А.М. Нахуше-
вым в работе [35].
Краевые задачи в ограниченной и неограниченной областях для уравне-
ния (2) при различных значениях параметра b рассматривали многие авторы.
Например, в работе V. Alexiades [73] для него решены первая, вторая и тре-
тья краевые задачи в области с подвижной границей, в работе D. Calton [76]
исследована задача Коши.
Уравнение (2) было также объектом исследования в монографиях
С.А. Терсенова [52], М.И. Матийчука [34]. Подобного рода уравнения при раз-
личных значениях параметра b также рассматривали M. Gevrey [77], [78],
O. Arena [75], M. Giona, E. Roman [79], И.Б. Гарипов, Р.М. Мавлявиев [5], [6].
Уравнение (2) с помощью замены ? = [ x/(1?b) ]
1?b
сводится к уравнению
?
q
u
??
(?, y) ? u
y
(?, y) = f (x, y), q = 2b/(b ? 1),
рассмотренному также при различных значениях параметра q в работах
C. D. Pagani [98], O. Arena [74], Ю. П. Горькова [9] - [11].
При f(x, y) = 0 заменой z = x
2
/(4n)
уравнение (2) сводится к уравнению
u
zz
(z, y) +
m + 1
z
u
z
(z, y) ?
n
z
u
y
(z, y) = 0,
m =
b ? 1
2
,
(4)

5
для которого С. Кепинским в работе [82] исследована краевая задача в полу-
полосе x > 0, y < y
0
.
Частные случаи уравнения (4) были также рассмотрены
С. Кепинским [81] при m = ?1, n = 1, и В. Миллер-Лебедевой [96]  при
m = 0, n = 1.
В работе B. O'Shaugnessy, I. Procaccia [97] рассматривалось уравнение
?
?t
P (r, t) =
1
r
d
s
?1
?
?r

K(r) r
d
s
?1
?P (r, t)
?r

,
где коэффициент K(r) зависит от r по степенному закону.
В работе Я.И. Житомирского [15] исследовалась краевая задача в пер-
вом квадранте для системы линейных уравнений в частных производных с
дифференциальными операторами типа Бесселя
?u(x, t)
?t
= P (B, t)u(x, t),
где u(x, t) = {u
1
(x, t), ..., u
m
(x, t)}, P (B, t)
 квадратная матрица размера
m Ч m,
элементами которой являются полиномы от операторов Бесселя B =
?
2
?x
2
+
2p+1
x
?
?x
одного и того же порядка p > 0. Начальное и граничное условия
задаются в виде u(x, 0) = u
0
(x), u
x
(0, t) = 0.
Л.Н. Ляхов и Л.Б. Райхельгауз [29] исследовали задачу Коши для пара-
болических систем дифференциальных уравнений с D
B
-оператором Бесселя,
степени которого представляют собой степень оператора Бесселя или произ-
водную от степени этого оператора
D
?
B
=
?
?
?
B
?/2
,
? = 2k,
d
dx
B
(??1)/2
, ? = 2k + 1,
(5)
где k = 0, 1, 2, ..., B =
d
2
dx
2
+
2p+1
x
d
dx
, p > ?1/2.
В этой работе сформулиро-
ваны теоремы существования и единственности решения исследуемой зада-
чи в соответствующем классе обобщенных вектор-функций. Л.Н. Ляховым
в работе [30] строится фундаментальное решение обыкновенного дифферен-

6
циального уравнения четного порядка с оператором D
?
B
.
Дифференциальные уравнения, содержащие оператор Бесселя, наиболее
подробно и полно исследованы в работах И.А. Киприянова и его учеников [19],
[21]. Следует отметить полученные В.В. Катраховым и С.М. Ситником [17],
С.М. Ситником и Э.Л.Шишкиной [51] весьма важные результаты по приме-
нению операторов преобразования в теории дифференциальных уравнений с
особенностями в коэффициентах, в частности, с операторами Бесселя.
В случае, когда b = 0, 0 < ? < 2, уравнение (1) совпадает с диффузионно-
волновым уравнением. Различные краевые задачи для него, а также для мно-
гомерных его обобщений, богато и обстоятельно исследованы в работах мно-
гих авторов. Приведем некоторые из них.
А.Н. Кочубей в работе [22] исследовал задачу Коши для уравнения диф-
фузии дробного порядка с регуляризованной дробной производной (производ-
ной Капуто) и эллиптическим оператором с непрерывными ограниченными
вещественными коэффициентами
L =
n
X
i,j=1
a
i,j
(x)
?
2
?x
i
?x
j
+
n
X
j=1
b
j
(x)
?
?x
j
+ c(x)u.
В случае, когда L = ?  оператор Лапласа, в терминах H-функции Фокса
построено фундаментальное решение, изучены его свойства, найдено решение
задачи Коши и показана его единственность.
Исследованию задачи Коши для диффузионного и диффузионно-
волнового уравнений дробного порядка с производной Капуто посвящены
также работы А.Н. Кочубея и С.Д. Эйдельмана [23], [24], [86] - [88].
А.В. Псху в работах [44], [45] и [47] методом сведения к системе урав-
нений меньшего порядка и методом функции Грина исследованы первая,
вторая и смешанные краевые задачи в прямоугольной области, а также ре-
шена задача Коши в полосе для диффузионного и диффузионно-волнового
уравнений с оператором РиманаЛиувилля. В работе [48] для многомерного
диффузионно-волнового уравнения с оператором дробного дифференцирова-

7
ния ДжрбашянаНерсесяна, включающим в себя как частный случай опера-
торы дробного дифференцирования РиманаЛиувилля и Капуто, построено
фундаментальное решение и исследованы его свойства, построено решение
задачи Коши и доказана теорема единственности в классе функций, удовле-
творяющих аналогу условия Тихонова. В работах [46] и [102] также пост-
роено фундаментальное решение и исследована задача Коши для уравнения
дробной диффузии соответственно с оператором дискретно распределенного
дифференцирования и оператором ДжрбашянаНерсесяна, действующим по
многим переменным времени. В работе [43] решена первая краевая задача
в нецилиндрической области для диффузионно-волнового уравнения с опе-
ратором ДжрбашянаНерсесяна. Доказана теорема существования и един-
ственности исследуемой задачи, построено представление решения.
А.А. Ворошилов и А.А. Килбас в работе [4] методом интегральных пре-
образований исследовали задачу Коши для уравнения
D
?
0t
u(x, t) = ?
2
?
x
u(x, t), x ? R
m
, t > 0,
(6)
где ?
x
=
P
m
j=1
?
2
/?x
2
j
, n ? 1 < ? < n, n ? N. При 0 < ? 6 1 и 1 < ? < 2
решения выписаны в терминах H-функции Фокса. В работе [3] этими же
авторами была исследована задача Коши в случае, когда в уравнении (6)
вместо оператора РиманаЛиувилля содержится оператор Капуто.
Задача Коши для уравнения (6) при ? = 1, 0 < ? 6 1 была рассмотрена
С.Х. Геккиевой в работе [7], а в работе [8]  исследована первая краевая задача
в первом квадранте для уравнения (6) при m = ? = 1, 0 < ? 6 1. Решения
рассмотренных задач выписаны в терминах функции Райта.
Уравнение диффузии дробного порядка с переменными коэффициентами
a(x)u
xx
+ b(x, y)u
x
+ c(x, y)u ? D
?
0y
u = 0,
где a(x) > 0, b(x, y), c(x, y)  непрерывные функции, исследовалось в работе

8
М.О. Мамчуева [32]. Здесь в терминах функции типа Райта построено фун-
даментальное решение, изучены его свойства, исследована задача Коши. В
работе [32] также исследованы различные краевые задачи для уравнения
 ?
?
?y
?
+ b
?
?
?y
?

u(x, y) ? u
xx
(x, y) + c u(x, y) = f (x, y),
где ? = 2? ? (0, 2), b, c  заданные действительные числа, а в качестве
дробной производной выступает либо производная РиманаЛиувилля, либо
производная Капуто. Последнее уравнение при b = c = 0 совпадает с урав-
нением диффузии дробного порядка.
В работе З.А. Нахушевой [37] рассматривалась задача Самарского в ви-
доизмененной постановке для уравнения диффузии дробного порядка.
Уравнение диффузии дробного порядка и некоторые его обобщения
рассматривались также в работах F. Mainardi [89], [91], G. Pagnini [100],
F. Mainardi, Yu. Luchko, G. Pagnini [90], G. Pagnini, P. Paradisi [99],
A. M. Mathai, R. K. Saxena, H. J. Haubold [92].
Уравнение вида (1), а именно уравнение
D
2/d
w
0t
P (r, t) =
1
r
d
s
?1
?
?r

r
d
s
?1
?P (r, t)
?r

,
(7)
где d
w
и d
s
характеризуют фрактальную размерность среды, P (r, t)  плот-
ность пространственного распределения частиц в момент времени t, было
предложено R. Metzler, W. G. Glockle, T. F. Nonnenmacher в работе [93] для
описания процессов переноса в средах, имеющих фрактальную размерность.
Интерес к изучению уравнений вида (7) вызван также их приложениями при
решении диффузионных задач физики, химии и других прикладных наук
[13], [16], [20], [31], [56], [93] - [95], [106].
Цель работы. Основной целью диссертационной работы является ис-
следование краевых задач для дифференциальных уравнений с оператором
Бесселя и частными производными дробного порядка.

9
Методы исследования. Результаты работы получены с использованием
метода функции Грина, метода интегральных преобразований, теории спе-
циальных функций и теории дробного исчисления.
Научная новизна. В работе исследованы основные краевые задачи для
дифференциальных уравнений с оператором Бесселя, действующим по прост-
ранственной переменной, и частными производными РиманаЛиувилля и Ка-
путо по временной переменной. Все результаты, выносимые на защиту, явля-
ются новыми.
Основные результаты диссертации, выносимые на защиту.
1. Теорема об общем представлении решения в прямоугольной области
дифференциального уравнения с оператором Бесселя и частной производной
дробного порядка.
2. Теоремы существования и единственности решения первой, второй и
смешанных краевых задач в прямоугольной области для дифференциального
уравнения с оператором Бесселя и частной производной дробного порядка.
Построение соответствующих функций Грина.
3. Построение решения задачи Коши для дифференциальных уравнений
с оператором Бесселя и частными производными дробного порядка.
4. Построение решений первой и второй краевых задач в неограниченных
областях для дифференциальных уравнений с оператором Бесселя и част-
ными производными дробного порядка.
5. Доказательство единственности решения краевых задач в неограничен-
ных областях в классах функций быстрого роста.
Теоретическая и практическая значимость. Полученные в работе
результаты носят теоретический характер и могут быть использованы при
математическом моделировании различных процессов переноса в средах с
фрактальной структурой.
Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались
на научно-исследовательском семинаре по проблемам современного анализа,
информатики и физики Института прикладной математики и автоматизации

10
Кабардино-Балкарского научного центра Российской академии наук (ИП-
МА КБНЦ РАН) (руководитель  д.ф.-м.н., проф. А.М. Нахушев), на засе-
даниях отдела Дробного исчисления ИПМА КБНЦ РАН (руководитель 
д.ф.-м.н., доц. А.В. Псху), на научном семинаре кафедры Общей ма-
тематики факультета ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова (руководитель 
д.ф.-м.н., проф. И.С. Ломов), на семинаре ѕИзбранные вопросы матема-
тического анализаї Института математики СО РАН им. С.Л. Соболева
(руководитель  д.ф.-м.н., проф. Г.В. Демиденко), на заседаниях отдела
САПР смешанных систем и управления ИПМА КБНЦ РАН (руководи-
тель  к.ф.-м.н., доц. А.Х. Аттаев), на научно-исследовательском семинаре
по актуальным проблемам прикладной математики ИПМА КБНЦ РАН
(руководитель  к.ф.-м.н., А.А. Алиханов), на Всероссийской научной кон-
ференции молодых ученых ѕCовременные вопросы математической физики,
математической биологии и информатикиї, посвященной памяти академика
А.А. Самарского (Нальчик, 2014 г.), на Международной Российско-Китайской
конференции ѕАктуальные проблемы прикладной математики и физикиї
(Эльбрус, 2015 г.), на Международной научной конференции ѕАктуальные
проблемы теории уравнений в частных производныхї, посвященной памяти
А.В. Бицадзе (Москва, 2016 г.), на Международной научной конференции
ѕАктуальные проблемы прикладной математики и физикиї (Эльбрус,
2017 г.), на Международной школе-конференции ѕСоболевские чтенияї, пос-
вященной 110-летию со дня рождения С.Л. Соболева (Новосибирск, 2018 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в рабо-
тах [58]  [72], [83], из них [58]  [63]  в рецензируемых научных изданиях,
рекомендованных ВАК для публикации основных научных результатов дис-
сертаций на соискание ученой степени кандидата наук.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,
трех глав, объединяющих 13 параграфов, заключения, списка литературы
из 107 наименований и содержит 2 рисунка. Общий объем составляет 125
страниц.

11
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении дается краткий обзор литературы по вопросам, связанным
с темой диссертации, показана актуальность темы исследований, излагается
краткое содержание основных результатов работы.
В первой главе приводятся необходимые для дальнейшего изложения
работы сведения из теории специальных функций, теории дробного исчисле-
ния и теории интегральных преобразований. В џ 1.1 приводятся определения
и некоторые свойства гамма-функции ?(z), бета-функции B(?, ?), функций
Бесселя J
?
(z), I
?
(z),
функции Райта ? (?, ?; z), функции типа Миттаг-Леф-
флера E
1
?
(z; µ).
В этом параграфе также изучены некоторые свойства функ-
ции
J
?, µ, ?
r
(z) = H
2, 1
2, 3
?
?
z
2
4
1 ? ?/2, 1

, µ ? ? ?/2, ? 

r/2, 1

, 1 ? ?/2, 1 
, ? r/2, 1 

?
?
,
(8)
где H
2,1
2,3
[...]
 H-функция Фокса. В частности, здесь приводятся асимп-
тотические формулы, интегральное представление и представление в виде
степенного ряда функции J
?, µ, ?
r
(z),
основанные на известных свойствах H-
функции. Из интегрального представления функции (8) выводятся форму-
лы дифференцирования целого порядка, рекуррентные формулы и формула
автотрансформации.
В џ 1.2 приводятся некоторые сведения из теории дробного исчисления,
в частности, определение оператора дробного интегро-дифференцирования в
смысле РиманаЛиувилля D
?
ay
порядка ? с началом в точке a и с концом в
точке y, определение регуляризованной дробной производной ?
?
ay
.
В џ 1.3 приводится известное определение и некоторые свойства ин-
тегрального преобразования с функцией Райта в ядре (преобразование

12
Станковича)
A
?, µ
v(y) =
?
Z
0
v(t) y
µ?1
? ? ?, µ; ? t y
? ?

 dt, 0 < ? < 1,
где v(y)  функция, заданная на положительной полуоси.
В случае, когда µ = 0, обозначается A
?, 0
v(y) = A
?
v(y).
Если преобразо-
вание A
?, µ
применяется к функции, зависящей от нескольких переменных,
то с помощью нижнего индекса обозначается переменная, по которой прово-
дится преобразование. Например, A
?, µ
y
v(x, y).
Вторая глава посвящена построению и исследованию основных свойств
фундаментального решения уравнения
L u(x, y) ? B
x
u(x, y) ? D
?
0y
u(x, y) = f (x, y),
(9)
где
B
x
= |x|
?b
?
?x

|x|
b
?
?x

=
?
2
?x
2
+
b
x
?
?x
 оператор Бесселя, |b| < 1, 0 < ? 6 1, а также построению общего пред-
ставления решения и функций Грина первой, второй и смешанных краевых
задач в прямоугольной области.
В џ 2.1 строится и исследуются основные свойства фундаментального ре-
шения уравнения (9)
?
?, µ, ?
? ?
?, µ, ?
(x, ?, y) = A
?, µ
y
g(x, ?, y),
(10)
g(x, ?, y) =
|x?|
?
4y
e
?
x2+?2
4y

I
??
 |x?|
2y

+
sign(x?) I
?
 |x?|
2y

,
где ? = (1 ? b)/2. В случае µ = 0 обозначается ?
?, 0, ?
(x, ?, y) = ?
?, ?
(x, ?, y).
В џ 2.2 доказана теорема об общем представлении решения уравнения (9)
в прямоугольной области.
Пусть D = {(x, y) : r
1
< x < r
2
, 0 < y < T }, D
y
= {(?, ?) : r
1
< ? <

13
r
2
, 0 < ? < y}, Ї
D
 замыкание области D.
Регулярным решением уравнения (9) в области D назовем функцию u =
u(x, y),
удовлетворяющую уравнению (9) в области D, и такую, что y
1??
u ?
C( Ї
D), B
x
u, D
?
0y
u ? C(D).
Теорема 1. Пусть y
1??
f (x, y) ? C( Ї
D), ?(x) ? C[r
1
; r
2
],
функция v =
v(x, y; ?, ?)
удовлетворяет условиям:
1)
в области D
y
функция v является решением уравнения
L
?
v(x, y; ?, ?) ? B
?
v(x, y; ?, ?) ? D
?
y?
v(x, y; ?, ?) = q(x, y; ?, ?),
где ?
1??
q ? L(D
y
);
2)
для любой функции h(x) ? C[x
1
; x
2
], r
1
6 x
1
< x
2
6 r
2
,
выполняется
соотношение
lim
??y
x
2
Z
x
1
|?|
b
h(?) D
??1
y?
v(x, y; ?, ?) d? = h(x), x
1
< x < x
2
;
3)
функция v непрерывна в Ї
D Ч Ї
D
y
\{y = ?}
вместе с |?|
b
v
?
, D
?
y?
v
и y
1??
v,
и для любых точек (x, y) ? D и (?, ?) ? D
y
выполняется неравенство
|v(x, y; ?, ?)| 6 const · (y ? ?)
???1
.
Если функция u(x, y) является регулярным решением уравнения (9),
имеет непрерывную и интегрируемую производную с весом |x|
b
u
x
(x, y)
вплоть до участков границы x = r
1
и x = r
2
,
и удовлетворяет условию
lim
y?0
D
??1
0y
u(x, y) = ?(x), r
1
< x < r
2
,

14
то для любой точки (x, y) ? D имеет место соотношение
u(x, y) =
r
2
Z
r
1
|?|
b
v(x, y; ?, 0) ?(?) d?+
+
y
Z
0
 |r
2
|
b
v(x, y; r
2
, ?) u
?
(r
2
, ?) ? |r
1
|
b
v(x, y; r
1
, ?) u
?
(r
1
, ?)?
?|r
2
|
b
v
?
(x, y; r
2
, ?) u(r
2
, ?) + |r
1
|
b
v
?
(x, y; r
1
, ?) u(r
1
, ?)
 d?+
+
r
2
Z
r
1
y
Z
0
|?|
b
[u(?, ?) q(x, y; ?, ?) ? v(x, y; ?, ?) f (?, ?)] d? d?.
В џ 2.3 в прямоугольной области D
r
= {(x, y) : 0 < x < r, 0 < y < T }
исследуется первая краевая задача для уравнения
L u(x, y) = 0.
(11)
Задача 1. Найти регулярное в области D
r
решение уравнения (11), удов-
летворяющее краевым условиям
lim
y?0
D
??1
0y
u(x, y) = ?(x), 0 < x < r,
u(0, y) = ?
0
(y), u(r, y) = ?
r
(y), 0 < y < T,
где ?(x), ?
0
(y)
и ?
r
(y)
 заданные функции.
Функцию G
?, ?
(x, ?, y ? ?),
которая является решением уравнения
L
?
G
?, ?
(x, ?, y ? ?) = 0
(12)
и вместе с условиями 2) и 3) теоремы 1 удовлетворяет условиям
lim
??0
G
?, ?
(x, ?, y ? ?) = 0, lim
??r
G
?, ?
(x, ?, y ? ?) = 0, y 6= ?,

15
назовем функцией Грина первой краевой задачи для уравнения (11).
Функция Грина первой краевой задачи представима в виде
G
?, ?
(x, ?, y ? ?) =
=
2
r
2
x
?
?
?
(y ? ?)
1??
?
X
m=1
J
?
(?
m
x) J
?
(?
m
?)
J
2
1+?
(?
m
r)
E
1
?
? ?
2
m
(y ? ?)
?
; ?

,
(13)
где ?
m
 положительные корни уравнения J
?
(?
m
r) = 0, m = 1, 2, ...,
зануме-
рованные в порядке их возрастания.
Теорема 2. Пусть ?(x) ? C[0, r], y
1??
?
0
(y), y
1??
?
r
(y) ? C[0, T ]
и вы-
полнены условия согласования
lim
y?0
D
??1
0y
?
0
(y) = ?(0), lim
y?0
D
??1
0y
?
r
(y) = ?(r).
Тогда существует единственное решение задачи 1, представимое в виде
u(x, y) =
r
Z
0
?
1?2?
G
?, ?
(x, ?, y) ?(?) d?+
+
y
Z
0
?
1?2?
G
?, ?
?
(x, ?, y ? ?)
?=0
?
0
(?) d? ? r
1?2?
y
Z
0
G
?, ?
?
(x, r, y ? ?) ?
r
(?) d?,
где G
?, ?
(x, ?, y)
определяется из (13).
В џ 2.4 исследуется вторая краевая задача для уравнения (11) в прямо-
угольной области D
r
.
Задача 2. Найти регулярное в области D
r
решение уравнения (11), удов-
летворяющее краевым условиям
lim
y?0
D
??1
0y
u(x, y) = ?(x), 0 < x < r,
lim
x?0
x
b
u
x
(x, y) = ?
0
(y), u
x
(r, y) = ?
r
(y), 0 < y < T,

16
где ?(x), ?
0
(y)
и ?
r
(y)
 заданные функции.
Функцию G
?, ?
(x, ?, y),
которая является решением уравнения (12) и вме-
сте с условиями 2) и 3) теоремы 1 удовлетворяет условиям
lim
??0
?
b
G
?, ?
?
(x, ?, y ? ?) = 0, G
?, ?
?
(x, r, y ? ?) = 0, y 6= ?,
назовем функцией Грина второй краевой задачи для уравнения (11).
Функция Грина второй краевой задачи представима в виде
G
?, ?
(x, ?, y ? ?) =
=
2
r
2
x
?
?
?
(y ? ?)
1??
?
X
m=1
J
??
(?
m
x) J
??
(?
m
?)
J
2
??
(?
m
r)
E
1
?
? ?
2
m
(y ? ?)
?
; ?

,
(14)
где ?
m
 положительные корни уравнения J
1??
(?
m
r) = 0, m = 1, 2, ...
Теорема 3. Пусть ?(x) ? C[0, r], y
1??
?
0
(y), y
1??
?
r
(y) ? C[0, T ].
Тогда
существует единственное решение задачи 2, представимое в виде
u(x, y) =
r
Z
0
?
1?2?
G
?, ?
(x, ?, y) ?(?) d??
?
y
Z
0
G
?, ?
(x, 0, y ? ?) ?
0
(?) d? + r
1?2?
y
Z
0
G
?, ?
(x, r, y ? ?) ?
r
(?) d?,
где функция G
?, ?
(x, ?, y)
определяется из (14).
В џ 2.5 построены функции Грина и найдены представления решений двух
смешанных краевых задач для уравнения (11) в области D
r
.
Задача 3. Найти регулярное в области D
r
решение уравнения (11), удов-
летворяющее краевым условиям
lim
y?0
D
??1
0y
u(x, y) = ?(x), 0 < x < r,

17
u(0, y) = ?
0
(y), u
x
(r, y) = ?
r
(y), 0 < y < T.
Задача 4. Найти регулярное в области D
r
решение уравнения (11), удов-
летворяющее краевым условиям
lim
y?0
D
??1
0y
u(x, y) = ?(x), 0 < x < r,
lim
x?0
x
b
u
x
(x, y) = ?
0
(y), u(r, y) = ?
r
(y), 0 < y < T.
Третья глава посвящена исследованию краевых задач в неограниченных
областях для дифференциальных уравнений с оператором Бесселя, производ-
ными РиманаЛиувилля и Капуто.
В џ 3.1 исследуется задача Коши в области ? = {(x, y) : ?? < x < ?,
0 < y < T }
для уравнения (9).
Регулярным решением уравнения (9) в области ? будем называть функ-
цию u = u(x, y), удовлетворяющую уравнению (9) в области ?, и такую, что
y
1??
u ? C( Ї
?), B
x
u, D
?
0y
u ? C(?), Ї
?
 замыкание области ?.
В случае, когда f(x, y) ? 0 исследована задача Коши и доказана соответ-
ствующая теорема существования и единственности решения.
Задача 5. Найти регулярное в области ? решение уравнения (11), удов-
летворяющее условию
lim
y?0
D
??1
0y
u(x, y) = ?(x), ?? < x < ?,
где ?(x)  заданная функция.
Теорема 4. Пусть ?(x) ? C(??, ?) и выполняется условие
lim
|x|??
?(x) exp

?? |x|
2
2??

= 0,
? < (2 ? ?) 2
?
2
2??
( ? / T )
?
2??
.

18
Тогда функция
u(x, y) =
?
Z
??
|?|
1?2?
?
?, ?
(x, ?, y) ?(?) d?,
где ?
?, ?
(x, ?, y)
определяется из (10), является регулярным решением за-
дачи 5.
Решение единственно в классе функций, удовлетворяющих при некото-
ром положительном k условию
lim
|x|??
y
1??
u(x, y) exp ? k |x|
2
2??

 = 0.
В этом параграфе также доказана теорема существования решения задачи
Коши в случае, когда f(x, y) 6? 0, и показана неулучшаемость показателя
степени в условии единственности решения задачи Коши.
В џ 3.2 исследуется первая краевая задача в области ?
+
= {(x, y) : 0 <
x < ?, 0 < y < T }
для уравнения (11).
Регулярным решением уравнения (11) в области ?
+
будем называть функ-
цию u = u(x, y), удовлетворяющую уравнению (11) в области ?
+
,
и такую
что y
1??
u ? C( Ї
?
+
), B
x
u, D
?
0y
u ? C(?
+
), Ї
?
+
 замыкание области ?
+
.
Задача 6. Найти регулярное в области ?
+
решение уравнения (11),
удовлетворяющее краевым условиям
lim
y?0
D
??1
0y
u(x, y) = ?(x), 0 < x < ?,
u(0, y) = ? (y), 0 < y < T,
где ?(x) и ?(y)  заданные функции.
Обозначим через
K
?, ?
(x, y) =
x
?
y
???/2?1
2
?
?(?)
J
?, ?, 2+?
?

x
y
?/2

,
(15)

19
G
?, µ, ?
(x, ?, y) = A
?, µ
y
g(x, ?, y),
(16)
где
g(x, ?, y) =
x
?
?
?
2y
e
?
x2+?2
4y
I
?
 x?
2y

.
В случае µ = 0 будем обозначать G
?, 0, ?
(x, ?, y) = G
?, ?
(x, ?, y).
Теорема 5. Пусть ?(x) ? C[0, ?), y
1??
? (y) ? C[0, T ],
lim
x??
?(x) exp

?? x
2
2??

= 0,
? < (2 ? ?) 2
?
2
2??
( ? / T )
?
2??
,
(17)
и выполнено условие согласования lim
y?0
D
??1
0y
? (y) = ?(0).
Тогда функция
u(x, y) =
?
Z
0
?
1?2?
G
?, ?
(x, ?, y) ?(?) d? +
y
Z
0
K
?, ?
(x, y ? ?) ? (?) d?,
где G
?, ?
(x, ?, y)
определяется из (16), K
?, ?
(x, y)
 из (15), является регу-
лярным решением задачи 6.
Решение единственно в классе функций, удовлетворяющих при некото-
ром положительном k условию
lim
x??
y
1??
u(x, y) exp ? k x
2
2??

 = 0.
(18)
В џ 3.3 исследуется вторая краевая задача в области ?
+
.
Задача 7. Найти регулярное в области ?
+
решение уравнения (11),
удовлетворяющее краевым условиям
lim
y?0
D
??1
0y
u(x, y) = ?(x), 0 < x < ?,
lim
x?0
x
b
u
x
(x, y) = ?(y),
0 < y < T,
где ?(x) и ?(y)  заданные функции.

20
Обозначим через
K
?, ?
(x, y) = ?
x
?
y
??/2?1
2
1??
?(1 ? ?)
J
?, ?, 2??
??

x
y
?/2

,
(19)
G
?, µ, ?
(x, ?, y) = A
?, µ
y
g(x, ?, y),
(20)
где
g(x, ?, y) =
x
?
?
?
2y
e
?
x2+?2
4y
I
??
 x?
2y

.
В случае µ = 0 будем обозначать G
?, 0, ?
(x, ?, y) = G
?, ?
(x, ?, y).
Теорема 6. Пусть ?(x) ? C[0, ?), y
1??
?(y) ? C[0, T ]
и выполнено ус-
ловие (17). Тогда функция
u(x, y) =
?
Z
0
?
1?2?
G
?, ?
(x, ?, y) ?(?) d? +
y
Z
0
K
?, ?
(x, y ? ?) ?(?) d?,
где G
?, ?
(x, ?, y)
определяется из (20), K
?, ?
(x, y)
 из (19), является регу-
лярным решением задачи 7.
Решение единственно в классе функций, удовлетворяющих условию (18).
В џ 3.4 исследуются краевые задачи в неограниченных областях для урав-
нения с производной Капуто
B
x
u(x, y) ? ?
?
0y
u(x, y) = 0,
(21)
где |b| < 1, 0 < ? 6 1.
Регулярным решением уравнения (21) в области ? будем называть функ-
цию u = u(x, y), удовлетворяющую уравнению (21) в области ?, и такую, что
u ? C( Ї
?), B
x
u, ?
?
0y
u ? C(?).
Задача 8. Найти регулярное в области ? решение уравнения (21), удов-
летворяющее условию
u(x, 0) = ?(x), ?? < x < ?,

21
где ?(x)  заданная функция.
Теорема 7. Пусть функция ?(x) удовлетворяет условиям теоремы 4 и
условию Гельдера по переменной x. Тогда функция
u(x, y) =
?
Z
??
|?|
1?2?
?
?, 1??, ?
(x, ?, y) ?(?) d?,
где ?
?, 1??, ?
(x, ?, y)
определяется из (10), является регулярным решением
задачи 8.
Решение единственно в классе функций, удовлетворяющих при некото-
ром положительном k условию
lim
|x|??
u(x, y) exp ? k |x|
2
2??

 = 0.
Регулярным решением уравнения (21) в области ?
+
будем называть функ-
цию u = u(x, y), удовлетворяющую уравнению (21) в области ?
+
,
и такую,
что u ? C(Ї?
+
), B
x
u, ?
?
0y
u ? C(?
+
).
Первая краевая задача для уравнения (21) в области ?
+
формулируется
следующим образом.
Задача 9. Найти регулярное в области ?
+
решение уравнения (21),
удовлетворяющее краевым условиям
u(x, 0) = ?(x), 0 < x < ?,
u(0, y) = ? (y), 0 < y < T.
Теорема 8. Пусть функция ?(x) ? C[0, ?) удовлетворяет условию
Гельдера по переменной x, ?(y) ? C[0, T ], ?(0) = ?(0) и выполнено усло-
вие (17). Тогда функция
u(x, y) =
?
Z
0
?
1?2?
G
?, 1??, ?
(x, ?, y) ?(?) d? +
y
Z
0
K
?, ?
(x, y ? ?) ? (?) d?,

22
где G
?, 1??, ?
(x, ?, y)
определяется из (16), K
?, ?
(x, y)
 из (15), является
регулярным решением задачи 9.
Решение единственно в классе функций, удовлетворяющих при некото-
ром положительном k условию
lim
x??
u(x, y) exp ? k x
2
2??

 = 0.
(22)
Сформулируем вторую краевую задачу для уравнения (21) в области ?
+
.
Задача 10. Найти регулярное в области ?
+
решение уравнения (21),
удовлетворяющее краевым условиям
u(x, 0) = ?(x), 0 < x < ?,
lim
x?0
x
b
u
x
(x, y) = ?(y), 0 < y < T.
Теорема 9. Пусть функция ?(x) ? C[0, ?) удовлетворяет условию
Гельдера по переменной x, ?(y) ? C[0, T ] и выполнено условие (17). Тогда
функция
u(x, y) =
?
Z
0
?
1?2?
G
?, 1??, ?
(x, ?, y) ?(?) d? +
y
Z
0
K
?, ?
(x, y ? ?) ?(?) d?,
где G
?, 1??, ?
(x, ?, y)
определяется из (20), K
?, ?
(x, y)
 из (19), является
регулярным решением задачи 10.
Решение единственно в классе функций, удовлетворяющих условию (22).
В џ 3.5 рассматривается уравнение с переменным младшим коэффициен-
том, соответствующее уравнению (9). Устанавливается условие на младший
коэффициент, при котором задача Коши будет иметь единственное решение
в классе ограниченных функций с весом.
В заключении приводятся основные результаты работы.

23

жүктеу/скачать 0,6 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: