Перспектива и проективная геометрия

Теорема Дезарга

В качестве проективных отображений естественно попытаться рассмотреть центральные проекции одной прямой на другую.

Если три прямые m, m', m₀ проходят через точку А, то при любой проекции одной прямой на другую точка А перейдет сама в себя. Выберем на прямой m точки В и С и рассмотрим центральную проекцию m на m' с центром О. Точки А,В,С перейдут в точки А,В',С'.

Теперь выберем любой другой центр О₁ и спроецируем m на m₀. Точки А,В,С перейдут в точки А,В₀,С₀. Пусть прямая В'В₀ пересекает прямую ОО₁ в точке О₂. Центральная проекция m₀ на m' с центром О₂ переводит тройку точек А, В₀,С₀ в тройку А,В',С'.

Получается, что проекция с центром О и композиция проекций с центрами О₁ и О₂ переводят точки А,В,С в одни и те же точки А,В',С'. Значит, применяя их к любой точке Р на прямой m, мы получим одну и ту же точку Р' на прямой m'.

Полученный результат носит название теоремы Дезарга в честь архитектора Жерара Дезарга, который первым сформулировал ее в середине XVII века.

Доказать теорему Дезарга можно, и не используя аппарат проективной геометрии. Действительно, пусть треугольники АВС и А'В'С' не лежат в одной плоскости, тогда пары их соответственных сторон лежат в плоскостях граней трехгранного угла с вершиной О, и, следовательно пересекаются не только на плоском изображении, но и в пространстве. Эти точки пересечения лежат на одной прямой ­– линии пересечения плоскостей АВС и А'В'С'.

Ясно, что плоский чертеж мы можем рассматривать, как проекцию соответствующей трехмерной конструкции, откуда и следует утверждение теоремы.

Очень интересный прием можно использовать при доказательстве обратной теоремы.

По условию обратной теоремы эти прямые пересекаются в точке Р. Значит точки пересечения прямых AR и BQ, А'R и В'Q, АА' и ВВ' лежат на одной прямой. Или другими словами, прямые АА', ВВ', СС' проходят через одну точку.