Примеры сильнейших землетрясений мира
Связь напряжений и деформаций
жүктеу/скачать 8,05 Mb. Pdf көрінісі
|
Yanovskaya T B -Osnovy seysmologii 2008
| 2.3. Связь напряжений и деформаций
В твердом теле при малых деформациях зависимость между напряжениями и деформациями является линейной. Этот факт был установлен экспериментально еще в семнадцатом столетии и носит название закона Гука. Тела, для которых справедлив закон Гука, называются упругими (идеально упругими). Если координаты x,y,z обозначать через x 1 , x 2 , x 3 , и соответственно компоненты деформаций и напряжений через ik ε и ) 3 , 2 , 1 , ( = k i T ik , то закон Гука можно записать в виде ∑ = m l lm iklm ik c T , ε (2.2 ) Коэффициенты c iklm называются упругими модулями или упругими постоянными. Поскольку как тензор напряжений, так и тензор деформаций содержат по 6 независимых компонент, то в общем случае число упругих модулей должно быть равно 36. Однако, как будет показано дальше (раздел 2.4), их число не может быть больше 21. Число упругих постоянных зависит от степени симметрии среды. В случае изотропного материала, для которого свойства среды одинаковы во всех направлениях, число упругих постоянных уменьшается до двух. Закон Гука для изотропной среды записывается в виде 2 2 2 2 2 2 yz yz xz xz xy xy zz zz yy yy xx xx T T T T T T µε µε µε µε λθ µε λθ µε λθ = = = + = + = + = или, в общем виде ik ik ik T µε λθδ 2 + = , (2.3 ) где δ ik – символ Кронекера: ≠ = = k i k i ik 0 1 δ . Константы λ и µ называются коэффициентами Ламэ. Коэффициент µ имеет смысл модуля сдвига, так как он определяет зависимость сдвиговой деформации от касательного (сдвигового) напряжения. Наряду с коэффициентами Ламэ λ и µ часто употребляют другие пары упругих постоянных: 1) Модуль всестороннего сжатия K и модуль сдвига µ . Модуль всестороннего сжатия определяют как коэффициент пропорциональности между давлением p и относительным изменением объема θ : θ K p − = . Чтобы выразить его через коэффициенты Ламэ, сложим соотношения между нормальными напряжениями и деформациями: 25 zz zz yy yy xx xx T T T µε λθ µε λθ µε λθ 2 2 2 + = + = + = ( ) θ µ λ + − = + + − = 3 2 3 1 zz yy xx T T T p , откуда µ λ 3 2 + = K 2) Модуль Юнга E и коэффициент Пуассона σ . Модуль Юнга представляет собой коэффициент связи между односторонним сжатием (например, в направлении оси x ) и деформацией удлинения в этом же направлении, т.е. xx xx E T ε = и аналогично zz zz yy yy E T E T ε ε = = , Выражение модуля Юнга через коэффициенты Ламэ можно получить из следующих равенств: zz yy xx xx xx E T µε λθ µε λθ ε µε λθ 2 0 2 0 2 + = + = = + = Из этих уравнений получаем µ λ µ λ µ + + = ) 2 3 ( E . При одностороннем сжатии происходит расширение вещества в поперечных направлениях. Отношение поперечного сжатия к продольному удлинению называется коэффициентом Пуассона: xx zz yy σε ε ε − = = Воспользуемся уравнениями 0 2 2 = − = + xx xx xx E σµε λθ ε µε λθ Вычитая второе уравнение из первого, получим µ σ 2 1 E = + откуда ) ( 2 µ λ λ σ + = В жидкости, которую можно рассматривать как предельный случай упругой среды, модуль сдвига µ равен нулю. Коэффициент Пуассона для жидкости равен ½. Коэффициент Ламэ λ не может быть отрицательным, в противном случае при продольном сжатии в поперечном направлении происходило бы не расширение, а сжатие. Таким образом пределы изменения коэффициента Пуассона 5 . 0 0 ≤ ≤ σ Для большинства твердых тел коэффициент Пуассона близок к ¼. Случай σ = ¼ имеет место, когда λ = µ (гипотеза Пуассона). |