Матрицалар және анықтауыштар Матрицалар Матрица
жүктеу/скачать 1,46 Mb.
|
аегеом конспект лето20 (1)
Идаятов Аян
| Функциялық қатарлар.
Анықтама. Мүшелері х-ке тәуелді функциялар болып келген қатар функциялық қатар деп аталады және былай белгіленеді: Аргумент х-ке еркімізше кез келген мәнін береміз, сонда сәйкес сандық қатар аламыз: Егер осы сандық қатар жинақталса, онда нүктесі функциялық қатардың жинақталу нүктесі деп аталады. Анықтама. Сәйкес сандық қатар жинақталатын х аргументінің мәндерінің жиыны (12) функциялық қатардың жинақталу облысы деп аталады. Мысал. Жалпы жағдайда синустың аргументі нөлге ұмтылады, онда ақырсыз аздардың эквиваленттілігін пайдаланып функцияны оның аргументтерімен ауыстырамыз да жаңа қатар аламыз:
Осы екі қатардың сәйкес мүшелерінің қатынастарының шегін қарастырамыз: кез келген х үшін орындалады және қатар жинақталады. Сондықтан, берілген қатардың жинақталу облысы бүкіл сан осі: Функциялық қатардың n-ші дербес қосындысын қарастырамыз: Функциялық қатардың қалған мүшесін былай белгілейміз: мұндағы -(12) функциялық қатардың қалдығы деп аталады. Теорема (қажетті белгі). Егер (12) функциялық қатар жинақталса, онда оның қалдығының шегі нөлге тең: Жинақталудың қажеттілік белгісін басқаша былай айтуға да болады: егер қалдық мүшенің шегі нөлге тең болмаса, онда қатар жинақталмайды. Мажорантталатын қатарлар Анықтама. Егер (12) функциялық қатардың әрбір мүшесі үшін және кез келген үшін Тенсіздіктері орындалатын болса және сандық қатары жинақталатын болса, онда қатар мажорантталады деп , ал сандық қатар мажоранттаушы деп аталады. Мысал. фунциялық қатарын қарастырамыз. Функциялық қатардың әрбір мүшесін бағалаймыз: кез келген х үшін. қатары жинақталатыны белгілі, өйткені р=3 > 1 және ол мажоранттаушы қатар болады. Теорема. Егер функциялық қатар бір D облысында мажорантталатын болса, онда ол қатар осы облыста бірқалыпты жинақталады. Функциялық қатардың үзіліссіздігі Мүшелері үзіліссіз функциялардан тұратын қатарын қарастыралық. Егер мүшелері үзіліссіз (12) функциялық қатар жинақты болса, онда қатарының қосындысы S(x) да үзіліссіз функция болады. 1-теорема. Егер мүшелері үзіліссіз (12) функциялық қатар D облысында мажорантталатын болса, онда бұл қатарды мүшелеп интегралдауға болады және S(x)-тің интегралы әрбір мүшенің интегралдарының қосындысына тең: 2-теорема. Егер мүшелері үзіліссіз (12) функциялық қатар D облысында жинақты және әрбір мүшесінің туындысынан құрылған қатар: D облысында мажорантталатын болса, онда бұл қатар жинақталады және оның қосындысы -ке тең, яғни (12) қатарды мүшелеп интегралдауға болады. Мысал. қатарының қосындысын табу керек. Функциялық қатардың жинақталу облысын табу үшін Даламбер белгісін қолданамыз: Жинақтылу облысы (-1;1) аралығы. Мүшелеп туынды аламыз да қосындысын табамыз: өйткені алынған мүшелері ақырсыз кемімелі геометриялық прогрессияның қосындысы. Берілген қатардың қосындысын табу үшін осы қосындыны интегралдаймыз: . Дәрежелік қатарлар Анықтама. қатары, мұндағы - сандар, дәрежелік қатар деп аталады. Бұл қатар функциялық қатардың дербес жағдайы болып табылады, - дәрежелік қатардың коэффициенттері деп аталады. Дәрежелік қатардың мүшелері үзіліссіз функциялар екенін байқау қиын емес. Абель теоремасы. Егер (14) дәрежелік қатар нүктесінде жинақталса, онда (14) барлық мәндерінде жинақталады және егер қатар нүктесінде жинақталмаса, онда (14) қатар барлық мәндерінде жинақталмайды. Дәрежелік қатардың жинақталу аралығы. Жинақталу радиусы. (14) дәрежелік қатарға Даламбер белгісін қолданамыз: Егер шенелген шегі бар болса, яғни немесе , онда (-R;R) дәріжелік қатардың жинақталу аралығы болады, ал R дәрежелік қатардың жинақталу радиусы деп аталады. Сонымен, дәрежелік қатардың жинақталу радиусы мына формуламен табылады: Егер Кошидің радикалдық белгісін қолдансақ, басқа формуланы аламыз: онда дәрежелік қатардың жинақталу радиусы мына формуламен табылады: Тейлор, Маклорен қатарлары. Тейлор және Маклорен қатарларын жуық есептеулерге қолданылуы. - дің дәрежесімен берілген қатарды қарастырамыз: . Бұл қатардың дәрежелік қатардан бар айырмасы х-тің орнында тұр. Дұрысын айтсақ, бұл дәрежелік қатардың жалпы түрі деп аталады. Дәрежелік қатардың барлық қасиеттері бұл қатар үшінде орындалады: тек х орнына алынады, яғни Ақырсыз дифференциалданатын f(x) функциясын қарастырамыз: . коэффициенттерін табу керек. Туынды тақырыбын өткенде n рет дифференциалданатын Функцияны Тейлор формуласы түрінде беруге болатыны келтірілген: Шарт бойынша f(x) функциясы нүктесінің маңайында ақырсыз дифференциалданады, сондықтан оны Тейлор қатары деп аталатын қатарға жіктеуге болады. Егер , онда (15) қатардан Маклорен қатарын аламыз: Белгілі функциялардың Маклорен қатарына жіктелуі қарастырылған. Сондықтан, олардың жіктелуіне толық тоқталмаймыз. 1. функциясын дифференциалдағанда немесе интегралдағанда ол өзінің формасын өзгертпейді. Осыны (**) формуланы пайдаланып тексерелік: өзгермеді. Енді (**) мүшелеп интегралдайық: Мұнда тұрақты С үшін 1-і алдықта оны бірінші орынға жаздық, тағы өзгермеді. 2. 3. Синустың жұп туындыларының 0 нүктесіндегі мәні нөлге тең, ал тақ туындыларының мәндері 1 мен -1 ге тең, сондықтан синус тек тақ дәреже бойынша жіктеледі: 4. функциясының туындылары табылады да 0 нүктесіндегі мәндері есептелінеді. Косинус жұп функция болғандықтан тек дәрежелері бойынша жіктеледі. 5. функциясын Маклорен қатарына өз беттеріңмен жіктендер және жіктелуді тексеріндер. Ескерту. Бұл қатарлар түріндегі күрделі функцияларды жіктеуге қолданылады. Маклорен қатарындағы х-тің орнына D облысында нөлге ұмтылатын u(x) функциясын алса болғаны. функцияларын жіктеу үшін комплекс түбірлерін пайдаланымыз: Тейлор және Маклорен қатарларын жуық есептеулерге қолданылуы. Тейлор мен Маклорен қатарларын қарастырамыз: және Кейбір өрнекті жуықтап есептеу үшін f(x) модель-функциясын тауып, одан кейін және оны қатарға жіктейді. Талап етілетін дәлдікті сақтау үшін қажетті мүшелерін алады. Атап айтқанда: егер қандайда бір мүшесі берілген дәлдікке әсер етпесе, онда оны және онан кейінгі мүшелерді түгел тастау керек. Негізгі әдебиет: 1, [146-196], 2, [457-514] Қосымша әдебиет: 17, [119-142]. Бақылау сұрақтары 1.Таңба ауыспалы қатарлар. Лейбниц теоремасы 2.Абсолютті және шартты жинақтылық. Абсолютті жинақты қатардың белгісі 3.Дәрежелік қатардың анықтамасы. Дәрежелік қатардың жинақталу радиусы 4.Абель формуласы. Функцияның Тейлор қатары. Кейбір элементар функциялардың Маклорен қатарлары
жүктеу/скачать 1,46 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|