Вывод: частное решение найдено правильно.    Переходим к более содержательным примерам.  Пример 3

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

9 

Интеграл левой части легко найти подведением функции под знак дифференциала, с 

интегралом от котангенса расправляемся стандартным приемом – с помощью бородатой 

тригонометрической формулы:  











x

xdx

y

dy

sin

cos

1

2

 













x

x

d

y

y

d

sin

)

(sin

1

2

)

1

2

(

2

1

 

C

x

y

ln

sin

ln

1

2

ln

2

1









 

 

В правой части у нас получился логарифм, и, согласно моей первой технической 

рекомендации, в этом случае константу тоже следует записать под логарифмом. 

 

Теперь пробуем упростить общий интеграл. Поскольку у нас одни логарифмы, то 

от них можно (и нужно) избавиться. С помощью известных свойств (см. Приложение 

Школьные формулы) максимально «упаковываем» логарифмы. Распишу очень подробно: 

C

x

y

ln

sin

ln

1

2

ln

1

2

1









 

x

C

y

C

x

y

sin

ln

1

2

ln

ln

sin

1

ln

1

2

ln











 

 

Упаковка завершена, чтобы быть варварски ободранной: 

x

C

y

sin

1

2





 

 

Можно ли выразить «игрек»? Можно. Надо возвести в квадрат обе части. Но делать 

этого не нужно. 

 

Третий технический совет:

 если для получения общего решения нужно 

возводить в степень и/или извлекать корни, то в большинстве случаев следует 

воздержаться от этих действий и оставить ответ в виде общего интеграла. Дело в том, 

что общее решение будет смотреться вычурно и громоздко – с большими корнями, 

знаками 

  и прочим математическим трэшем. 

 

Поэтому ответ запишем в виде общего интеграла, и лучше представить его в 

стильном виде 

C

y

x

F



)

;

(

. Делать, повторюсь, это не обязательно, но всегда же выгодно 

порадовать профессора ;-) 

 

Ответ: общий интеграл:  

 

Очевидно, что общий интеграл дифференциального уравнения можно записать 

не единственным способом. Так, например, здесь напрашивается возвести обе части в 

квадрат и переобозначить константу 

С

C

~

2

 :  

 

С

x

y

~

sin

1

2

2







 – ничем не хуже, и даже лучше – удобнее будет проверять. 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

10 

Как выполнить проверку? Фактически нужно найти 

производную неявно 

заданной функции

, причём выгоднее работать как раз с «последней версией», ибо, зачем 

возиться с корнем? Модуль удобнее раскрыть перед дифференцированием: 

)

~

(

)

sin

)

1

2

(

(

2













C

x

y

 

в левой части знак «плюс минус» выносим за скобки и пользуемся правилом 

дифференцирования произведения (Приложение Таблица производных): 

 

 

знак 

  можно с чистой совестью убрать (формально – умножить обе части на   ): 

0

cos

sin

2

)

1

2

(

sin

2

0

)

(sin

sin

2

)

1

2

(

sin

)

0

2

(

2

2































x

x

y

x

y

x

x

y

x

y

 

 

делим оба слагаемых на 

x

sin

2

: 

0

cos

)

1

2

(

sin











x

y

x

y

 

 

и на 

x

sin : 

0

)

1

2

(

0

sin

cos

)

1

2

(

sin

sin



















ctgx

y

y

x

x

y

x

x

y

 

 

Получено в точности исходное дифференциальное уравнение 

0

)

1

2

(









сtgx

y

y

, 

значит, общий интеграл найден правильно. 

 

…Слишком трудно? Это ещё такая простенькая получилась проверка :) 

Пример 4 

Найти частное решение дифференциального уравнения 

0

ln





 y

x

y

y

, 

удовлетворяющее начальному условию 

e

y



)

1

(

. Выполнить проверку. 

 

Решаем самостоятельно! – пробуем свои силы. 

 

Напоминаю, что решение задачи Коши состоит из двух этапов: 

 

1) нахождение общего решения; 

2) нахождение требуемого частного решения. 

 

Проверка тоже проводится в два этапа, нужно: 

 

1) убедиться, что найденное частное решение действительно удовлетворяет 

начальному условию; 

2) проверить, что частное решение вообще удовлетворяет дифференциальному 

уравнению. 

 

Если возникли затруднения, решайте по образцу 

Пример 2

. Ну и в лучших 

традициях – полное решение и ответ в конце книги. Ссылку специально не ставлю, чтобы 

не было искушения =) 

 

С боевым, а точнее, с учебным вас крещением! 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

11 

Пример 5 

Найти частное решение дифференциального уравнения 

0

2

2







xdx

dy

e

x

y

, 

удовлетворяющее начальному условию 

2

ln

)

0

(



y

. Выполнить проверку. 

 

Решение: Сначала найдем общее решение. Данное уравнение уже содержит 

готовые дифференциалы 

dy

 и  dx , а значит, решение упрощается. Разделяем переменные: 

dx

xe

dy

e

e

xdx

dy

e

xdx

dy

e

e

xdx

dy

e

e

x

y

x

y

x

y

x

y

2

2

2

2

2

2

2

0

2





















 

 

Интегрируем уравнение: 







dx

xe

dy

e

x

y

2

2

 

 

Интеграл слева – табличный, интеграл справа – берём методом подведения 

функции под знак дифференциала: 







)

(

2

2

x

d

e

dy

e

x

y

 

C

e

e

x

y





2

 

 

Общий интеграл получен, нельзя ли удачно выразить общее решение? Можно. 

Навешиваем логарифмы на обе части. Поскольку правая часть не может быть 

отрицательной (почему?), то знак модуля будет излишним – ставим просто скобки: 

)

ln(

)

ln(

ln

2

2

C

e

y

C

e

e

x

x

y









 

 

На всякий случай

 распишу: 

 

Итак, общее решение: 

const

C

C

e

y

x







где

),

ln(

2

 

 

Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию 

2

ln

)

0

(



y

. В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» 

логарифм двух: 

)

ln(

2

ln

0

C

e 



 

)

1

ln(

2

ln

C





, откуда следует, что 

1



C

 

 

Более привычное оформление: 

1

2

ln

)

1

ln(

)

ln(

)

0

(

0















C

C

C

e

y

 

 

Подставляем найденное значение константы 

1



C

 в общее решение и записываем 

 

ответ: частное решение 

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

12 

Проверка. Сначала проверим, выполнено ли начальное условие 

2

ln

)

0

(



y

: 

2

ln

)

1

1

ln(

)

1

ln(

)

0

(

0











e

y

 – гуд. 

 

Теперь проверим, а удовлетворяет ли вообще найденное частное решение 

)

1

ln(

2





x

e

y

 дифференциальному уравнению. Находим производную: 

)

1

(

2

)

(

)

1

(

1

)

1

(

)

1

(

1

)

)

1

(ln(

2

2

2

2

2

2

2

2

































x

x

x

x

x

x

x

e

xe

x

e

e

e

e

e

y

 

 

Смотрим на исходное уравнение: 

0

2

2







xdx

dy

e

x

y

 – оно представлено в 

дифференциалах. Есть два способа проверки. Можно из найденной производной  

выразить дифференциал 

dy

: 

)

1

(

2

)

1

(

2

)

1

(

2

2

2

2

2

2

2



















x

x

x

x

x

x

e

dx

xe

dy

e

xe

dx

dy

e

xe

y

 

после чего подставить

)

1

ln(

2





x

e

y

 и 

)

1

(

2

2

2





x

x

e

dx

xe

dy

 в исходное уравнение 

0

2

2







xdx

dy

e

x

y

. 

 

Но это несколько неуклюжий вариант, здесь сподручнее разделить обе части 

диффура на  dx : 

dx

dx

xdx

dx

dy

e

x

y

0

2

2







 

0

2

2











x

y

e

x

y

 

и подставить в полученное уравнение 

)

1

(

2

),

1

ln(

2

2

2











x

x

x

e

xe

y

e

y

: 

0

2

)

1

(

2

2

2

2

2

)

1

ln(













x

e

xe

e

x

x

x

e

x

 

По свойству степеней, «разбираем» экспоненту на множители: 

0

2

)

1

(

2

2

2

2

2

)

1

ln(















x

e

xe

e

e

x

x

x

e

x

 

и используем основное логарифмическое тождество 

a

e

a



ln

: 

0

2

2

0

2

)

1

(

2

1

)

1

(

2

2

2

2

















x

x

x

e

xe

e

e

x

x

x

x

 

0

0    – получено верное равенство. 

 

Таким образом, частное решение найдено правильно. 

Пример 6 

Решить дифференциальное уравнение. Ответ представить в виде общего интеграла 

C

y

x

F



)

;

(

. 

 

Это пример для самостоятельного решения. 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

13 

Какие трудности подстерегают при решении дифференциальных уравнений с 

разделяющимися переменными?  

 

1) Не всегда очевидно (особенно, «чайнику»), что переменные можно разделить. 

Рассмотрим условный пример: 

0

5

2

2

2













y

xy

y

x

xy

. Здесь нужно провести 

вынесение множителей за скобки и отделить корни: 

0

)

5

(

2

2















x

y

y

y

x

. Как 

действовать дальше – понятно. 

 

2) Сложности при самом интегрировании. Интегралы нередко возникают не 

самые простые, и если есть изъяны в навыках нахождения неопределенного интеграла, то 

со многими диффурами придется туго. К тому же у составителей сборников и методичек 

популярна логика «раз уж дифференциальное уравнение является простым, тогда пусть 

интегралы будут посложнее». 

 

3) Преобразования с константой – это уже относится и к диффурам других типов. 

 

Как вы заметили, с константой в дифференциальных уравнениях можно 

обращаться достаточно вольно. И некоторые преобразования не всегда понятны новичку. 

Рассмотрим еще один условный пример: 

*

2

3

ln

2

1

1

ln

2

1

C

y

x









. В нём целесообразно 

умножить все слагаемые на 2: 

*

2

2

3

ln

1

ln

C

y

x









. Полученная константа 

*

2C

 – это 

тоже какая-то константа, которую можно обозначить через 

*

*

C

. Да, и поскольку в правой 

части логарифм, то константу 

*

*

C

целесообразно переписать в виде другой константы: 

C

y

x

ln

3

ln

1

ln

2









. 

 

Беда же состоит в том, что с индексами частенько не заморачиваются, используя 

одну и ту же букву  С . В результате запись решения принимает следующий вид: 

С

y

x

С

y

x

С

y

x

ln

3

ln

1

ln

3

ln

1

ln

3

ln

2

1

1

ln

2

1

2

2

2

























 

 

Что за дела?! Тут же ошибки! Формально – да. А неформально – ошибок нет, 

подразумевается, что при преобразовании константы  С  всё равно получается какая-то 

другая константа  С . 

 

Или другой пример, предположим, что в ходе решения уравнения получен общий 

интеграл 

С

x

x

y

y











ln

2

3

. Такой ответ выглядит некрасиво, поэтому целесообразно 

сменить у всех множителей знаки: 

С

x

x

y

y









ln

2

3

. Формально здесь опять ошибка – 

справа следовало бы записать «минус цэ». Но неформально подразумевается, что коль 

скоро константа принимает любые значения, то менять у неё знак не имеет смысла и 

можно оставить ту же букву  С . 

 

Я буду стараться избегать небрежного подхода и проставлять у констант разные 

индексы при их преобразовании, 

жүктеу/скачать 1,54 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: