Қысып бейнелеу әдісі және оны қолдану. Қысып бейнелеу әдісін Фрелгольмнің интегралдық теңдеуіне қолдану
жүктеу/скачать 146,81 Kb.
|
инт тен лек 5-6
- Бұл бет үшін навигация:
- Сызықты операторларға амалдар қолдану
|
Қысып бейнелеу әдісі және оны қолдану. Қысып бейнелеу әдісі. Қысып бейнелеу әдісін Фрелгольмнің интегралдық теңдеуіне қолдану. пен - метрикалық кеңістіктер, ал болсын. Егер кез келген элементіне белгілі бір заңдылықпен сәйкес қойылса, яғни облысындағы элементтер сызықтық операторы арқылы кеңістіктегі элементтеріне бейнелесе, онда облысында сызықтық оператор анықталған дейді, облысын сызықты операторының анықталу облысы деп атайды. Егер операторының әсері мәндерінің жиыны бүкіл -пен дәлме-дәл келсе, онда операторы -ны -ке бейнелейді деп айтамыз. Мысалдар. 1. ретінде кеңістігін алайық. Әрбір функциясына функциясын сәйкес қойсақ , -да анықталған интегралдық фредгольм-дік операторын анықтаймыз, мұндағы берілген тіктөртбұрышында үзіліссіз функция. 2. сегментінде ақырсыз дифференциалданатын функциялар жиынын арқылы белгілейік. Әрбір функциясы оның туындысы сәйкестендірсек, онда -ны жиынына бейнелейтін дифференциалдау операторы анықтаймыз. Х пен Ү сызықтық кеңістіктер болсын. Егер Х-ті Ү-ке бейнелейтін А операторы үшін: 1) (аддитивтік); 2) пен саны үшін (біртектілік) шарттары орындалса, онда А операторы сызықтық оператор деп аталады. Мысалдар. 1. Х жиынының кез келген ақырлы элементін қайтадан өзіне сәйкестендіруші өрнегімен берілген І операторы сызықтық оператор болады. Әдетте, бұл І операторын бірлік немесе тепе-теңдік операторы деп атайды. 2. болсын. Үзіліссіз ядролы фредгольмдік интегралдық оператор сызықты және үзіліссіз болатынын дәлелдеу қиын емес. Х пен Ү- сызықты нормаланған кеңістіктер, ал кеңістігі Х -ті Ү-ке бейнелейтін А операторының анықталу облысы болсын. Егер санына сәйкес саны табылып, нүктелері болғанда теңсіздігін қанағаттандырса , онда А операторы нүктесінде үзіліссіз деп атайды. 1-теорема. Сызықтық нормаланған кеңістігіне анықталған Х-ті Ү-ке бейнелейтін және нүктесінде үзіліссіз А операторы бүкіл Х кеңістігінде үзіліссіз болады. Дәлелдеу. х нүктесі Х жиынының кез-келген элементі болсын және шарты орындалсын. Ол кезде Ал А операторы нүктесінде үзіліссіз болғандықтан Екінші жағынан, А операторының сызықтық болуына байланысты Сондықтан , бұл өрнектен теңдігі шығады. Демек, А операторы нүктесінде үзіліссіз. Х-ті Ү-ке бейнелейтін сызықтық А операторы бүкіл Х-ке анықталып, үшін саны табылып, теңсіздігі орындалса, онда А-ны шенелген операторы деп атайды. 2-теорема. Сызықтық А операторы үзіліссіз болуы үшін оның шенелген болуы қажетті де жеткілікті. Дәлелдеу. А-шенелген оператор және болсын. Сонда, егер жағдайда демек, А үзіліссіз оператор. Енді А-үзіліссіз деп ұйғарайық . Сонда . Егер десек, онда , яғни А-шенелген оператор. өрнегімен анықталған саны А операторының нормасы деп аталады да символымен белгіленеді. Сызықты операторларға амалдар қолдану. Сызықтық нормаланған Х-ті Ү-ке бейнелейтін А,В,С ... сызықтық операторларын қарастырайық. Егер элементі үшін А мен В сызықтық операторлары Ах=Вх теңдігі қанағаттандырса , онда А мен В операторлары бір біріне тең деп атайды да А=В деп белгілейді. теңдігін қанағаттандыратын операторын А мен В операторларының қосындысы деп атайды. Сызықтық А операторының скаляр санына көбейтіндісі деп өрнекті қанағаттандыратын λА сызықтық операторын атайды. Х кеңістігінің барлық нүктелері үшін өрнегін қанағаттандыратын сызықтық операторды нөлдік оператор деп атап, оны О символымен белгілейді. Әрбір сызықтық А операторы үшін әрқашан оған теріс оператор деп аталатын –А операторы бар болады, ол өрнегімен анықталады. Х-ті Ү- ке бейнелейтін операторлар жиыны жоғарыдағы операторларды қосу, скаляр санға көбейту, нөлдік оператор және теріс оператор ұғымдармен сызықтық кеңістік түзеді. Оның үстіне бұл жиын сызықтық нормаланған кеңістік және ол толық болады. жиындағы сызықтық А мен В операторларының көбейтіндісі деп өрнегін қанағаттандыратын АВ операторын айтады. Жалпы жағдайда . 1-лемма. Сызықтық А мен В операторларының АВ көбейтіндісі сызықтық оператор болады. Расында үшін ; Демек , 1-лемма дәлелденді. Салдар ретінде сызықтық операторлар А,В,С мен скаляр сан үшін: ; ; ; 2-лемма. теңсіздігі орындалады. Шынында, үшін Демек, Егер десек, А операторының екінші дәрежесін анықтаймыз, яғни , ал жалпы түрде екені анықталды. Әрине, - тегі В операторы сол -тегі А операторымен өрнегін қанағаттандырса , онда В операторын А операторына кері оператор деп атайды да, символымен белгілейді, мұндағы, -бірлік оператор. жүктеу/скачать 146,81 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|