Математикалық талдау 1 5- дәріс Функция шегін табудың негізгі әдістері

Математикалық талдау 1 

5- дәріс 

Функция шегін табудың негізгі әдістері 

1-Мысал.   

1

2

3

4

4

3

2

2

3

2

3

















x

x

x

x

x

x

lim

x

 шекті тап. 

Шешуі. Мұнда  





 түріндегі анықталмағандық.   

Бөлшектің алымын да бөлімін де 

3

x

-ке бөлеміз: 

1

2

3

4

4

3

2

2

3

2

3

















x

x

x

x

x

x

lim

x

=





=

4

1

1

2

3

4

4

3

2

1

3

2

3

2



















x

x

x

x

x

x

lim

x

. 

 

2-мысал.        





3

4

3

8

2

2















x

x

x

x

lim

x

. 





























3

4

3

8

2

2

x

x

x

x

lim

x

 













































3

4

3

8

3

4

3

8

3

4

3

8

2

2

2

2

2

2

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

lim

x

 





























3

4

3

8

3

4

3

8

2

2

2

2

x

x

x

x

x

x

x

x

lim

x



















3

4

3

8

4

lim

2

2

x

x

x

x

x

x

 

2

2

4

3

4

1

3

8

1

4

lim

2

2





















x

x

x

x

x

 

 

 

3-мысал. Шектерді тап: 

 1) 

x

mx

sin

lim

x

0



;                            2) 

2

0

5

1

x

x

cos

lim

x





; 

3) 

n

n

n

x

sin

lim

2

2







;                       4) 





2

1

1

x

tg

x

lim

x







;       

5) 

e

x

x

ln

lim

e

x







1

                              6)   

x

x

x

x

lim





















1

1

       

7)  

x

x

x

x

x

x

























7

3

4

5

lim

2

2

                            8)   

 

Шешуі.  

1) Бірінші тамаша шекті қолдансақ, онда  

x

mx

sin

lim

x

0



=



0

0

mx

mx

sin

m

lim

x

0



=

mx

mx

sin

lim

m

x

0



=

m

m





1

. 

2) Теңбе – теңдікті ескерсек  

2

2

1

2









sin

cos

 

 және алдыңғы есептің нәтижесін 

2

5



m

 деп қолдансақ, онда  









0

0

5

1

2

0

x

x

cos

lim

x

2

2

0

2

5

2

x

x

sin

lim

x















=





















2

0

2

5

2

x

/

x

sin

lim

x

2

25

2

5

2

2

















. 

3).

n

n

n

x

sin

lim

2

2







=







0

x

x

x

sin

x

lim

n

n

n









2

2

x

x

x

x

sin

x

lim

n

n

n















1

2

2

. 

4)   

y

x





1

 алмастыру жасасақ, онда 

0



y

 ұмтылғанда  

1



x

  ұмтылады:  













2

1

1

x

tg

x

lim

x





0

=





2

1

0

y

tg

y

lim

y









=























2

2

0

y

tg

y

lim

y

= 





















2

0

cos

1

2

2

cos

2

sin

2

2

2

2

lim

2

2

lim

lim

0

0

0

























y

y

y

y

tg

y

y

ctg

y

y

y

y

. 

Мұнда  

1

0

0









tgx

x

lim

x

tgx

lim

x

x

 ескерілген 

5)  Егер 

z

e

x





 десек онда  

0



z

  

e

x



 ұмтылғанда  



























e

z

e

)

e

z

ln(

lim

z

e

ln

)

e

z

ln(

lim

e

x

x

ln

lim

z

z

e

x

1

0

0

1

0

0

 

.

e

e

e

z

)

e

z

ln(

lim

e

z

1

1

1

1

1

0















 

Мына шек қолданылған  

.

x

)

x

ln(

lim

x

1

1

0







 

6)  Анықталмағандық түрі  

.



1

 Функцияны түрлендіріп екінші тамаша шекті қолдансақ. 

e

)

x

(

lim

x

x









1

1

 













































x

x

x

x

x

lim

x

x

lim

1

2

1

1

1

.

e

e

x

lim

x

x

x

lim

x

x

x

x

2

1

2

1

2

2

1

2

1

1

1







































































 

7) Бөлшектің алымын бөліміне бөлеміз. Онда  































1

7

3

4

5

2

2

x

x

x

x

x

x

lim



























x

x

x

x

x

lim

7

3

3

8

1

2

 























































































x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

lim

7

3

2

3

8

3

8

7

3

2

2

3

8

7

3

1

1

 

=

7

3

2

3

8











x

x

)

x

(

x

x

lim

e

=

8

e

. 

 

8) 

























x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

cos

sin

cos

2

cos

sin

2

lim

0

0

cos

sin

1

2

cos

2

sin

lim

2

4

4





 













x

cos

x

sin

)

x

cos

x

cos(sin

lim

x

2

4

2

2

2

2

4

2

2

4















cos

x

cos

lim

x

. 

.

z

x







4

 ауыстыруын қолдансақ та болады 

 

 

3-мысал. Мына шектерді тап:  

а)  

;

x

tg

x

sin

lim

x

8

3

0



             б)  





x

sin

x

x

ln

x

lim

o

x





1

;  

 

Шешуі. Бөлшектің алымын және бөлімін эквивалентті шексіз аз шамалармен ауыстырамыз  

а) 

 

x

sin 3

~

x

3

, tg 8x ~ 8x, 

x

 

0



 , онда     

 

x

x

lim

x

tg

x

sin

lim

x

x

8

3

8

3

8

3

0

0









. 

б) 





x

ln



1

~

x

,  

x

sin

~

x



 онда 





1

1

2

2











x

x

lim

x

sin

x

x

ln

x

lim

o

x

o

x

.