Метод ван-дер-поля


Переходим в уравнении (1) к новым переменным a и , полагая здесь и далее , согласно формулам



бет5/6
Дата12.04.2022
өлшемі0,59 Mb.
#138996
түріРеферат
1   2   3   4   5   6
Байланысты:
prorobot.ru-11-0187 метод вандер
кмж 20.09

Переходим в уравнении (1) к новым переменным a и , полагая здесь и далее , согласно формулам




(3)

Далее, дифференцируем (3) по t, считая и φ .




(4)

Подставим (4) в (2), учитывая (3).





(5)

Разрешим эту систему относительно





Домножим второе уравнение на


,
тогда имеем:


(6)

Система (6) полностью эквивалентна уравнению (1). Соответствующая системе (6) усредненная система имеет вид


(7)

В системе (7) и имеют вид:





то есть







Таким образом имеем




или


(8)

Чтобы найти в явном виде закон изменения амплитуды в зависимости от времени, необходимо решить первое уравнение системы (8):





Умножим обе части равенства на :




.

Сделаем замену





,
умножаем обе части равенства на :

Так как ,


то тогда ,
или



Предположим, что , тогда




; ;


+ .
Отсюда находим


(9а)

Колебания представятся следующим образом (находим выражение для приближенного значения x в явном виде)




(9)

Найдем


Динамический режим обладает сильной устойчивостью, заключающейся в том, что каково бы ни было значение , малое или большое, все равно при .


Как видно из выражения (9), если начальное значение амплитуды =0, амплитуда останется равной нулю для любого t, и, следовательно, получим х=0, то есть тривиальное решение уравнения (1). Это тривиальное решение, очевидно, соответствует статическому режиму, то есть отсутствию колебаний в системе.
Однако, исходя из формулы (9), нетрудно заключить, что этот статический режим неустойчив. Действительно, как бы ни было мало начальное значение амплитуды, оно все равно будет монотонно приближаться к значениям, равным . Таким образом, поскольку случайные малые толчки практически неизбежны, в рассматриваемой колебательной системе, находящейся в состоянии покоя, автоматически возбуждаются колебания с амплитудой, то есть система самовозбуждается.
Из выражения (9) следует, что если , то , и для любых очень быстро приближается к значению независимо от . Это решение соответствует стационарному (установившемуся) динамическому режиму:


(10)

Иначе говоря, любое колебание при увеличении t приближается к стационарному колебанию, то есть колебания будут устойчивы.


Режимы с постоянной амплитудой, для , приводят к уравнению

А = =0




.

Корни этого уравнения ;




; <0

Таким образом, соответствует неустойчивому состоянию равновесия, а соответствует устойчивому предельному циклу.


Для любого заданного положительного сколь угодно малого значения параметра всегда можно найти такое достаточно малое значение параметра , для которого уравнение (1) или, что то же самое, система (2), имела бы предельный цикл, лежащий в окрестности окружности , причем этот предельный цикл устойчив, если , и неустойчив, если . Все эти рассуждения следуют из теоремы Мандельштама и Папалекси.
Наряду с точной системой рассматривается приближенная


, (s=1,2) .




Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6




©engime.org 2022
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет