10 А. Е.Әбiлқасымова, З.Ә. Жұмағұлова алгебра

127
Сонымен,кезкелгенкездейсоқшаманыңауытқуыныңорташамәні
нөлге тең. Демек, ауытқудың орташамәні кездейсоқшама мәндері-
нің бір-бірінежақын немесеалысорналасуыныңзаңдылығынзерттей
алмайды.Сондықтанықтималдықтартеориясындакездейсоқшаманың
таралу заңдылығын зерттеуүшін ауытқудың екінші дәрежесінің
математикалықкүтімі қарастырылады.
II. Дисперсия
Дисперсияныңбелгіленуі:D(X ).
Дисперсияныесептеуформуласы:
D(X ) = M[X – M(X )]
2
.
(6)
(6) және (9) формулаларыныңөзара тең екенін математикалық
күтімнің қасиеттерінқолданыпдәлелдейік.
Д ә л е л д е у і. M[X – M(X )]
2
= M [X
2
– 2XM (X ) + M
2
(X )] =
= M(X
2
) – 2M(X )·M(M(X )) + M
2
(X ) = M(X
2
) – 2M(X )·M(X ) +
+M
2
(X ) =M(X
2
) – 2M
2
(X ) +M
2
(X ) =M(X
2
) – M
2
(X ). Демек,(9) формула
дисперсияныесептеyформyласыболыптабылады
.
МЫСАЛ
4. 22-кестеніқолданыпХ кездейсоқшамасыныңдисперсиясын
есептейік:
22-кесте
Х
5
7
10
15
P
0,2
0,5
0,2
0,1
Шешуі.Алдыменматематикалықкүтімін табамыз.
M(X ) = 5 · 0,2 + 7 · 0,5 + 10 · 0,2 + 15 · 0,1 = 8.
[Х – M(Х )]
2
шамасының үлестірім заңын құрайық. Ол үшін x
1
-ді есептеп
көрсетейік:[Х – M(Х )]
2
= (5 – 8)
2
= (–3)
2
= 9. Тура осылайесептеп,x
2
= 1, x
3
= 4,
x
4
= 49 аламыз(23-кесте).
23-кесте
[Х – M(Х )]
2
9
1
4
49
P
0,2
0,5
0,2
0,1
Демек,(6)-формуланықолданыпдисперсиянытабамыз:
D(Х ) = M [Х – M(Х )]
2
= 9 · 0,2 + 1 · 0,5 + 4 · 0,2 + 49 · 0,1 = 8.
Жауабы: 8.
Дисперсияныңқасиеттері
:
1) егерС — тұрақты, X — кездейсоқшамаболса,онда
D(С) = 0;
(7)
ЕСТЕ
САҚТАҢДАР:
D(СХ) = С
2
D(Х );
(8)
2)
D(Х ) = M(Х
2
) – M
2
(Х );
(9)
3) Х жәнеY кездейсоқшамаларболса,
D(Х + Y) = D(Х ) + D(Y).
(10)
Ауытқудыңекінші дәрежесініңматематикалықболжамыХ
кездейсоқшамасыныңдисперсиясы
деп аталады.

128
III. Орташаквадраттық
ауытқу
Дисперсияұғымы— квадратөлшемдіұғым, оныңөлшемікездейсоқ
шаманыңквадратынатең.
Орташаквадраттықауытқудыңбелгіленуі:
σ
(X ).
Орташаквадраттықауытқудыесептеуформуласы:
σ
(X ) =
.
(11)
Орташаквадраттықауытқудыңөлшемі— сызықтық өлшем.
Ендікездейсоқшаманыңсандықсипаттамасынберетінматематика-
лық күтім, дисперсия,орташаквадраттықауытқудыесептеугемысал
қарастырайық.
Дисперсияданалынған квадрат түбір орташаквадраттық
ауытқудеп аталады.
МЫСАЛ
5. Жоғарыдағымысалдағыкездейсоқшаманың орташа квад-
раттық ауытқуын есептейік.
Шешуі. Есептеу бойынша D(X ) = 8. Енді (11)-формуланы қолданамыз:
σ
(Х ) =
=
= 2
.
Жауабы: 2
.
МЫСАЛ
6. Х және Y кездейсоқшамаларыныңүлестірімзаңдары24-,
25-кестелердеберілген:
24-кесте
25-кесте
Х
3
5
8
10
12
Y
2
5
8
12
14
P
0,1
0,3
0,3
0,2
0,1
P
0,1
0,2
0,3
0,3
0,1
1) М(Х ), М(Y); 2) D(Х ), D(Y); 3)
σ
(Х ),
σ
(Y); 4) D(3X – 2Y) мәндерінесептейік.
Ш е ш у і. 1) М(Х ) = 3 · 0,1 + 5 · 0,3 + 8 · 0,3 + 10 · 0,2 + 12 · 0,1 = 7,4;
М(Y) = 2 · 0,1 + 5 · 0,2 + 8 · 0,3 + 12 · 0,3 + 14 · 0,1 = 8,6.
2) Дисперсиялардыанықтауүшін 26-, 27-кестелердітолтырамыз:
26-кесте
27-кесте
Х
2
9
25
64
100
144
Y
2
4
25
64
144
196
Р
0,1
0,3
0,3
0,2
0,1
P
0,1
0,2
0,3
0,3
0,1
М(Х
2
) = 9 · 0,1 + 25 · 0,3 + 64 · 0,3 + 100 · 0,2 + 144 · 0,1 = 62,
М(Y
2
) = 4 · 0,1 + 25 · 0,2 + 64 · 0,3 + 144 · 0,3 + 196 · 0,1 = 87,4.
D(Х ) = 62 – 7,4
2
= 62 – 54,76 = 7,24,
D(Y) = 87,4 – 8,6
2
= 87,4 – 73,96 = 13,44.
3)
σ
(Х ) =
=
≈
2,7,
σ
(Х ) =
=
≈
3,7;
4) D(3Х – 2Y) = 9D(Х ) + 4D(Y) = 9 · 7,24 + 4 · 13,44 = 65,16 + 53,76 = 118,92.
Жауабы: 1) 7,4; 8,6; 2) 7,24; 13,44; 3)
≈
2,7;
≈
3,7; 4) 118,92.

129
Жаттығулар
А
24.1.X кездейсоқшамасыныңүлестірімзаңы 28-кестедеберілген:
28-кесте
Х
2
4
7
9
12
P
0,1
0,2
0,3
0,3
0,1
Математикалықкүтімді есептеңдер.
24.2.Кездейсоқшаманыңберілгенүлестірімзаңы бойыншаоның дис-
персиясынтабыңдар(29-кесте):
29-кесте
Х
3
8
12
16
18
P
0,1
0,2
0,4
0,2
0,1
24.3.Кездейсоқшаманыңүлестірімзаңыбойыншаауытқудың шамасын
табыңдар(30-кесте):
30-кесте
Х
2
5
7
10
P
0,2
0,4
0,2
0,2
24.4.КестедеX кездейсоқшамасыныңтолық еместаралузаңдылығы
берілген. Үлестірім заңы бойынша дисперсиямен орташа
квадраттықауытқудытабыңдар(31-кесте):
31-кесте
Х
3
21
30
50
P
0,25
?
0,25
0,25
24.5.Кездейсоқшама X -тің таралу заңдылығын пайдаланыпМ(X )
мәнінесептеңдер(32-, 33-кестелер):
32-кесте
33-кесте
1)
Х
1
2
3
2)
Y
–1
1
2
P
0,7
0,1
0,2
P
0,4
0,1
0,5
1. Математикалықкүтім арқылы кездейсоқшаманың қандай қасиетін
анықтайды?
2. Арифметикалық орта кездейсоқ шаманың қандай сандық сипатта-
масынасәйкескеледі?
3. Орташа квадраттық ауытқу және дисперсия ұғымдарының гео-
метриялыққасиеттерін қалай түсіндіругеболады?
4. М(Х ), D(Х ),
σ
(Х )-ті табу үшін кездейсоқ шамалардың үлестірім
заңдарынанбасқа қосымша мәліметтерқажет пе? Жауабын түсін-
діріңдер.

130
24.6.Кездейсоқшама Y-тің таралузаңдылығынпайдаланыпдиспер-
сияны табыңдар(34-, 35-кестелер):
34-кесте
35-кесте
1)
Y
–2
–1
1
2
3
2)
Y
–2
–1
1
2
P
0,3 0,1 0,2 0,1 0,3
P
0,1 0,2 0,5 0,2
24.7.24.5- және24.6-жаттығулардаберілгентаралузаңдылығынпай-
даланып орташаквадраттықауытқудыесептеңдер.
В
24.8.Белгісіз ықтималдықтардыңүлестерібірдей болған жағдайда
X кездейсоқшамасының толық емес үлестірім заңы кестесін
толтырыңдар.36-кестеніқолданыпМ(X ), D(X ),
σ
(X ) есептеңдер.
36-кесте
Х
3
7
12
15
18
21
P
0,1
0,1
?
?
0,1
0,1
24.9.X және Y кездейсоқшамаларыныңүлестірім заңы арқылы
М(X + Y), D(X + Y) мәндерінтабыңдар(37-, 38-кестелер):
37-кесте
38-кесте
Х
6
10
14
20
Y
3
8
11
16
P
0,2
0,3
P
0,2
0,3
0,3
0,2
24.10.24.9-жаттығудағы37, 38-кестелердіқолданып
σ
(X +Y),
σ
(X +2Y)
мәндерінесептеңдер.
24.11.КестедеберілгенX жәнеY кездейсоқшамаларыныңтолық емес
заңдылықтарыбойыншаМ(X ), М(Y), М(X – М(X )), М(Y – М(Y)),
D(X ), D(Y) шамаларынтабыңдар(39-, 40-кестелер):
39-кесте
40-кесте
Х
3
21
30
Y
24
26
28
Р
0,25
?
0,45
Р
0,25 0,25
?
Сәйкесшамалардысалыстырып,қайшамалардыңжақынорналас-
қанын көрсетіңдер.
24.12.Екі мергенніңнысананыбір рет атқанда оқтың нысанағадәл
тиюінің үлестірімзаңдарыберілген(41-, 42-кестелер):
41-кесте
42-кесте
Х
8
8
10
Y
8
9
10
Р
0,4
0,1
0,5
Р
0,2
0,5
0,3
Екі мергенніңқайсысынысанағадәліректигізген?

131
24.13.КездейсоқшамаX -тің үлестірімзаңыбойыншаМ(X ), D(X ),
σ
(X ),
М(2X + 5), D(2X + 5) шамаларынесептеңдер(43-кесте):
43-кесте
Х
2
3
4
5
Р
0,3 0,1 0,5 0,1
24.14.X (–1; 0; 1) жәнеМ(X ) = 0,1; М(X
2
) = 0,9 берілген.Кездейсоқ
шаманың мәндерінесәйкесықтималдықтардытабыңдаржәне
кездейсоқшаманыңүлестірімзаңынжазыңдар.
24.15.X жәнеY бір-бірінетәуелсізкездейсоқшамаларжәнеD(X ) = 2,
D(Y) = 5. D(3X + Y) жәнеD(3Y – 2X ) мәндерінтабыңдар.
ӨЗІҢДІТЕКСЕР!
1. Төртеуі жарамды, біреуі жарамсызтетіктербар. Осы тетіктерден
кездейсоқзаңдылықпенекі тетік алынған. Алынған тетіктердің
екеуініңде жарамдытетік болу ықтималдығынтабыңдар:
А) 0,4;
В) 0,6;
С) 0,5;
D) 0,7.
2. 44-кестедеX кездейсоқшамасының толық емес үлестірім заңы
берілген:
44-кесте
Х
5
8
12
15
18
P
0,2
?
?
?
0,2
Белгісіз ықтималдықтардыңүлестері1 : 2 : 1 пропорциясымен
берілгендеп алып, үлестірімзаңыныңкестесінтолтырыңдар(45—
48-кестелер):
45-кесте
46-кесте
A)
X
5
8
12
15
18
B)
X
5
8
12
15
8
P
0,2 0,1 0,2 0,1 0,2
P
0,2 0,2 0,5 0,2 0,2
47-кесте
48-кесте
C)
X
5
8
12 15
18
D) X
5
8
12
15
8
P
0,2 0,15 0,3 0,15 0,2
P
0,2 0,1 0,3 0,1 0,2
3. 49-кестедеX кездейсоқшамасының толық емес үлестірім заңы
берілген:
49-кесте
Х
5
?
?
?
17
P
0,05
?
?
?
0,05
Белгісіз ықтималдықтардыңүлестерібірдей, ал оларға сәйкес
келетінмәндеріберілгенмәндерменбіргеөспеліарифметикалықпро-
грессияқұрайдыдепалып, кездейсоқшаманыңүлестірімзаңының
кестесінтолтырыңдар(50—53-кестелер):

132
50-кесте
51-кесте
A)
X
5
8
11
14
17
B)
X
5
8
12
15
17
Р 0,05 0,3 0,3 0,3 0,05
P 0,02 0,3 0,3 0,3 0,8
52-кесте
53-кесте
C)
X
5
8
11 14
17
D)
X
5
8
12
15
18
P 0,05 0,2 0,3 0,4 0,05
P 0,05 0,3 0,3 0,3 0,5
4. X кездейсоқшамасы54-кестедегіүлестірімзаңыменберілген:
54-кесте
Х
1
3
5
8
12
P
0,125
0,25
0,25
0,25
0,125
М(X ); М [X — M(X )]; M(5X ) мәндерінтабыңдар:
А) 5,625; 0; 28,25;
В) 28,125; 5,65; 0;
С) 5,625; 0; 28,125;
D) 5,65; 0; 28,25.
5. X кездейсоқшамасы55-кестедегідейүлестірімзаңыменберілген:
55-кесте
Х
3
7
11
16
18
P
0,1
0,2
0,4
0,2
0,1
Осытаралузаңдылығынқолданыпдисперсияменорташаквадраттық
ауытқудыесептеңдер:
А) D(X ) = 20,25,
σ
(X ) = 4,5;
B) D(X ) = 4,4,
σ
(X) =19,49;
C) D(X ) = 12,25,
σ
(X ) = 3,5;
D) D(X ) = 19,49,
σ
(X )
≈
4,4.
6. X кездейсоқшамасыныңүлестірімзаңымына56-кестедекөрсетілген:
56-кесте
Х
3
4
7
9
18
P
0,1
0,2
0,4
0,2
0,1
М(X ), D(X ),
σ
(X ) мәндерінтабыңдар:
А) М(X ) = 6,7, D(X ) = 6,61,
σ
(X )
≈
2,57;
B) М(X ) = 6, D(X ) = 5,
σ
(X )
≈
;
C) М(X ) = 6,61, D(X ) = 6,7,
σ
(X ) = 2,57;
D) М(X ) = 6, D(X ) = 4,
σ
(X ) = 2.
7. X жәнеY кездейсоқшамаларыныңүлестірімзаңы57-, 58-кестелерде
берілген:
57-кесте
58-кесте
Х
1
3
5
7
9
Y
3
5
8
12
15
P
0,1
0,2
0,3
0,3 0,1
P
0,1
0,3
0,3
0,2 0,1

133
Көрсетілгенсандықсипаттамалардытабыңдар:1) М(3X – 4Y);
2) D(2X + 3Y).
А) 7,5; 60,59;
B) 2,3; 60,59;
C) 7,5; 139,33;
D) 2,3; 139,33.
8. Бірінші мергенніңбір рет атқанданысанағатигізу ықтималдығы
0,9. Екінші мергенніңдәлосындайжағдайдағыықтималдығы0,95.
X кездейсоқшамасы— нысанағадәл тигізу саны. Осы кездейсоқ
шаманыңүлестірімзаңын табыңдар(59—62-кестелер):
59-кесте
60-кесте
A)
X
0
1
2
B)
X
0
1
2
P
0,14 0,855 0,005
P
0,14 0,005 0,855
61-кесте
62-кесте
C)
X
0
1
2
D)
X
0
1
2
P
0,855 0,14 0,005
P
0,005 0,14 0,855
9. Емтихан билеттеріүш сұрақтан тұрады. Оқушының кез келген
сұраққажауапберуықтималдығы0,8. КездейсоқшамаX — оқушы
жауап береалатын сұрақтарсаны. Кездейсоқшаманың үлестірім
заңын анықтаңдар(63—66-кестелер):
63-кесте
64-кесте
A)
X
0
1
2
3
B)
X
0
1
2
3
P
0,008 0,096 0,384 0,512
P
0,512 0,096 0,384 0,008
65-кесте
66-кесте
C)
X
0
1
2
3
D)
X
0
1
2
3
P
0,096 0,384 0,008 0,512
P
0,384 0,008 0,512 0,096

жүктеу/скачать 15,14 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: