И. П. Рустюмова? T. A. Кузнецова
§6. П РИ Л О Ж ЕН И Я О П РЕД ЕЛЕН Н О ГО И Н ТЕГРАЛА
жүктеу/скачать 10,32 Mb. Pdf көрінісі
|
Р устюмова 2005
§6. П РИ Л О Ж ЕН И Я О П РЕД ЕЛЕН Н О ГО И Н ТЕГРАЛА Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла Вычисление объемов тел вращения ] . а ) у = х1 + 1, у = 0, х - -1, х = 2\ б) у = 4х, уЩ 0, х 1 1 х В 4; в ) у ~ . „ 2. У - 0, х - 1 , х - 2 . (х + 1) 2. а) у = -х2, у = 0, х = 3; б )у = \1х, у = 0, х = -1. 3. а)>" = 4 х -х2, у = 0, х = 0, х = 5; л 5л б) У = cosx, j/ =:0, х = — — , х — к. 6 1 J 4 а ).у = - , У = х, х = 2; X б )у = 2л[х, 6 - у = 0, х = 0; в),у = х + 3, .у = х2 + 1; г)>» = sinx, .у = cosx, х = 0; д )у = л12х, У = у - 5. а)> = л/х-1, .У = 1, - О, х = 0; б )у = - у , ^ = 1, ^ = 4, х = 0. X 6. _к = х2, ^ = - 7 (х > 0), у = 0, X = 5. 1Г 7. у = 4 х , у-\х-2\. 8. а) у = х3 - 4х, ^ = 0; 6 )y = -j— , у - I x ~ ~ j> х = 0’ Vx + 1 4 е)j/ = xz-2x+ 2, >> = 2 + 4 x -x 2. 9. Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограничен ной линиями: у = -Jx + 1 ,х = 0,х= 1,у = 0. 10. Вычислите объем тела, образо ванного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой ху = 2, прямыми х = 1, х = 2 и осью абсцисс. 11. Найдите объем фигуры, получен- ной при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, граница которой задана уравнения- ми:>> = х |х - 2 |,х = 0, л = 3, у = 0. 12. Найдите объем тела, полученно го вращением вокруг оси Ох фигу ры, ограниченной параболой у = х2, осью ординат и прямой у = 1. 457 Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла Используя понятие определенного интеграла, рассмотрим общий метод вычисления площадей плоских фигур. 1. Определение. Фигура, ограниченная прямыми;/= 0,х=а,х = Ь и графи ком непрерывной и неотрицательной на [а\ Ь] функцииfix), называется криво линейной трапецией. Площадь криволинейной Приложения определенного интеграла трапеции равна = jf(x )d x . 1. Задание: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а ) у = х2 + 1, у = 0, х = -1, х = 2; б ) у = 4х, у = 0, х = 1, х = 4; 1 в) у = (х+1) Решение: а) у - х1 + \, у = 0, х = -1, х = 2) , у = 0, х = 1, х = 2. Ответ: 6. б) у = Jx , у = 0, х = 1, х = 4; 458 5^ = jVxcfct = Jx2A = —x: 14 О твет: — - 3 “’' Я н О твет: 6 2. Рассмотрим случай, когда у — f (jc), jc е [ а ; й ] - неположительная не прерывная функция. Тогда график функции расположен ниже оси Ох. Для вычисления площади соответствующей криволинейной трапеции следует использовать формулу: а) у = -х2, у = 0, х = 3; б) у = \[х, у - 0, х = - I. Решение: а )у - -х2, у - 0, х = 3; 2. Задание: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: = - |(- х 2)Л = Jx 2ofx = о о О твет: 9. б) у = \[х, у - 0, х = -1; -1 4 3. Пусть функция/(х) непрерывна на [а; 6] и принимает на этом отрезке как положительные, так и отрицательные значения. В этом случае отрезок [а; Ь\ раз бивается на части, в каждой из кото рых функция не изменяет свой знак, затем вычисляются соответствующие этим частям площади по приведенным выше формулам. После этого полу ченные результаты складываются. с Ь $Ф жүктеу/скачать 10,32 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|