Ламинарлық ағын үшін құбырдағы (трубадағы) Хаген-Пуазейль заңы. Навье – Стокс теңдеулерінің дәл шешімдері
Навье – Стокс теңдеулерінің дәл шешімдері. Құбырдағы Хаген – Пуазейль ағыны
жүктеу/скачать 0,99 Mb.
|
Семинар 4
| Навье – Стокс теңдеулерінің дәл шешімдері. Құбырдағы Хаген – Пуазейль ағыны
Цилиндрлік координатадағы Навье – Стокс (1) және үзіліссіздік теңдеуі (2): (1) (2) Көлденең қимасы дөңгелек құбырдағы ламинарлық сұйық ағысын қарастырайық. Құбырдың осі x осімен беттесетін болсын, ал у радиал кординатасын құбырдың осінен бастап есептейік. Радиал және дөңгелек көлденең қимаға жанама бойымен бағытталған жылдамдық құраушылары нольге тең. Ось бойымен бағытталған жылдамдық құраушысы – u, ол тек y координатасына ғана тәуелді. Құбырдың кез-келген көлденең қимасындағы қысым тұрақты. Нәтижесінде цилиндрлік координатадағы (1) Навье – Стокстың үш теңдеуінен тек соңғысы (осьтік бағыттағысы) ғана қалады. Таңдап алынған белгілеулерге байланысты оның түрі Шекаралық шарттары: у=R барлық мәндерінде =0. (3) (3) теңдеуді шешіп құбырдың көлденең қимасы бойынша жылдамдықтардың таралуын аламыз: (4) мұндағы осы тұрақты қысымның айырымы берілген деп қарастырылады. (4) Навье – Стокс теңдеуінің дәл шешімдері элементарлық жолмен алынған (5) формуламен сәйкес келеді. Көлденең қимадағы жылдамдықтардың таралуы айналу параболоидымен сипатталады. Ағынның максимал жылдамдығы құбырдың ортасында болады (4) (5) Көлденең қимадағы орташа жылдамдық Нәтижесінде құбырдың көлденең қимасы бойынша бірлік уақытта өтетін сұйықтың мөлшері (шығыны) (7) формула дөңгелек құбырда ағатын ламинарлық сұйықтар үшін Хаген – Пуазейль заңы деп аталады. (7) (6) Қарастырылып отырған ламинарлық ағын кез келген, , R және µ мәндері үшін Навье – Стокс теңдеуінің дәл шешімдері болып табылады, сондықтан кез- келген үшін де орынды. Бірақ шын мәнінде ламинарлық ағын (d – құбырдың диаметрі) Рейнольдс санының белгілі бір кризистік мәніне дейін ғана орындалады. Тәжірибелердің көрсетуі бойынша құбырдағы Рейнольдс санының кризистік мәні жуықтап Рейнольдстің санында турбуленттік деп аталатын ағынның басқа түрі пайда болады. Техникалық есептерде қысымның айырымын λ кедергі коэффициенті деп аталатын өлшемсіз коэффициентті енгізу арқылы ағынның орташа жылдамдығымен байланыстыру қажет. Қысымның төмендеуі динамикалық қысымға, соның нәтижесінде ағынның орташа жылдамдығының квадратына пропорционал деп алынады. (8) теңдігіне (7)-ден мәнін қойып, келесіні аламыз Құбырдың диаметрі мен ағынның орташа жылдамдығынан тұратын Рейнольдс санын енгізсе, яғни онда алдыңғы теңдікті келесі түрде жазуға болады λ= (8) (9) (10) (10) теңдігі ламинарлық ағындағы дөңгелек құбыр үшін кедергі заңын өрнектейді. Бұл заң ағынның ламинарлық аймағы үшін өлшеу нәтижелері арқылы расталған. Ол Г. Хагеннің өлшеу нәтижелері келтірілген 2-суреттен анық көрінеді. 2-сурет. Құбырдағы ламинарлық ағын кезіндегі λ кедергі коэффициентінің Рейнольдс санынан тәуелділігі (Хагеннің өлшеулері). Прандтль – Титьенс бойынша Бұдан кері қорытынды шығаруға болады, атап айтқанда (4) жылдамдықтардың параболалық таралуы Навье – Стокс теңдеуінің дәл шешімдері болғандықтан эксперименттің нәтижелерімен сәйкес келуі керек. Көлденең қимасы дөңгелек сақина болып келетін құбырдағы ағындар үшін де Навье – Стокс теңдеуінің дәл шешімдерін алуға болады. Көлденең қимасы эксцентрлік дөңгелек сақина түрінде болып келетін құбырдағы ламинарлық және турбуленттік ағындар теориялық және эксперименттік тұрғыдан зерттелген. жүктеу/скачать 0,99 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|