Программа курса по алгебре и началам анализа для учащихся 10-11 классов

Для разложения на множители используется деление многочлена на многочлен. Говорят, что многочлен р(х) делится на многочлен g(x), если существует такой многочлен s(x), что выполняется тождество р(х)=g(x)s(x).

Для многочленов рассматривается деление с остатком, возможность которого вытекает из теоремы: Для любых двух многочленов ненулевой степени р(х) и s(x) cуществует пара многочленов g(x) и r(x) такая, что степень многочлена r(x) меньше степени многочлена s(x) и выполняется тождество p(x) =s(x)g(x)+r(x).

Для деления многочлена на многочлен можно применять правило деления «уголком», похожее на правило деления многозначных чисел.

Особую значимость имеет случай деления многочлена на двучлен (х-а)

Теорема: Остаток от деления многочлена р(х) ненулевой степени на двучлен (х-а) равен р(а) (т.е. значению многочлена р(х) при х=а).

Эту теорему обычно называют теоремой Безу в честь французского математика Этьена Безу (1730-1783).

(х-а).

Раскрыв скобки в правой части, получаем

Воспользовавшись теоремой о тождественности двух многочленов, приходим к следующей системе равенств: b=k, c=m-ka, d=n-ma, e=s-na, f=r-sa.

Это значит, что неопределенные коэффициенты k, m, n, s, r связаны с известными коэффициентами a, b, c, d, e, f следующими соотношениями:

k=b;

n=ma+в;

r=sa+f.