ПӘннің ОҚУ-Әдістемелік кешені «Орнықтылық теориясы»
жүктеу/скачать 0,55 Mb.
|
5. Исследовать на устойчивость по первому приближению точку покоя  системы
 (1)
Решение. Система первого приближения  (2)
нелинейные члены удовлетворяют нужным условиям: их порядок больше или равен двум. Составим характеристическое уравнение для системы (2):  (3)
Корни характеристического уравнения (3)  ,  вещественные  Следовательно, нулевое решение системы (1) неустойчиво.
6. Рассмотрим систему  (4)
Точка покоя 
В то же время точка покоя  (5)
Неустойчива в силу теоремы Четаева взяв 
Системы (4) и (5) имеют одну и ту же систему первого приближения  (6)
Характеристическое уравнение для системы (6)  или 
имеет чисто мнимые корни, так что действительное части корней характеристического уравнения равны нулю. Для системы первого приближения (6) начало координат является центром. Системы (4) и (5) получаются малым возмущением правых частей системы (6) в окресности начала. Однако эти малые возмущения приводят к тому, что замкнутые трактории превращаются в спирали, в случае (4) приближающиеся к началу координат и образающие в точке  устойчивый фокус, а в случае (5)– удаляющиеся от начало координат и образующие в точке неустойчивый фокус. Таким образом, в критическом случае нелинейные члены могут влиять на устойчивость точки покоя.
жүктеу/скачать 0,55 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|
системы (4) асимптотически устойчива, так как для этой системы функция 
удовлетворяет всем условиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости. В частности,