ПӘннің ОҚУ-Әдістемелік кешені «Орнықтылық теориясы»
жүктеу/скачать 0,55 Mb.
|
Ляпунов теоремасы. Егер  матрицасының барлық меншікті сандарының нақты бөліктері теріс болса, онда  жүйенің нөлдік шешімі бірінші жуықтау бойынша бірқалыпты және асимптотикалық орнықты.
Ескерту. 1. Теореманы теңдеуге эквивалент интегралдық теңдеумен алмастырып, оған Гронуолл леммасын қолдану арқылы да дәлелдеуге болады. Айталық 
жүйенің фундаментальдық матрицасы болсын. Онда 
эквивалент. Мұнда  .
Егер 
Гронуолл леммасын пайдаланып 
теңсіздігін аламыз. Теореманың шарттары орныдалғанда Анықтама. D облысында  жүйенің әрбір  шешімі мына теңсіздікті
қанағаттандыратын болса, онда жүйенің нөлдік шешімі экспоненциалдық орнықты деп аталады.  теңсіздіктегі  сандары  және  -дерден тәуелсіз болуы керек. теңсіздікке сүйеніп, теореманың шарттары орындалғанда жүйенің нөлдік шешімі экспоненциалды орнықты екенін аламыз.
Енді жүктеу/скачать 0,55 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|
теңдеу мына интегралдық теңдеуге
деп алсақ , бұл формула былайша ықшам түрде жазылады:
жүйенің шешімі де осындай теңсіздікті қанағаттандырады. Мұндай жағдайда көбінесе мына анықтаманы пайдаланады.