Кестенің әрбір шаршысына бүтін сан жазыңдар: кез келген
жүктеу/скачать 67,02 Kb.
|
Олимпиадалық есептер
- Бұл бет үшін навигация:
- 9 сынып 9.1.
- 10 сынып 10.1.
|
Олимпиадалық есептер 2005-2006 оқу жылы 8 сынып 8.1. Өлшемі 6×6 кестенің әрбір шаршысына бүтін сан жазыңдар: кез келген 1×4 және 4×1 тіктөртбұрыштағы сандардың қосындысы жұп, ал барлық сандардың қосындысы тақ болсын. a=9; b=10; c=9; d=8
8.2. L және M нүктелері— ABCD тіктөртбұрышының сәйкес AB және BC қабырғаларының ортасы, ал P — CL мен AM кесінділерінің қиылысу нүктесі. Егер ∠MPC=30⁰ болса, LDM бұрышын тап. Шешуі: ∠MDL=𝚡 ∠ADL=𝚢 MD кесіндісін қосамыз. Сонда △AMD тең бүйірлі үшбұрыш. ∠PAL=90⁰−x−y ∠MPC=∠LPA=30⁰ ∠CLB=∠LPA+∠PAL=30⁰+90⁰−x−y=120⁰−x−y ∠BLC=∠LCD=120⁰−x−y себебі АВ мен СД параллель, Себебі теңбүйірлі∠LCD=∠LDC=120⁰−x−y. Себебі△LCD теңбүйірлі ∠LDC=90⁰−y,∠LDC=∠LCD 90⁰−y=120⁰−x−y x=30⁰ Жауабы: 30⁰ 8.3. Қайсысы үлкен: ме, әлде ме, және неліктен? 8.4. Мына теңдікті қанағаттандыратын a,b,c натурал сандары табыла ма: (a+b)(b+c)(a+c)=4242? Шешуі: 4242=2*3*7*101 Келесі ретпен аламыз. Басқа реті аналогично. a≤b≤c Сонда b+c≤101 Бұдан c≥51 екендігі айқын. b+c≥52 a+c≥52 a+b≥2 Осы теңсіздіктерді мүшелеп көбейтіп келесі теңсіздікті аламыз (a+b)(a+c)(b+c)≥5408. Қарама қайшылық. Жауабы: Шешімі жоқ. 8.5. Сүйірбұрышты ABC үшбұрышының AC және BC қабырғаларынан AD:DC=3:4 және BE:EC=2:3 болатындай етіп сәйкесінше D және E нүктелері алынған.Егер AE мен BD кесінділері F нүктесінде қиылысса, (AF⋅BF)/(FE⋅FD) мәнін тап. Шешуі: Теорема Менелай: ; ; Жауабы: 35/12 9 сынып 9.1. xy−x+y=2006 теңдеуінің барлық бүтін, теріс емес шешімдерін анықта. Шешуі: xy−x+y=2006 xy−x+y−1=2006−1 (x+1)(y−1)=1⋅2005=5⋅401 Жауабы: (0,2006),(4,402),(400,6),(2004,2). 9.2. ABCD трапециясында AB∥CD, ал қабырғалары AB=8, BC=5, CD=4 және AD=3. Егер E — ADC және BCD бұрыштарының биссектрисаларының қиылысу нүктесі болса, CDE үшбұрышының ауданын тап. Шешуі: D бұрышынан шыққан биссектриса AB қабырғасын K нүктесінде, ал C төбесінен шыққан биссектриса AB қабырғасын L нүктесінде қиып өтсін K және L AB қабырғасына тиісті ∠DCL=∠LCB=∠CLB △LBC тең бүйірлі. CB=BL=5. Аналогично △ADK теңбүйірлі. AD=AK=3 AK+BL=8=AB болғандықтан K және L нүктелері AB қабырғасында бір бірімен беттеседі. DH және CM биіктігін түсіреміз. Екі биіктік трапеция ішіне түссін. Сыртына түсетін жағдайы аналогично. AH=x болса, BM=4−x болады. DH=CM DH2=32−x2 CM2=52−(4−x)2 Соңғы екі теңдікті теңестіріп x=0 екенін аламыз. Сонда AH=0. Яғни A мен H нүктелері беттеседі, трапеция тік бұрышты болады. CDE үшбұрышының ауданы келесідей болады S=4∗32=6 Жауабы: 6 9.3. Қайсысы үлкен: ме, әлде ме, және неліктен? 9.5. ABC үшбұрышында ∠B=60⁰, ∠C=90⁰ және AB=1. Теңқабырғалы BCP, CAQ және ABR үшбұрыштары ABC-ға сырттай салынған. QR және AB кесінділері T нүктесінде қиылысады. PRT үшбұрышының ауданын табыңдар. Шешуі: ∠B=60⁰ нүктелер R,B,P бір түзу сызықта орналасқандығынан, ∠CAR=∠QAT=∠C=90∘ , байқаймыз QT=TR , AR⋅sin60⁰=AQ . Нүктеден бүйірге перпендикуляр түзу сызғаннан кейін Q -дан AC , біз оның жақтарын екіге бөлетінін аламыз AB=BR , демек QE=AB ; E∈l∩AB , F∈∩lBR , онда сондай-ақ, және . және QRP бұрышты табамыз , QFR үшбұрыштан аламыз , немесе , Жауабы: 10 сынып 10.1. ABCD трапециясында AB∥CD, ал қабырғалары AB=8, BC=5, CD=4 және AD=3. Егер E — ADC және BCD бұрыштарының биссектрисаларының қиылысу нүктесі болса, CDE үшбұрышының ауданын тап. Шешуі: жүктеу/скачать 67,02 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|