ПӘннің ОҚУ-Әдістемелік кешені «Орнықтылық теориясы»
Көрсеткіштердің орнықтылығы
жүктеу/скачать 0,55 Mb.
|
Көрсеткіштердің орнықтылығы Анықтама. Показатели системы  называются устойчивыми, если для любого  найдется такое  , что показатели  (k=1,…,n) всякой системы  с кусочно-непрерывной матрицей удовлетворяют неравенству
 при 
Пример Перрона. Рассмотрим исходную систему 
с отрицательными показателями 
имеющую решение  .
Весьма поучительны рассуждения по вычислению точного значения показателя этого решения. Поэтому приведем их здесь, хотя нас вполне устроила бы и довольно грубая полученная О. Перроном оценка снизу этого показателя, установливающая его положительность. Можно считать очевидным, что для последовательности  , по которой реализуется характеристический показатель  решения y(t), справедливо включение  , где  . Поэтому для вычисления показателя  необходимо оценить сверху функцию  для  . Вводя новые переменные
для функции 
Так как 
то из предыдущей оценки будем иметь окончательное неравенство 
Поэтому для показателя λ λ 
С другой стороны, для малого и последовательностей  ,  где число  реализует в определении величины , и  ,  имеем неравенство
из которого получаем недостающую оценку λ Таким образом, доказано равенство λ Система Перрона-неправильная. Примеры правильных систем с неустойчивыми младшим и старшим показателями, соверщающими при малых возмущениях конечные скачки соответственно вниз и вверх, построены Р.Э.Виноградом. Примеры абсолютно регулярных систем с неустойчивыми крайними показателями, у которых всегда полуустойчивы соответственно снизу и сверу младший и старший показатели, вследствие чего рассуждения Р.Э.Винограда неприменимы, построены В.М.Миллионщиковым. жүктеу/скачать 0,55 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|
и возмущенную
получим оценку
получаем оценку
для показателя λ
а с ним, в силу выбора , и неравенство λ
.