P ( x ) – x элементіне тән Р қасиеті

6 
және 

таңбаларды шатастырмау керек:


   
 
 









3
,
2
,
1
1
3
,
2
,
1
1
a
a
- дұрыс, 




 
 








b
a
a
,
3
,
2
,
1
1
3
,
2
,
1
1
- 
дұрыс емес. 
Жиындар басқа жиынның элементі болуы мүмкін. Элементтері жиын 
болатын жиынды «әулет» деп атап, латын алфавиті әріптерімен белгілейді.
 
А
жиынының барлық ішкі жиындарының жиынтығын оның булеаны немесе 
жиын-дәрежесі деп атайды. Белгіленуі
 
Р
(
А
) немесе 2
А
. Сонымен, 
Р 
(
А
) = 
{
B
|
B

A
}.
n 
элементтен тұратын жиынның булеаны 2
n
элементтен тұрады. 
Мысалы 1.1.1 -
 
A
={1,2,3},
Р
(
А
) ={Ø,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}, 
A
}.
Р
(
А
) 
8 элементтен тұрады, 8=2
3
.
Барлық жиындардың элементтері кең 
U 
универсалды немесе универсум 
деп аталатын жиыннан алынады. Жиынды көрнекі кескіндеу үшін Эйлер-Венн 
диаграммасы қолданылады. Онда жиындар тіктөртбұрыштың ішінде 
дөңгелектің нүктелерімен белгіленеді, ал нүктелер
U
- универсум жиыны. 
Жиындарға қолданылатын қисаптар (операциялар). 


B
A
,
 Р
(
U
). Келесі қисаптар былай анықталады:
а) бірігу (қосынды) (белгіленуі 

, +): 
А

В
= {
x
| 
x

А
немесе 
x

В
};
б) қиылысу (көбейтінді) (

, 

):
А

В
= {
x
| 
x

А
және 
x

В
};
в) айырым ( 
А 
\ 
В
; 
А
– 
В
):
А
\ 
В 
= {
x
| 
x

А
және 
x

В
};
г) симметриялық айырым немесе сақиналы қосынды (

, 

, +):
А

В
=(
А
\ 
В
)

(
В
\ 
А
) = {x| (x

А
и x

В
) немесе (x

В
және x

А
)};
д) 
А
жиынының толықтауышы (
А
):
А
={x|x
U

және x

А}= 
U 
\ 
A
.
Жиындарға қолданылатын қисаптар
 
Эйлер-Венн диаграммасы арқылы 
былай бейнеленеді: 
А

В
A

B 
А \ В А

В 
А
1.1.1 сурет 
U
B 
A
U
A 

7 
Бірігу және қиылысу қисаптарын жалпылауға болады: 
A
1

 A
2

… 

A
n
= 

n
i
i
A
1

,
A
1

A
2

… 

A
n
= 

n
i
i
A
1

. 
 
Жиындарға қолданылатын қисаптардың қасиеттері. 
Өрнектерді түрлендіру, қысқарту үшін, теоремаларды дәлелдеу үшін
жиындарға қолданылатын қисаптардың қасиеттерін білу керек. Олардың 
арасында маңыздыларын атап өтейік. 
U
универсумы берілген болсын. Онда 

A, B, C 

U
келесі қасиеттер орынды: 
1.1.1 кесте 
1 Идемпотенттік
А

А=А А

А=А 
2 Коммутативтік (орын ауыстырымдылық)
А

В= В

А А

В=В

А 
3 
 
Дистрибутивтік
А

(В

С)=( А

В)

( В

С) А

(В

С)=( А

В)

( В

С) 
4 
 
Ассоциативтік 
 А

(В

С)=( А

В)

С А

(В

С)=( А

В)

С 
5 
 
Сіңіру қасиеті 
А

(В

А)=А А 

(В

А)=А 
6 
 
Ноль мен бірдің (константалардың) қасиеттері 
А

Ø=А А

Ø= Ø 
А

U=U А

U= A
7 
де Морган заңы 
B
A

=
A

B
B
A

=
A

B
8 Екі рет терістеу заңы (инволютивтік)
A
=
A
9 
Толықтауыштың қасиеті
A

A
=U
A

A
= Ø 
Бұл қасиеттерді Эйлер-Венн диаграммасы арқылы немесе қисаптың 
анықтамасына сай тұжырымдау арқылы дәлелдеуге болады. 
Қисаптардың қасиеттері күрделі өрнектерді ықшамдауға, жаңа 
теоремаларды дәлелдеуге және т.б. мүмкіндік береді. 
Мысалы 1.1.2
- 
B
A
B
B
A
B
B
A
B
B
A










. 
 
 
Жиынның бөліктеуі мен бүркеуі. 
 
А 
жиыны берілген болсын. 
А
={
A
1
, A
2
, … A
n
} – 
А
жиынының дарының 
жиынтығы.
Анықтама. Егер 
1. 

A
i 

А
(
A
i

A, A
i
≠Ø); 2. 
A
=

n
i
i
А
1

, 
онда
А
– 
А
жиынының бөлікшесі деп аталады. 

8 
Анықтама. Егер
 
1. 

A
i

А
(
A
i

A, A
i
≠Ø); 2. 
A
=

n
i
i
А
1

; 3.

A
i
, A
j

 А
[
A
i
 ≠ A
j
 

 А 
i

А
j
= Ø], 
Онда 
А
– 
А
жиынының бүркеуі деп аталады. 
Мысалы 1.1.3
-
А
={1,2,3}. 
А
1
= 
{{1,2},{2,3},{1,3}} – бүркеу;
А
2
= 
{{1},{2},{3}} –бөлікше; 
А
3
= 
{{1},{2,3}} –бөлікше;
А
4
= 
{{1},{3}} – 
А
жиынының ішкі жиындарының жиыны (булеан емес, бүркеу 
емес, бөлікше емес). 
Реттелген жиындар. Жиындардың тура көбейтіндісі. 
 
x
1
,x
2
,…,x
n
элементтерінің реттелген тізбегін (
x
1
,x
2
,…,x
n
) немесе 
<
x
1
,x
2
,…,x
n
> деп белгілеп,
n 
ұзындықты кортеж деп атаймыз (басқа атаулары
 
n
-ка (энка), 
n 
ұзындықты вектор)
. x
i
 – i
-ші координата немесе компонента. 
n
=2 - (
x
1
,x
2
) – жұп, реттелген екілік; 
n
=3 - (
x
1
,x
2
,x
3
) – үштік, реттелген үштік; 
n
=0 - < > – элементі жоқ кортеж. 
Егер 
x

=(
x
1
,…x
n
), 
y

=(y
1
,…y
n
), онда 


y
x


)
,
,
,
(
2
2
1
1
n
n
y
x
y
x
y
x




. Айта 
кетелік, (1,2) ≠ (2,1), {1,2}={2,1}. 
Анықтама. 
А
және 
В
жиындарының тура (декарттық) көбейтіндісі 
(белгіленуі 
А
×
В
) деп, 
a

A
және 
b

В 
шарттарын қанағаттаратын (
a,b
) жұбы 
айтылады: 
А×В
= {(
a,b)|
a

A
және 
b

В
}.
Тура көбейтіндінің жалпылануы: 
A
1
×A
2
×…×A
n
={(
a
1
,a
2
,…,a
n
)| 
a
1

A
1
, 
a
2

A
2
 
,…, a
n

A
n
}. Егер 
A=B
, онда 
A×A=A
2
;
A×A×…×A=A
n
;
A
1
=A; A
0
={Ø}.
n
Мысалы 1.1.4
- 
A
={1,2}, 
B
={1,2,3}.
A×B
={(1;1),(1;2),(1;3),(2;1),(2;2),(2;3)}; 
B×A
= {(1;1),(1;2),(2;1),(2;2),(3;1),(3;2)}; 
A×B ≠ B×A
; 
A
2
= {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}; 
 
1.2 Дәріс 2. Қатынастар
Дәріс мазмұны: унарлы, бинарлы, 
n
-арлы қатынастар; берілу жолдары, 
бинарлы қатынастардың негізгі қасиеттері, арнайы қатынастар. 
Дәріс мақсаты: «қатынас» ұғымын енгізу. 
 
Әртүрлі жиындардың немесе бір жиынның элементтерінің арасындағы 
байланысты немесе қатынастарды қолданатын есептер жиі кездеседі. Мысалы, 
егер әлемдегі елдер жиынын қарастырсақ, онда елдер арасында мынадай 
қатынастар қарастыруға болады: «
x 
елінің тұрғындары 
y
еліне қарағанда көп» 
немесе «
х
және 
у
елдерінің ортақ шекарасы бар»; егер ерлер, әйелдер, балалар 
жиынын қарастырсақ, онда «
х
және 
у
- 
z
-тің ата-анасы» қатынасын қарастыруға 
болады және т.с.с. 

9 
Анықтама.
 
А
1
,А
2
,…,А
n
, жиындарындағы 
n
-орынды қатынас 
P
(
n
- орынды 
предикат) деп 
P
={(
x
1
,x
2
,…x
n
)|
1
x

A
1
,…,x
n

A
n
}

A
1
×A
2
×…×A
n
тура көбейтіндінің 
кез келген ішкі жиыны айтылады. Егер 
x
1
,x
2
,…x
n
элементтері 
Р 
қатынасымен 
байланысқан болса, онда (
x
1
,…,x
n
) 

P
немесе 
P
(
x
1
,…,x
n
) деп жазады. Егер 
P

A
n
, 
онда 
Р
– 
А 
жиынындағы 
n
- орынды қатынас. 
n
=1, онда 
P

1
A
- бірорынды 
қатынас немесе қасиет; 
n
=3, онда 
P

A
1
×A
2
×A
3
– үшорынды немесе тернарлы 
қатынас.
Жиі кездесетін, терең зерттелгені - бинарлы қатынас (
n
=2) 
P
={(
x,y
)|
x

A
1
, 
y

A
2
}

A
1
×A
2
. Жазылуы 
P
(
x;y
) немесе 
xPy
. Мысалы, <(
x;y
) немесе (
x;y
)

< 
орнына
x
<
y 
деп жазуға болады. Әрі қарай бинарлы қатынасты қарастырамыз,
жай қатынас

жүктеу/скачать 1,03 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: