Примеры сильнейших землетрясений мира

38 
y
x
y
x
dk
dk
z
y
k
x
k
i
R
a
R
i
∫∫
−
+
=
γ
γ
π
ω
]
)
(
exp[
2
1
)
/
exp(
(2.42) 
где 
2
/
1
2
2
2
2






−
+
=
a
k
k
y
x
ω
γ
Знак 
γ
выбирается так, чтобы Re 
γ
>0. 
Выражение (2.42) это так называемый 
интеграл Вейля, который представляет сферическую волну как суперпозицию 
плоских 
волн. 
При 
этом, 
поскольку 
∞
<
<
∞
−
∞
<
<
∞
−
x
x
k
k
,
, 
подынтегральная функция содержит не только однородные, но также и 
неоднородные плоские волны (что соответствут вещественным значениям 
γ
). 
Эти неоднородные волны распространяются параллельно плоскости 
xy 
, а их 
амплитуда изменяется в направлении 
z
.

2.10 
. Энергия волны 
 
Полная энергия волны складывается из кинетической и потенциальной. 
Плотность кинетической энергии
2
2
1
t
W
k
∂
∂
=
u
ρ
Потенциальная энергия является энергией упругой деформации (раздел 2.4): 
∑
=
j
i
ij
ij
p
W
,
2
1
ε
τ
, 
где 
τ
ij 
и

ε
ij

соответственно тензоры напряжений и деформаций.
В однородной изотропной среде плотность кинетической энергии однородной 
плоской волны
)
/
)
,
(
(
)
,
(
c
t
t
n
x
l
x
u
−
Φ
=
определяется выражением 
[ ]
2
2
Φ′
=
ρ
кин
W
,
Выражение для плотности потенциальной энергии может быть получено из 
(2.8), если учесть что 
Φ′
−
=
c
div
)
,
(
n
l
u
(
)
2
2
2
u
u
rot
div
ik
ik
+
=
ε
ε
Тогда 
[
]
[
]






Φ′
×
+
Φ′
+
=
2
2
2
2
)
,
(
2
2
1
n
l
n
l
c
c
W
пот
µ
µ
λ
В случае продольной волны 
l=n, 
ρ
µ
λ
2
+
=
c
, 
а в случае поперечной волны 
n
l
⊥
, а 
ρ
µ
=
c
так что и в одном, и в другом случае 
( )
кин
пот
W
W
=
Φ′
=
2
2
ρ
(2.43) 

39 
Таким образом, плотности кинетической и потенциальной энергии в каждый 
момент оказываются равны. А поскольку скорость колебаний в волне 
изменяется, и в какие-то моменты становится равной нулю, следует, что и 
плотность суммарной энергии в каждой точке меняется во времени от нуля до 
некоторого максимального значения. Это кажется противоречащим закону 
сохранения энергии, согласно которому сумма кинетической и потенциальной 
энергии должна оставаться постоянной (как например, при колебании 
маятника). Но надо помнить, что закон сохранения имеет место в замкнутой 
системе, а поскольку при волновом процессе энергия переносится от точки к 
точке, он будет выполняться для всего объема среды. 
Если волна гармоническая, т.е. если
t
t
ω
sin
)
(
=
Φ
, 
)
/
)
,
(
(
sin
2
2
c
t
W
W
W
пот
кин
n
l
−
=
+
=
ω
ρω
Хотя соотношение (2.43) было выведено здесь для плоской однородной волны 
в однородной изотропной среде, оно оказывается справедливым и в общем 
случае. А поскольку кинетическая энергия выражается проще, чем 
потенциальная, мы всегда можем принимать, что плотность полной энергии
2
2
u

ρ
=
=
кин
W
W
(2.44) 
Отсюда следует, что плотность потока энергии упругой волны определяется 
как 
c
2
u

ρ
, где 
с
– 
скорость распространения волны. Заметим, что в 
анизотропной среде, а также в диспергирующих средах 
с
является групповой 
скоростью, которая отлична от фазовой. Поток энергии за некоторый 
промежуток времени определятся интегрированием плотности потока по этому 
промежутку: 
∫
=
2
1
2
t
t
cdt
P
u

ρ
(2.45) 
2.11
. Отражение и преломление волн на границах 
 
До сих пор мы рассматривали распространение упругих волн в однородной 
безграничной среде. Однако в реальной Земле существуют границы между 
средами с разными упругими постоянными. Кроме того, надо иметь в виду, что 
Земля не безграничная среда, а ограниченная свободной поверхностью, наличие 
которой должно влиять на распространение сейсмических волн. Поэтому для 
анализа волнового поля в реальных средах необходимо учитывать наличие 
границ – между средами с разными упругими постоянными и свободную 
поверхность.
Поскольку любую волну в пространстве можно представить в виде 
суперпозиции плоских волн, достаточно ограничиться рассмотрением влияния 
границ на распространение только плоских волн. При этом мы будем и границы 
считать плоскими. Выводы, полученные для плоских границ можно 
использовать локально и в случае криволинейных границ при условии, что 
длина волны мала по сравнению с радиусом кривизны границы. 
При падении волны на границу (свободную или между средами) на границе 
должны выполняться граничные условия. На свободной границе граничное 
условие состоит в отсутствии напряжений, приложенных к границе. На 
внутренней границе обычно принимают условия жесткого контакта между 

40 
средами. Это означает непрерывность смещений и напряжений, приложенных к 
границе.
Вначале рассмотрим падение плоской волны на свободную границу. Систему 
координат выберем так, чтобы ось 
z
была перпендикулярна границе и 
направлена внутрь среды, а ось 
х
находилась в плоскости, содержащей 
единичный вектор 
n
в направлении распространения волны (рис.2.9). Эта 
плоскость называется плоскостью падения. В такой системе координат
>
>
z
x
θ
0
θ
от р
θ
от р
P
S
n
P
пад
P
от р
S
от р
Рис.2.9 . Схема образования отраженных Р и S волн в случае падения на 
границу волны Р 
выражение для смещения в падающих плоских Р и S волнах может быть 
записано в следующем виде: 

жүктеу/скачать 8,05 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: