Лекция Теңсіздіктерді дәлелдеу. Берілген жиында теңсіздіктердің дұрысты ғ
жүктеу/скачать 33,84 Kb.
|
3-4 лекция Теңсіздіктерді дәлелдеу
|
3-4 лекция Теңсіздіктерді дәлелдеу. Берілген жиында теңсіздіктердің дұрыстығын дәлелдейміз. Егер есепте жиын көрсетілмесе, онда теңсіздіктегі айнамалылар кез-келген нақты мәндерді қабылдауы мүмкін. Теңсіздіктерді анықтаманың көмегімен, синтетикалық, кері жору, математикалық индукция әдістерімен дәлелдеуді қарастырамыз. Теңсіздіктің анықтамасы бойынша, егер болса, онда болады деп есептеледі. Осы әдісті теңсіздіктерін дәлелдеуді пайдаланады. Күрделі есептер, яғни теңсіздіктер және тағы басқалардың көмегімен тиімді шешуге болады. Мысалы, маңызды ұғым Коши теңсіздігін студенттерге мектеп математика курсынан белгілі сандардың арифметикалық және геометриялық орталары ұғымы арқылы түсіндіреміз. болсын, арифметикалық ортасы: ал геометриялық ортасы: (әрқашан). Егер болса, - Коши теңсіздігі (1). (ақиқат). Егер және десек, (1)-ден (2) ал онда 1-анықтама. Кейбір теңсіздіктердің ақиқатталаты** сүйеніп, берілген теңсіздікті дәлелдеуді синтетикалық әдіс деп атайды. Негізгі (тірек) теңсіздіктеріне А) ; Ә) ; Б) ; В) және жатады. Мысалы. 1.Tеңсіздікті дәлелді Дәлелдеуі. Негізгі (тірек) етіп Коши теңсіздігін аламыз. олай болса, бірақ сонымен . Дәлелдеуді талдап, теңсіздіктегі теңдік таңбасы және болғанда ғана тенеседі деген қорытындыға келтіреміз. Қарсы жору әдісімен келесі теңсіздікті дәлелдейік. 2. Теңсіздікті дәлелде: Дәлелдеуі. Қарсы жорып, теріс емес мәндерінің жиынтығы бар болса, берілген теңсіздік үшін, яғни орындалсын. Осы теңсіздіктің екі жақ бөлігі де теріс емес, онда оларды квадрат дәрежеге дәрежелейміз болады, мұнан Олай болса біздің жоруымыз дұрыс емес. Ендіше, берілген теңсіздік ақиқат. 2-анықтама. Индукция деп дербес пікірлерден қандай да бір жалпылама қорытындыға келтіретін пайымдаулар әдісін атайды. Математикалық индукция әдісі былайша тұжарымдалады: санына тәуелді пікір кез-келген n үшін: 1) n=1 үшін ақиқат; 2) n=k үшін де ақиқат болатындығынан (k – кез-келген натурал сан) оның келесі 3) n=k+1 саны үшін де ақиқаттығы шығатын болса, онда A(n) пікірі кез-келген натурал n үшін ақиқат болады. Алдымен, дәлелденетін пікір n=1 үшін дәлелденеді (тексерілді). Мұна индукция базисі деп атайды. Индукцияның келесі дәлелденетін бөлігін индукциялық қадам деп атайды, мұнда n=k үшін A(n) тұра деп ұйғарылып, n=k+1 үшін A(n) тура болатындығы, яғни A=kA(k+1) екендігі дәлелденеді. Математикалық индукция принципі негізінде Бернулли теңсіздігін дәлелдеуге болады: x≻-1 және кез-келген натурал n үшін (3) орынды. (3)-те x=0 немесе n=0 болғанда теңсіздікке айналады. (3)-тен басқа құрамында екі теңсіздігі бар Бернулли теңсіздігі бар: егер p≺0 немесе p≻1 болса, онда (4) егер p≺0≺1, онда (4) және (5) теңсіздікте болғанда теңдік орындалады. (3) теңсіздікті дәлелдейік. Дәлелдеуі. 1) n=1 болғанда теңбе-теңдікке айналады 1+x=1+x 2) n=k үшін ақиқат, яәни . 3) n=k+1 үшін де орындалады делік, яғни (6) дан шығады. ,онда (7) теңсіздік шығады. Олай болса, математикалық индукция принципі негізінде (3) Бернулли теңсіздігі кез-келген натурал n үшін дұрыс. 2. a= сандарын салыстырындар. Шешуі. a және b сандарын кемімен, артығымен бағалаймыз. Алынған мәндерін салыстыру мүмкін емес, бірдей. Енді a,b сандарын 0,1 дейінгі дәлдікпен салыстырамыз. Сонымен , ал болады. 3. Сандарды салыстыр: олай болса a≻b. 2-тәсіл. a және b сандарын 1-ге дейінгі дәлдікпен баәалаймыз. яәни 1≺a≺2 яәни 1≺b≺2. сандарының әрқайсынан осы аралықтан (интервалдың) ортасымен, санымен саластырамыз. делік, сонда онда теңсіздігі тура. Енді десек, Соңғы теңсіздік дұрыс емес, дегеніміз қате, олай болса, . Сонымен, , болады. жүктеу/скачать 33,84 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|