§ 12.ФУНКЦИЯНЫҢНҮКТЕДЕГIШЕГI.ФУНКЦИЯНЫҢ

73
ТҮСІНДІРІҢДЕР
x
→
2 ұмтылғандафункцияныңшегі қалай табылған?
f(x) =
=
=
, f(2) =
= .
Анықтамадағыx
0
нүктесiн функцияның үзiлiссiздiкнүктесi деп
атайды.
Үзiлiссiзфункцияныңанықтамасынаншығатынүш жағдайғатоқта-
лайық:
1) f(x) функциясыx
0
нүктесiндеанықталғанболады;
2) x
0
нүктесiндефункцияныңшегi болуыкерек;
3) функцияның шектiк мәнi x
0
нүктесiндегiмәнiне тең, яғни
x
→
x
0
ұмтылғандаf(x)
→
f(x
0
).
Егер y = f(x) функциясыүзiлiссiзболса,онда оның графигiтұтас
қисық болады.
Нүктедегiүзiлiссiзфункциялардыңқасиеттері:
егерf (x) және
ϕ
(x) функцияларыx
0
нүктесiндеүзiлiссiзфункциялар
болса,ондаолардыңқосындысыf(x) +
ϕ
(x), көбейтiндiсif(x) ·
ϕ
(x) және
бөлiндiсi
(
ϕ
(x
0
) ≠0) x
0
нүктесiндеүзiлiссiзфункцияларболады.
Егерf(x) функциясыX жиыныныңкезкелгеннүктесiндеүзiлiссiз
болса,ондаоныосыX жиынында(кесiндiде)үзiлiссiзфункциядеп
атайды.
Егер f(x) функциясыx
0
нүктесiндеанықталған жәнеx
→
x
0
ұмтылғандафункцияныңшектiкмәнix
0
нүктесiндегiмәнiнетең
болса,ондафункцияx
0
нүктесiнде
үзiлiссiзфункциядепаталады.
Егеросышарттардыңбiреуiорындалмаса,ондаf(x) функциясы
x
0
нүктесiндеүзiлiстiболады.Бұл жағдайдаx
0
нүктесiфункцияның
үзiлiснүктесiдеп аталады.
2. f(x) =
функциясыныңx
→
2 нүктесінеұмтылғандағы
шектік мәнінтабайық.
Шешуi. x = 2 нүктесi функциялардыңанықталу облыстарына тиiстi емес.
Сондықтан x
→
2 ұмтылғандағы функциялардың шегiн табу үшiн оларды
түрлендiремiз:
а) f(x) =
=
= x + 2, осыданf(2) = 2 + 2 = 4.
МЫСАЛ

74
Кесiндiдегi үзiлiссiз функциялардың қасиеттерi:
1) егер[a; b] кесiндiсiндефункцияүзiлiссiзжәненөлгеайналмайтын
болса,ондаол осыинтервалдатұрақтытаңбасынсақтайды;
2) егерy = f(x) функциясыx
∈
[a; b] кесiндiсiндеүзiлiссiзфункция
болса,онда: а) осыкесiндiдешектелгенфункцияболады;ә) осыкесiндiде
функция өзiнiң ең үлкен жәнеең кiшi мәндерiнқабылдайды,яғни
m
m
f(x)
m
M, мұндағыm — функцияныңеңкiшi, ал M — функцияның
ең үлкен мәнi;
3) егерy = f(x) функциясыx
∈
[a; b] кесiндiсiндеүзiлiссiз функ-
ция болсажәнеоның шеткi нүктелерiндеәртүрлiтаңбалымәндер
қабылдаса, онда[a; b] кесiндiсiнiңiшiндефункцияең болмағандабiр
нүктеденөлгеайналады.
48-сурет
49-сурет
1. Функцияның нүктедегi шегi мен нүктедегi үзiлiссiздiгiнiң айыр-
машылығыбар ма?
2. Егер x
0
нүктесiндеf(x) функциясы үзiлiстi болса, онда осы нүктеде
функцияның шегi болмайды деген қорытынды дұрыс па? Жауабын
түсiндiрiңдер.
4. f(x) =
функциясының графигiн салып,
x = 0 нүктесiндефункцияныңүзiлiссiзболмайтынынанықтайық.
x + 1, егерх
l
0,
x – 1, егерх < 0
Шешуi. Функция екi формуламенберiлген:g(x) = x + 1, x
l
0 және
ϕ
(x) = x – 1,
x < 0. Бұл екi функцияның графигiде түзу болады. Сондықтанg(x) = x + 1 функ-
циясы үшiн x
l
0, ал
ϕ
(x) = x – 1, x < 0 болғанда екi нүктенiң координатасын
анықтаймыз. Сондабiрiншi жағдайда(0; 1), (1; 2) жәнеекiншi жағдайда(–1; –2),
(–0,5; –1,5) нүктелерiарқылы өтетiнтүзулердiсаламыз(49-сурет).Суреттенкөрiп
отырғанымыздай,берiлгенфункцияның графигi тұтас қисық емес.Демек,x = 0
нүктесiндефункцияүзiлiстi болады.
МЫСАЛ
3. f(x) =
функциясыналайық. Бұл функция сендергебелгiлi
керi пропорционалдықтәуелдiлiк.Функцияның анықталуоблысы
нөлденбасқа барлық нақты сандаржиыны. Демек, x = 0 нүктесi функцияның
үзiлiс нүктесi, яғни функция — үзiлiстi функция. Оны функцияның графигiнен
көругеболады(48-сурет).
МЫСАЛ

75
Жаттығулар
А
12.1.у = f(x) функциясыныңx
→
x
0
ұмтылғандағышегiн табыңдар:
а) f(x) = 3x + 2, x
→
2;
ә) f(x) = 4x
3
– 3x, x
→
–1;
б) f(x) =
, x
→
–3;
в) f(x) =
, x
→
2.
12.2.а) f(x) = 4x – 5; ә) f(x) = 5x – 2 функцияcыныңx
0
= –2; x
0
= –0,5
нүктелеріндегішегiн табыңдар.
12.3.у = f (x) функциясыныңграфигiнсалып, оның x
0
нүктесiндегi
үзiлiссiздiгiнанықтаңдар:
а) у =
x
0
= 0; ә) у =
x
0
= 0.
егерx
l
0,
егерx < 0,
12.4.у
=
f
(
x
) функциясынүзiлiссiздiккезерттеңдер:
а) у =
;
ә) у =
;
б) у =
; в) у =
.
12.5.y = f(x) функциясынүзiлiссiздiккезерттеңдер:
а) у =
;
ә) у =
.
В
12.6.y = f(x) функциясыныңx
→
x
0
ұмтылғандағышегiн табыңдар:
а) f(x) =
,
x
→
2;
ә) f(x) =
,
x
→
–1;
б) f(x) =
, x
→
3;
в) f(x) =
, x
→
2;
г) f(x) =
, x
→
1;
ғ) f(x) =
, x
→
– ;
д) f(x) =
, x
→
4;
е) f(x) =
, x
→
–2.
12.7.Функцияның графигiнсалып,үзiлiс нүктесiнанықтаңдар:
а) f(x) =
ә) f(x) =
– x
2
, егерх < 0,
x
2
+ 2, егерх
l
0;
б) f(x) =
в) f(x) =
tgx, егер– < x < ,
x – 
, егерx
l
.
егерx
l
0;
егерx < 0,
3. Егерx
0
нүктесiндеf(x) функциясыүзiлiссiз, ал g(x) функциясыүзiлiстi
болса, онда олардың қосындысының,көбейтiндiсiнiң,бөлiндiсiнiңосы
нүктедегiүзiлiссiздiгiтуралыне айтуғаболады?
cosx, егер0 < x <  ,
x – 4, егерx
m
0;
егерx
l
0,
егерx < 0,

76
12.8.у = f(x) функциясынүзіліссіздіккезерттеңдер:
а) у =
; ә) у =
; б) у =
; в) у =
.
12.9.Сан түзуiнiң кез келгеннүктесiнде:а) x = 0 нүктесiненбасқа
нүктелерде;ә) x = 0 жәнеx = 1 нүктелерiненбасқанүктелерде
үзiлiссiзболатынфункцияғамысалдаркелтiрiңдер.
Аргумент,функция,функцияныңанықталу облысы,функцияның
нүктедегiшегi,нүктедегiүзiлiссiздiгi.
§ 13.ТУЫНДЫНЫҢ
АНЫҚТАМАСЫ
Функциянықарапайымқозғалыстар,құбылыстарменпроцестердiң
математикалықмоделітұрғысынанқарастырумақсатындақолданады.
Алдыменаргументжәнефункцияөсiмшелерiұғымдарын анықтап
алайық.
Үзiлiссiз у = f(x) функциясы берiлсiн. Аргументтiңx
1
және x
2
мәндерiфункцияның анықталуоблысынаналынсын.
Өсiмше∆х таңбасыменбелгiленiп,“дельтаикс”деп оқылады.
Функцияның аргументix-ке
∆
x өсiмшесiнберейiк.
∆
x өсiмшесiн
қабылдағаннанкейiн аргументтiңмәнi x +
∆
x болады. Өсiмшенiң
таңбасыоң да, терiсте болуымүмкiн. Егер
∆
x > 0 болса,ондаx +
∆
x
нүктесix нүктесiнiңоң жағына,
∆
x < 0 болса,ондаx +
∆
x нүктесix
нүктесiнiңсол жағына орналасады(50-сурет).
50-сурет
Сонымен,аргументөсімшесін
∆
x = (x +
∆
x) – x
(1)
теңдiгiменөрнектеугеболады.
Демек, аргументтiңөсiмшесiоның екi нүктедегiмәндерiнiңайы-
рымынатең.
Түйіндіұғымдар
Функция, туынды,өсім-
ше, дифференциал
Сендертуындыныңанықтамасын
білесіңдер,
туындының
анықтамасын
қолданыптуындытабуды
үйренесіңдер.
ЖАҢАБІЛІМДІМЕҢГЕРУГЕ
АРНАЛҒАНТІРЕКҰҒЫМДАР
x
2
– x
1
айырымынаргументтiң
х
1
нүктесiндегiөсiмшесiдеп
атайды.

77
Аргументх-ке ∆х өсiмшесiнбергендеy = f(x) функциясыда өсiмше
қабылдайды. Бұл функцияныңөсiмшесi∆у деп белгiленiп,
∆
у = (у +
∆
у) – у
немесе
∆
у = f(x +
∆
x) – f(x)
(2)
теңдігіменанықталады.
Сонда функция өсiмшесi функцияның екi нүктедегi мәндерiнiң
айырымынатең.
Функцияныңтуындысыныңанықтамасынберейiк.Олүшiн функция
өсiмшесiнаргументөсiмшесiнебөлемiз:
=
.
(3)
Туындыныңбелгiленуi:у
′
= f
′
(x ).
∆
x
→
0 ұмтылғанда
→
у
′
немесе
→
f
′
(x ).
(4)
Оқылуы: f
′
(x) — “x-тен эф штрих”.
Функцияның туындысынтабу амалынфункцияныдифференциал-
дау деп атайды.
у = f (x) функциясыныңx
0
нүктесiндетуындысыбарболса,ондаосы
нүктедефункция үзiлiссiз болады. Керi тұжырым барлық жағдайда
дұрыс болабермейдi.
1. у = x
3
функциясыныңаргументix мәнiненх +
∆
х мәнiне
ауысқандағыөсiмшесiнтабайық.
Шешуi.
∆
у = (х +
∆
х)
3
– x
3
= x
3
+ 3x
2
∆
х + 3x
∆
х
2
+
∆
х
3
– x
3
=
= 3x
2
∆
х + 3x
∆
х
2
+
∆
х
3
.
Сонымен,
∆
у = (3x
2
+ 3x
∆
х +
∆
х
2
)
∆
х.
МЫСАЛ
=
өрнегiнiңаргумент өсiмшесi∆х
→ 0
ұмтыл-
ғандағы шегi бар болса,онда ол шектi у = f(х) функциясының
x
нүктесiндегiтуындысы
деп атайды.
х нүктесiндефункцияныңтуындысы бар болса, онда f(x)
функциясын осы нүктедедифференциалданатын
функциядеп
атайды.Егерфункцияаралықтыңбарлықнүктелерiндедифферен-
циалданатынболса,ондаоны аралықтадифференциалданатын
функциядеп атайды.
Анықтамабойыншатуынды табуалгоритмi:
1) аргументке
∆
х өсiмшесiнберу;
2)
∆
х өсiмшегесәйкес
∆
у = f (х +
∆
х) – f (х) функцияөсiмшесiнанықтау;
3) функция өсiмшесiнiң аргумент өсiмшесiне қатынасын табу, яғни
=
;
4) аргументөсiмшесi
∆
х нөлгеұмтылғандағықатынастыңшегiн яғни
∆
х
→
0
жағдайдағы
мәнiнтабу.
АЛГОРИТМ

78
Алгоритмдiқолданып,туынды табуғамысалдарқарастырайық.
Тураосылайf(x) = C (С — тұрақты)жәнеf(x) = x функцияларының
туындыларысәйкесiншеС
′
= 0, (x)
′
= 1 болады.
Жаттығулар
А
13.1.f(x) функциясыныңx
0
нүктесiндегiөсiмшесiнтабыңдар:
а) f(x) = 1 + 2x, x
0
= 4,
∆
x = 0,01;
ә) f(x) = –5x + 1,6, x
0
= –5,
∆
x = –0,1;
1. Аргументпен функцияныңөсiмшелерiарасындақандайбайланысбар?
Жауабынтүсiндiрiңдер.
2. Функцияның нүктедегi және аралықтағы дифференциалдануыдеген
ұғымдардыңайырмашылығынеде?
3. Функцияның нүктедегi дифференциалдануымен үзiлiссiздiгiнiң ара-
сындағы байланыстықалай түсiндiругеболады?
2. а) f(x) = x
2
;
ә) f(x) =
;
б) f(x) =
функциясыныңх
нүктесіндегітуындысынтабайық.
Шешуі: а) f(x) = x
2
функциясыныңтуындысынтабайық. Алгоритмбойынша:
1) x +
∆
х;
2)
∆
у = f(x +
∆
х) – f(x) = (x +
∆
х)
2
– х
2
= х
2
+ 2x ·
∆
х + (
∆
х)
2
– х
2
= 2x
∆
х +
+ (
∆
х)
2
;
3)
=
= 2x +
∆
х;
4)
∆
х
→
0 жағдайда
→
2x, олай болсаf
′
(x) = 2x, яғни (х
2
)
′
= 2х;
ә) f (x) =
функциясыныңтуындысынтабайық.Алгоритмбойынша:
1) x +
∆
х ;
2)
∆
у = f(x +
∆
х) – f(x) =
–
=
=
;
3)
=
:
∆
х =
;
4)
∆
х
→
0 жағдайда
→
, онда f
′
(x) =
, яғни
=
;
б) f(x) = функциясыныңтуындысынтабайық.Алгоритмбойынша:
1) x +
∆
х;
2)
∆
у = f(x +
∆
х) – f(x) =
– =
= –
;
3)
= –
:
∆
х = –
;
4)
∆
х
→
0 жағдайда
→
–
, олайболса,f
′
(x) = –
, яғни
= –
.
Осы қарастырылғанмысалдарданмына қорытындыныаламыз:
(x
2
)
′
= 2x,
=
,
=
–
.
Жауабы: а) 2x; ә)
; б)
–
.
МЫСАЛ

79
б) f(x) = 3x
2
– 1, x
0
= 2,
∆
x = 0,1;
в) f(x) = 0,5x
2
, x
0
= –3,
∆
x = –0,3.
13.2.а) Тiктөртбұрыштыңқабырғалары5 см және12 см. Оның енiн
0,8 см-ге,ұзындығын0,6 см-геарттырғанкездегiтiктөртбұрыш-
тың периметрiмен ауданының өсiмшесiнанықтаңдар.ә) Тiк-
төртбұрыштыүшбұрыштыңкатеттерi3 см, 4 см. Егеркатеттерiн
сәйкесiнше0,4 см және 0,2 см-ге арттырса,оның ауданының
өсiмшесiқандайболады?
13.3.Функцияныңx
0
нүктесiндегi
∆
x және
∆
f өсiмшелерiнтабыңдар:
а) f(x) = сosx, x
0
= ; x = ;
ә) f(x) = tgx, x
0
= ; x = .
В
13.4.f(x) функциясыныңx
0
нүктесiндегiөсiмшесiн
∆
x жәнеx
0
арқылы
өрнектеңдер:
а) f(x) = x
2
+ x;
ә) f(x) = 2x
2
– x.
13.5.Алгоритмдi пайдаланып,f(x) функциясының x
0
нүктесiндегi
туындысынтабыңдар:
а) f(x) = 3x
2
+ 1, x
0
= –2;
ә) f(x) = x
2
– 2, x
0
= –1.
13.6.Функцияның x
0
нүктесiндегi
∆
x және
∆
f өсiмшелерiнтабыңдар:
а) f(x) = + sinx ; x
0
=
; x =
;
ә) f(x) = ctg x –
; x
0
= ; x = .
13.7.Функцияның аргументi∆x өсiмшесiнқабылдағандаx
1
-ге тең.
Функцияның өсiмшесiнтабыңдар:
а) f(x) =
,
∆
x = 0,29, x
1
= 2,25;
ә)
f
(
x
) =
,
∆
x
= 0,25,
x
1
= 1,69.
13.8.Бір елдің тұрғындарыныңсаны t уақытында f(t)-ға тең. t
0
-ден
t
0
+
∆
t дейінгі уақыт аралығындағыфункцияның өсімшесінің
мағынасықандайболады?
13.9.Сырықтың сол жақ шетіненx қашықтықтағы нүктенің темпе-
ратурасыf(x)-қа тең. x
0
нүктесіx
0
+
∆
x нүктесінеауысқандаf(x)
функциясыөсімшесініңфизикалықмағынасықандай?
Функция, функцияныңшегi, аргументтіңжәнефункцияның
өсiмшесi,туынды,дәрежелiкфункция.
ЖАҢАБІЛІМДІМЕҢГЕРУГЕ
АРНАЛҒАНТІРЕКҰҒЫМДАР

80

жүктеу/скачать 15,14 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: