10 А. Е.Әбiлқасымова, З.Ә. Жұмағұлова алгебра

53
МЫСАЛ
4. cosx + cos2x + cos3x = 0 теңдеуiншешейiк.
Шешуi. Берiлген теңдеудi шешу үшiн қосылғыштарды
топтаймыз:(cosx + cos3x) + cos2x = 0. Жақша iшiндегi өрнекке
косинустардыңқосындысыныңформуласынқолданамыз: 2cos
· cos
+
+ cos2x = 0; 2cos2x · cos(–x) + cos2x = 0. Ендi ортақ көбейткiштi жақшаның
сыртына шығарамыз:cos2x(2cosx + 1) = 0. Сондаcos2x = 0 және2cosx + 1 = 0
теңдеулерiн аламыз.Бұдан cos2x = 0; 2x =
+
π
n; x = +
, n
∈
Z.
2cosx + 1 = 0; 2cosx = –1; cosx = – ;
x = ±arccos
+ 2
π
k немесеx = ±
+ 2
π
k, k
∈
Z.
Жауабы:
+
, n
∈
Z; ±
+ 2
π
k, k
∈
Z.
Бiртектітригонометриялық
теңдеулерді
шешудіүйренесіңдер.
МЫСАЛ
5. cos4xcos2x = cos5xcosx теңдеуiншешейiк.
Шешуi. Тригонометриялықформулалардықолданып,көбейтiн-
дi түрiнде берiлген өрнектердi қосындымен алмастырамыз:
cos4xcos2x = (cos6x + cos2x), ал cos5xcosx = (cos6x + cos4x). Онда берiлген
теңдеубылайжазылады:
(cos6x + cos2x) = (cos6x + cos4x),
cos6x + cos2x – cos6x – cos4x = 0,
cos2x – cos4x = 0.
Ендi косинустардыңайырымының формуласын қолданамыз:
2sin3x · sinx = 0.
Егерsin3x = 0 болса,онда3x =
π
n, x = n, n
∈
Z.
Егерsinx = 0 болса,ондаx =
π
k, k
∈
Z.
Шешiмдердiңекi тобынбiр формулағабiрiктiругеболады,яғни x = n, n
∈
Z.
Жауабы:
n, n
∈
Z.
МЫСАЛ
3. 3tgx – ctgx = 0 теңдеуiншешейiк.
Шешуi.tgx · ctgx = 1 формуласынаналынғанtgx =
өрнегiн
берiлгентеңдеугеқоямыз:3 ·
– ctgx = 0, 3 – ctg
2
x = 0, ctg
2
x = 3; ctgx = ±
,
яғни ctgx =
; ctgx = –
.
Берiлгентеңдеуекi қарапайымтеңдеугекелдi. Олардыңшешiмдерi:
1) ctgx =
, x = +
π
n, n
∈
Z; 2) ctgx =–
, x =
+
π
k, k
∈
Z.
Жауабы:
+
π
n, n
∈
Z;
+
π
k, k
∈
Z.

54
МЫСАЛ
6. 10sin
2
x = 1 + 3cos
2
x теңдеуiншешейiк.
Шешуi. Теңдеудiңоң жақ бөлiгiндегi1 санынбiрiншi тригоно-
метриялықтепе-теңдiкпеналмастырайық.
10sin
2
x = sin
2
x + cos
2
x + 3cos
2
x немесе9sin
2
x – 4cos
2
x = 0.
Осы шыққан теңдеудiңсол жағындатұрған қосылғыштардыңәрқайсысының
дәрежесi 2-ге тең. Демек, берiлгентеңдеу— екiншi дәрежелiбiртектестеңдеу.
Бұл теңдеудiшешу үшiн теңдiктiңекi жағынмүшелепcos
2
x
≠
0 немесеsin
2
x
≠
0
функциясынабөлемiз.
Егерcos
2
x
≠
0-ге бөлсек,ондаtgx, ал sin
2
x
≠
0 бөлсек,ондаctgx функциясына
қатыстыквадраттеңдеугекелемiз.Бiрiншi жағдайдықарастырайық:
= 0; 9tg
2
x – 4 = 0.
Осыдан(3tgx – 2) · (3tgx + 2) = 0.
3tgx – 2 = 0; 3tgx + 2 = 0.
Сонымен,3tgx = 2; tgx = , x
1
= arctg +
π
k, k
∈
Z;
3tgx = –2; tgx =– , x
2
= arctg
+
π
n, n
∈
Z;
arctg
= –arctg
болғандықтан,x
2
= –arctg +
π
n, n
∈
Z.
Жауабы: arctg +
π
k, k
∈
Z; –arctg +
π
n, n
∈
Z.
Жаттығулар
А
Теңдеулердішешіңдер(8.1—8.4):
8.1.а) 2cos
2
x – 3cosx + 1 = 0;
ә) 2cos
2
x – 2cosx – 1 = 0;
б) 2sin
2
x + sinx – 1 = 0;
в) 6tg
2
x + tgx – 2 = 0.
8.2.а) 3сos
2
x + 10cosx + 3 = 0;
ә) 2sin
2
x + 5sinx + 2 = 0;
б) 2+ cos
2
x = 2 sinx ;
в) 3 – 3cosx = 2 sin
2
x.
8.3.а) tgx + 3ctgx = 4;
ә) tgx – 4ctgx = 3;
б) tg
2
x – 1 = 0;
в) ctg
2
x – 3 = 0.
8.4.а) cos7x +cosx = 0;
ә) sin7x – sinx = 0;
б) sin
2
x + sin2x = 1;
в) cos
2
x – sin2x = 1.
Теңдеудіңтүбірлерінтабыңдар
(8.5-8.6):
8.5.а) 3 sin
2
x + sinx · cosx = 2 cos
2
x ;
ә) 2cos
2
x – 3sinx · cosx + sin
2
x = 0.
8.6.а) 9sinxcosx – 7cos
2
x = 2sin
2
x ;
ә) 2 sin
2
x – sinxcosx = cos
2
x.
1. Тригонометриялықтеңдеулердіңшешiмдерiнегешексiзкөп?
2. Тригонометриялық теңдеулерді шешудiң алгебралық теңдеулерді
шешуденқандайайырмашылығыбар?
Бiртекті
тригонометриялық
теңдеулер
депәрбiрқосылғыштың
дәрежекөрсеткiштерiөзаратеңболатынтеңдеулердiайтады.

55
В
Теңдеулердішешіңдер (8.7—8.12):
8.7.а) 5sin
2
x + 4sin
= 4;
ә) 6сos
2
x + 5cos
= 7.
8.8.а) 4sin
2
x – 2sinx · cosx = 3;
ә) cos
2
x – sin
2
x = 2cosx – 1.
8.9.а) sin
2
x + sin2x = 0;
ә) cos
2
x –
sin2x = 0.
8.10.а) 2sin
2
x =
sin2x ;
ә)
tgx –
ctgx = 2;
б) sin2x + 2cos2x = 1;
в) 3sin2x + cos2x = 2cos
2
x;
г) cos
2
x + 4sin
2
x = 2sin2x.
8.11.а) 6sin
2
x = 4 + sin2x ;
ә) 3sin2x + 8cos
2
x = 7.
8.12.а) sin2x · cos4x = sin7x · sin9x ;
ә) cos10x · cos7x – cos2x · cos15x = 0;
б) sin5x · sin3x + cos7x · cosx = 0;
в) cosx · sin5x = cos2x · sin4x;
г) sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0;
ғ) sin3x · sin
2
x = sin3x · сos
2
x.
Теңдеудіңтүбірлерінтабыңдар(8.13-8.14):
8.13.а) 2sin
2
2x + 3cos
2
2x = 5sin2x · cos2x ;
ә) 3sin
2
2x – sin2x · cos2x – 4cos
2
2x = 0.
8.14.а) 3sin
2
+ 2cos
2
– 7sin
· cos = 0;
ә) 2cos
2
3x + sin
2
3x – 3sin3xcos3x = 0.
Тригонометриялық
функциялар,олардыңанықталуоблысы,мәндер
жиыны,қасиеттерi,графиктерi,тригонометриялық
формулалары,
керi тригонометриялық
функциялар.
§9. ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ
ТЕҢСIЗДIКТЕРДI
ШЕШУ
Алдыңғыпараграфтатригонометриялықтеңдеулердiшешудіқарас-
тырдық. Кезкелгентригонометриялықтеңдеулертепе-теңтүрлендiру
арқылы қарапайым тригонометриялық теңдеулерге келтiрiлiп
шешiлетiнiнекөз жеткiздiк.
Ендi тригонометриялықтеңсiздiктердiшешуге тоқталамыз.Три-
гонометриялықтеңсiздiктердiшешудi қарапайымтригонометриялық
Түйіндіұғымдар
Теңсіздік, тригономет-
риялықтеңсіздік,функ-
ция графигі
Сендертригонометриялық
теңсiздiктер
ұғымымен
танысасыңдар,
тригонометриялық
теңдеулерді
шешудіүйренесiңдер.
ЖАҢАБІЛІМДІМЕҢГЕРУГЕ
АРНАЛҒАНТІРЕКҰҒЫМДАР

56
теңсiздiктердiшешуденбастаймыз.Себебi,кез келгентригонометрия-
лық теңсiздiктер тепе-теңтүрлендiрiлгеннен
кейiнмынатеңсiздiктердiң
ең болмағандабiреуiнекеледi:
sinx
m
a; sinx
l
a; sinx < a; sinx > a;
cosx
m
a; cosx
l
a; cosx < a; cosx > a;
tgx
m
a; tgx
l
a; tgx < a; tgx > a;
(1)
ctgx
m
a; ctgx
l
a; ctgx < a; ctgx > a,
мұндағыa
∈
R.
Қарапайымтригонометриялықтеңсіздіктерграфиктік тәсілмен
шығарылады.Атап айтқанда,қарапайымтригонометриялықтеңсіз-
діктерді шешу үшін тригонометриялықфункцияныңграфигінемесе
бірлік шеңберқолданылады.
МЫСАЛ
1. sinx
l
теңсiздiгiншешейiк.
Шешуi. Теңсiздiктiшешуүшiн y = sinx функциясыныңграфигi
синусоидақисығыменy = түзуiнкоординаталықжазықтықтасалсақ,y = түзуi
синусоиданышексiзкөп нүктелердеқиып өтедi(44.1-сурет).
44.1-сурет
АЛГОРИТМ
Тригонометриялықтеңсiздiктердiфункцияныңграфигіарқылы
шешу алгоритмi:
1) тригонометриялықтеңсiздiктiқарапайымтригонометриялық(1) түріндегі
теңсiздiккекелтiру;
2) бiр координаталықжазықтықтатеңсiздiктiңқұрамындаберiлгентригоно-
метриялықфункцияныңграфигiнсалу жәнеy = a түзуiн жүргiзу;
3) функцияларграфиктерiнiңқиылысу нүктелерiнбелгiлеу;
4) берiлген теңсiздiктi қанағаттандыратынқисықтың бөлiгiн, сосын Ox
осiндегiнегiзгiаралықты(координаталарбасынажақын орналасқанаралықты)
анықтау;
5) берiлгентеңсiздiктекөрсетiлгенфункцияғакерi тригонометриялықфунк-
цияның мәнiнескерiп,негiзгiаралықтыңшеткi нүктелерiнiң абсциссаларының
мәнiнтабу;
6) тригонометриялықфункцияныңпериодтылыққасиетiнпайдаланып, тең-
сiздiктiң жалпышешiмiнжазу.
(1) түрiндеберiлгентеңсiздiктерқарапайымтригонометрия-
лық теңсiздiктер
деп аталады.

57
44.2-сурет
2. sinx
l
теңсiздiгiнбірлік шең-
берарқылы шығарайық.
Шешуі.
α
=arcsin = ;
b
=
π
– arcsin =
π
–
=
.
Демек,
m
х
m
(44.2-сурет).Енді функцияның
периодтылығынескерсек,
+ 2
π
n
m
х
m
+ 2
π
n, n
∈
Z, аламыз.
Жауабы:
, n
∈
Z.
МЫСАЛ
Берiлген теңсiздiктi қанағаттандыратынсинусоида қисығының бөлiктерi
у =
түзуiнен жоғары орналасқан.Абсцисса осiнiң оң жағында орналасқан
бiрiншi кесiндiнiң ұштарынx
1
, x
2
деп белгiлеп,олардыңмәндерiнанықтайық.Ол
үшiн arcsin =
екенiнескеремiз.Сондаx
1
= , x
2
=
π
–
=
шығады.
Демек,
m
x
m
. Берiлгентеңсiздiктiңтолық шешiмiн жазу үшiн у = sinx
функциясыныңпериодтылыққасиетiнпайдаланамыз: +2
π
n
m
x
m
+2
π
n, n
∈
Z.
Жауабы:
, n
∈
Z.
МЫСАЛ
3. tgx < 1 теңсiздiгiншешейiк.
Шешуі. tgx < 1 теңсіздігіншешу үшін у = tgx функциясының
графигі мен у = 1 түзуін бір координаталықжазықтықта салсақ, у = 1 түзуі
тангенсоиданышексізкөп нүктелерде(әрбірпериодтабір рет)қияды (45-сурет).
45-сурет
АЛГОРИТМ
Қарапайым тригонометриялық теңсіздікті бірлік шеңбер
арқылы шығаруалгоритмі:
1) Бірлік шеңберсалу;
2) теңсіздіктің оң жақ бөлігіндегі аргументтіңаркфункциясыныңмәнін
шеңбердоғасындабелгілеу;
3) аркфункцияныңмәні арқылы Ох (Оу) өсінепараллельтүзу жүргізу;
4) тригонометриялықтеңсіздіктіңшешімдержиыны болатыншеңбер доға-
сының бөлігінкөрсету;
5) жауабынжазу.

58
4. ctg x
l
теңсiздiгiншешейiк.
Шешуi.Теңсiздiктiшешу үшiн у = ctgx функциясыныңграфи-
гiн жәнеу =
түзуiнiң графигiнбiр координаталықжазықтыққа салсақ,у =
түзуi котангенсоида қисығын шексiз көп нүктелерде(әр периодтабiр рет) қиып
өтедi(46-сурет).
Берiлген теңсiздiктi қанағаттан-
дыратын котангенсоиданыңбөлiктерi
у =
түзуiненжоғары жатады.
arcctg
=
екенін ескерсек, бе-
рілген теңсіздікті қанағаттандыратын
негізгі аралық
немесе0 < x
m
болады.
ctgx
l
теңсіздігінің толық ше-
шімін анықтауүшін у = ctgx функция-
сының периодтылық қасиетін қолда-
намыз,яғни
π
n < x
m
+
π
n, n
∈
Z.
Жауабы:
n
∈
Z.
46-сурет
МЫСАЛ
Берілгентеңсіздіктіқанағаттандыратын
тангенсоиданыңбөліктеріy = 1 түзуінен
төмен орналасқан.Енді
arctg1 =
екенін ескерсек,онда графиктердің
интервалындағықиылысу нүктесініңабсциссасы
x = . Демек,берілгентеңсіздік
шешімінің негізгіаралығы
, яғни
– < x < енді y = tgx функциясының
периодтылығынескеріп,берілгентеңсіздіктіңбарлық шешімдерінанықтаймыз:
– +
π
n <
x < +
π
n, n
∈
Z.
Жауабы:
n
∈
Z.
МЫСАЛ
5. cos
теңсiздiгiншешейiк.
Шешуi.Теңсiздiктiшешуүшiн косинусоидамену =
түзуiнбiркоординаталық
жазықтыққа салсақ, у =
түзуi косинусоиданы шексiз көп нүктелердеқиып
өтедi(47-сурет).
47-сурет

59
1. Тригонометриялықтеңсiздiктердiшешу мен алгебралықтеңсiздiктердi
шешудiңқандайайырмашылығыбар?
2. Тригонометриялықтеңсiздiктi шешу мен тригонометриялықтеңдеудi
шешудiңарасындаұқсастықбар ма? Жауабынтүсiндiрiңдер.
3. Тригонометриялықтеңсiздiктердiшешкендетригонометриялықфунк-
циялардың қасиеттерiпайдаланылама?
Жаттығулар
А
Теңсiздiктердiшешiңдер(9.1-9.2)
:
9.1.а) sinx > 0;
ә) cosx
m
0;
б) tgx
m
0;
в) ctgx > 0.
9.2.а) sinx
l
0,5;
ә) 2cosx
l
–
;
б) sinx
m
–
;
в) –3tgx
m
;
г) sin3x >– ;
ғ) cos2x < – ;
д) tg5x
l
–1;
е) ctg4x
m
–1.
Теңсiздiктiңкөрсетiлгенаралықтағышешiмдерiнтабыңдар(9.3-
9.4):
9.3.а) cos2x
l
–
, x
∈
[–
π
;
π
];
ә) sin
< , x
∈
.
9.4.a) ctg
l
1, x
∈
(0;
π
);
ә) tg4x > –
, x
∈
.
В
9.5.Функцияның анықталуоблысынтабыңдар:
а) у =
+ 2;
ә) у =
– 2.
Теңсiздiктердiшешiңдер(9.6—9.8)
:
9.6.а) cos · sinx – sin · cosx < –
;
Берiлген теңсiздiктi қанағаттандыратынкосинусоиданың бөлiктерi у =
түзуiнен
жоғары орналасқан. Ендеше, негiзгi аралық
.
Демек,
m
x +
m
. Ендi у = cosx функциясының периодтылығын пайдаланып,
мына теңсiздiктi аламыз:
+ 2
π
n
m
x +
m
+ 2
π
n, n
∈
Z. Соңғы
теңсiздiктiңәрбiр бөлiгiнен -ны шегерсек,
+ 2
π
n
m
x
m
+ 2
π
n, n
∈
Z.
Жауабы:
, n
∈
Z.

60
ә) sinx · sin
– cosx · cos
l
;
б) sin4x · cos4x
m
0,25;
в) sin
2
3x – cos
2
3x > –0,5.
9.7.а) 2cos2x > –1;
ә) 2sin4x < –1;
б) –
tg
m
1;
в)
сtg
l
1.
9.8.а)
sin
m
1;
ә) 2cos
m
;
б) 3ctg
>
;
в) tg
< –1.
9.9.а) 4sinx – 2
l
0; ә) 2tg2x + 2 > 0; б) 5cos3x + 2
m
7 теңсiздiгiнiң
шешiмi бар ма?
ӨЗІҢДІТЕКСЕР!
1. у =
функциясыныңанықталуоблысынтабыңдар:
А) –
+ 2
π
n
m
x
m +
2
π
n, n
∈
Z;
B) –
+ 2
π
n
m
x
m
+ 2
π
n, n
∈
Z;
C) –
+
π
n
m
x
m
+
π
n, n
∈
Z;
D) –
+ 2
π
n
m
x
m
+ 2
π
n, n
∈
Z.
2. tg = 1 теңсіздігіншешіңдер:
А) 2
π
n, n
∈
Z;
B) –
+
π
n, n
∈
Z;
C) –
+
π
n, n
∈
Z;
D)
+ 2
π
n, n
∈
Z.
3. cos = 0 теңсіздігіншешіңдер:
А)
+ n, n
∈
Z;
B)
π
+ 2
π
n, n
∈
Z;
C)
π
+ 4
π
n, n
∈
Z;
D)
+
π
n, n
∈
Z.
4. у =
функцияныңанықталуоблысынтабыңдар:
А) 0
m
x <
, n
∈
Z;
B) 0 < x < + 2
π
n, n
∈
Z;
C)
π
n
m
x <
+
π
n, n
∈
Z;
D) 0
m
x
mπ
n, n
∈
Z.

61
5.
sinx – 1 = 0 теңдеуініңтүбірін табыңдар:
А) ±
+ 2
π
n, n
∈
Z;
B) (–1)
n
+
π
n, n
∈
Z;
C) (–1)
n
+ 2
π
n, n
∈
Z;
D)
+ 3
π
n, n
∈
Z.
6. tg x
m
теңсіздігіншешіңдер:
А)
, n
∈
Z;
B)
, n
∈
Z;
C)
, n
∈
Z;
D)
, n
∈
Z.
7. ctgx = 7 теңдеуіншешіңдер:
А) –arctg 7 +
π
k, k
∈
Z;
B) arcctg7 +
π
k, k
∈
Z;
C) arctg7;
D) –arcctg7 +
π
k, k
∈
Z.
8. y = tgx функциясы графигiнiң Oy осiмен қиылысу нүктелерiн
анықтаңдар:
А) 0;
B)
+
π
n, n
∈
Z;
C)
π
n, n
∈
Z;
D) – +
π
n, n
∈
Z.
9. tg
= 1 теңдеуіншешіңдер:
А)
+2
π
k, k
∈
Z;
B)
+ 2
π
k, k
∈
Z;
C)
+
π
k, k
∈
Z;
D)
+
π
k, k
∈
Z.
10. cosx = теңдеуінің
кесіндісініңаралығынданешетүбірібар:
А) 4;
B) 3;
C) 2;
D) 1?
11. 4 sin
2
x = cos
2
x теңдеуіншешіңдер:
А)
+
π
n, n
∈
Z;
B) –
+
π
n, n
∈
Z;
C)
±
arctg2+
π
n, n
∈
Z;
D)
±
arctg +
π
n, n
∈
Z.
12. sinx + cosx = 0 теңдеуіншешіңдер:
А) –
+
π
n, n
∈
Z;
B) –1;
C) 1;
D)
+
π
n, n
∈
Z.
13. 0
m
cosx <
теңсіздігіншешіңдер:
А)
, n
∈
Z;
B)
, n
∈
Z;
C)
∪
, n
∈
Z;
D)
∪
, n
∈
Z.

62
14. cos =
теңдеуіншешіңдер:
А)
±
+ 4
π
k, k
∈
Z;
B)
+ 2
π
k, k
∈
Z;
C) (–1)
k
+ 4
π
k, k
∈
Z;
D)
±
+ 2
π
k, k
∈
Z.
Математикалық
сауаттылық
бойынша
тапсырмалар
15. 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20 сандартізбегінде5-кебөлінетінсандар
қанша пайыздықұрайды:
А) 50%;
B) 75%;
C) 20%;
D) 25%;
Е) 30%?
16. 400тетіктің15-і жарамсыз.Кездейсоқалынғантетіктіңжарамсыз
болуықтималдығынтабыңдар:
А)
;
B)
;
C)
;
D)
;
Е)
.
17. х
2
– 6х + 5 = 0 теңдеуініңтүбірлеріқайсыаралыққатиістіболады:
А) (0; 5);
B) [2; 3];
C) (0; 5];
D) (1; 6);
Е) (2; 3)?
18. Cандарқандайда бір заңдылықпенқұрастырылған.Белгісізсанды
табыңдар:
5
10
30
80
?
А) 100;
B) 200;
C) 150;
D) 240;
Е) 220.
ТАРИХИ МАҒЛҰМАТТАР
XVII ғ. áàñûíäàғû òðèãîíîìåòðèÿíûң
äàìó êåçåңiíäå æàңà àíàëèòèêàëûқ
áàғûò қàëûïòàñà áàñòàäû. ХVІІ ғасырға äåéií òðèãîíîìåòðèÿ
үøáұðûøòàðäû
øåøó, ãåîìåòðèÿëûқ ôèãóðàëàðäûң ýëåìåíòòåðií
åñåïòåó үшін қолданылған
áîëñà, XVII—XIX ғғ. òðèãîíîìåòðèÿ
ìàòåìàòèêàëûқ анализдің бір бөлігі ретінде
қарастырылабастады. Îë ìåõàíèêà, ôèçèêà ìåí òåõíèêàäà әñiðåñåòåðáåëìåëi
қîçғàëûñòàð ìåí áàñқà äà ïåðèîäòû ïðîöåñòåðäi çåðòòåóäåêåңiíåí қîëäàíылғàí.
Ô. Âèåò өçiíiң àëғàøқû ìàòåìàòèêàëûқ
çåðòòåóëåðiíäåòðèãîíîìåòðèÿëûқ
ôóíêöèÿëàðäûң
ïåðèîäòылық қàñèåòi òóðàëû àéòқàí. Øâåéöàðèÿëûқ
ìàòåìàòèê
È. Áåðíóëëè (1667—1748)ñîë êåçäiң өçiíäå-àқ òðèãîíîìåòðèÿëûқ
ôóíêöèÿëàðäûң
áåëãiëåðiíқîëäàíäû. Åãåðàëãåáðàëûқáåëãiëåóëåðäiңäàìóû қàðàìà-қàðñû ñàíäàð ìåí
áàғûòòàëғàíêåñiíäiëåðäiåíãiçó, áұðûø ïåí äîғà ұғûìäàðûíûң êåңiíåí äàìóûíà êåëñå,
îíäà òåðáåëìåëi қîçғàëûñòàð,äûáûñ, æàðûқ æәíå ýëåêòðîìàãíèòòi òîëқûíäàð òóðàëû
iëiìíiң äàìóû òðèãîíîìåòðèÿ
ìàçìұíûíûң
íåãiçi — òåðáåëìåëi ïðîöåñòåðäi çåðòòåó
ìåí äàìûòóғà êåëäi. Ãàðìîíèêàëûқ
òåðáåëiñòiң(ìûñàëû, ìàÿòíèêòiң, àéíûìàëû
ýëåêòðòîãûíûң òåðáåëiñi)òåңäåói
y = Asin(
ω
t +
α
)
(1)
åêåíi ôèçèêà êóðñûíàí áåëãiëi.
Ãàðìîíèêàëûқ
òåðáåëiñòåðäiңãðàôèãi ñèíóñîèäàëàð áîëғандûқòàí, ôèçèêà ìåí
òåõíèêàäà ãàðìîíèêàëûқ òåðáåëiñòåðäiñèíóñîèäàëû òåðáåëiñòåð äåï àòàéäû.
arcsin ïåí arctg áåëãiëåóëåðií 1792 æ. Вåíàëûқ ìàòåìàòèê Г.М. Øåðôåð ìåí
àòàқòû ôðàíöóç ғàëûìû Æ.Ë. Ëàãðàíæ өç åңáåêòåðiíäå ïàéäàëàíғàí. Ä. Áåðíóëëè
îñû áåëãiëåóëåðäiåðòåðåêòåáàñқàøà қàðàñòûðғàí åäi. Àëàéäà, áұë áåëãiëåóëåðXVII

ғàñûðäàқîëäàíûëà áàñòàäû.“Àðê” қîñûìøàñû ëàòûííûң arcus— “äîғà” äåãåí ñөçiíåí
øûққàí. arcsinx ñөçi (äîғà äåï àéòñàқòà áîëàäû) ñèíóñû x-êå òåң áîëàòûí áұðûø
ұғûìûíà
ñәéêåñêåëåäi.
Òðèãîíîìåòðèÿëûқ
ôóíêöèÿëàð òóðàëû êөçқàðàñòàðäûңäàìóû æàңà àíà-
ëèòèêàëûқ áàçàíûң қàëûïòàñóûíà
êåëäi, ÿғíè òðèãîíîìåòðèÿëûқ
ôóíêöèÿëàð
ãåîìåòðèÿғà òәóåëñiçäәðåæåëiêқàòàðëàð ìåí ìàòåìàòèêàëûқ
àíàëèçäiң áàñқà äà
ұғûìäàðûíûң
êөìåãiìåí àíûқòàëàäû.
Òðèãîíîìåòðèÿëûқ
ôóíêöèÿëàðäûң àíàëèòèêàëûқ òåîðèÿñûíûң íåãiçií қàëàó-
ғà үëåñ қîñқàíäàð È. Íüþòîí
ìåí Ë. Ýéëåð. Áiðàқ áұë òåîðèÿíûң íåãiçií қàëàғàí
Л. Ýéëåð äåóãåáîëàäû. XIX ғ. áұë òåîðèÿíû äàìûòóäû әði қàðàé Н.И. Ëîáà÷åâñêèé
æәíå áàñқàäà ғàëûìäàð æàëғàñòûðғàí.
Оқиға, элементароқиға, жиілік, салыстырмалыжиілік, ықти-
малдық,статистика,статистикалықықтималдық,ықтималдықтың
классикалықанықтамасы.
ЖАҢАБІЛІМДІМЕҢГЕРУГЕ
АРНАЛҒАНТІРЕКҰҒЫМДАР

64
4
ЫҚТИМАЛДЫҚ

жүктеу/скачать 15,14 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: