Перспектива и проективная геометрия

Принцип двойственности

Значит, в теореме Дезарга можно «поменять местами» точки и прямые. Действительно, будем вместо слов «точка лежит на прямой» и «прямая проходит через точку» использовать слова «точка и прямая инцидентны». Если теперь записать формулировку теоремы, используя этот искусственный оборот, то в получившемся тексте слова «точка» и «прямая» можно менять местами. В результате такой «лингвистической» процедуры прямая теорема Дезарга превратится в обратную.

Оказывается, в проективной геометрии такое же «преобразование» можно применить к тексту любой теоремы. Ведь на проективной плоскости, в отличие от евклидовой, нет параллельных прямых. Любые две прямые имеют общую точку. И, конечно же, через любые две точки проходит единственная прямая.

Другими словами «любым двум прямым инцидентна одна общая точка», «любым двум точкам инцидентна одна общая прямая». Здесь мы отказываемся от представления, что «прямая состоит из точек». Будем считать, что на проективной плоскости есть два класса объектов – класс точек и класс прямых. Объекты двух разных классов могут находиться в отношении «инцидентности».

Поскольку в проективной геометрии нет ни расстояний, ни углов, ни площадей, все теоремы относятся только к инцидентности точек и прямых. В условии и заключении участвуют в основном коллинеарные тройки точек (три точки инцидентны одной прямой) и конкурентные тройки прямых (три прямые инцидентны одной точке).

Таким образом, если доказана какая-либо теорема проективной геометрии, то можно считать доказанной и двойственную ей теорему, которая получается из нее, если поменять местами точки и прямые. В качестве важного примера построим теорему двойственную теореме о проективном отображении одной прямой на другую.

Вместо точек, лежащих на одной прямой (как говорили в XIX веке «ряда точек»), рассмотрим пучок прямых, проходящих через одну точку (в ХХ веке и то и другое назвали «одномерным многообразием»). Назовем отображение одного пучка на другой проективным отображением, если оно сохраняет сложное отношение четырех прямых.

Обратите внимание, мы говорим об отображении, которое каждой прямой одного пучка ставит в соответствие прямую другого пучка. При этом мы отказываемся от представления, что «прямая состоит из точек». Про «судьбу отдельной точки» в таком отображении вообще нет смысла говорить.

(АВ,CD) = (A'B', C'D')

Сформулируем и докажем двойственную теорему

Будем, фактически, решать следующую задачу:

Интересно проследить, как при доказательстве двойственной теоремы точки и прямые меняются местами. Если при доказательстве первой теоремы на каждой из прямых были выбраны по три точки и затем рассматривались соединяющие их прямые, то теперь выберем в каждом пучке по три прямые и рассмотрим точки их пересечения.

Так же, как и для отображения одной прямой на другую, оказывается верным утверждение: проективное отображение одного пучка на другой является перспективным, в том и только в том случае, когда прямая, соединяющая вершины пучков, переходит сама в себя.

Доказательство полностью повторяет двойственный аналог для двух прямых. При этом вместо «общей точки двух прямых» будем говорить об «общей прямой двух пучков», вместо центра проекции появится ось перспективы и т. п. Для лучшего понимания принципа двойственности полезно провести подобные рассуждения самостоятельно.

Интересно, что так преобразовать можно не только «лингвистически» текст теоремы, но и «геометрически» проективную плоскость. То есть, существует такое преобразование проективной плоскости, которое переводит точки в прямые, прямые – в точки, и при этом точке пересечения двух прямых соответствует прямая, проходящая через две точки. Однако, устроено оно совсем не просто, поэтому мы познакомимся с ним немного позже.