Реферат тақырыбы : Математикалық жаттығулардың жүйесі
жүктеу/скачать 29,8 Kb.
|
12 дарис матем
|
РЕФЕРАТ Тақырыбы: Математикалық жаттығулардың жүйесі Орындаған: Құлназарова Г Жоспары 1. «Жаттығу» ұғымы. 2. Математикалық жаттығудың түрлері, ерекшеліктері. 3. «Есеп» ұғымы және оның түрлері, шешу кезеңдері. Ғылымда кез келген оқу тапсырмаларын жаттығу дейді. Жаттығу дегеніміз не? Жалпы алғанда, ғылым мен тұрмыстың әр алуан салаларында, «жаттығу» термині әр түрлі мәнде қолданылады. Ал, педагогикалық әдебиетте жаттығу ұғымы оқытудың әдісі жөніндегі дәстүрлі түсінікпен аныкталады. Олар: есептер, мысалдар, теңдеулер. Математикалық жаттығулардың ішнде ерекше орын алатыны ең алдымен «есеп» болып табылады. Есеп адам өмірінде де, жалпы қоғамның жұмыс істеуінде де аса маңызды рөл атқарады. Мәселе мынада, жеке адамның өзіне-өзі, сондай-ақ оның алдына басқа адамдар (және қоғам)мен тіршілік жайлар қоятын мәселелерді («есептерді») шешуге бар қызметін, тіршілік және ойлау іс-әрекетін бағыттайды және жеке тұлға ретіндегі ақыл-ойы, негізінен осыларды қоюға және шешуге арналады. Осы себептен мазмұны, рөлі және шешу үшін қолданылатын әдістері әртүрлі есептердің күн сайын шешілуімен адамның өмірлік қызметі сипатталады деуге болады. Адамның өндірістік және күнделікті тұрмыстық қызметі барысында туындайтын мәселелерді, сол сияқты таза математикалық (және басқа) есептерді шешу проблемасы көптен бері зерттеліп келе жатқанымен, әлі күнге дейін есеп ұғымының көпшілік мақұлдаған анықтамасы жоқ. Бүл «есеп» терминінің кең мағыналылығымен және бұл ұғымды жалпы түрде сипаттауға байланысты орын алып отырған объективті қиыншылықтармен түсіндіріледі. Мәтінді есеп ұғымын тұрмыстық, табиғи мазмұны болатын және арифметикалық амалдың немесе амалдардың көмегімен шешілетін тапсырма ретінде түсіндіретін әдіскерлер де бар.. Математикалық есептердің белгілі типтерін шығару – оларды шешудің жалпы әдісін, бір топ белгілі ақыл-ой біліктері мен логикалық операцияларды қалыптастыруға мүмкіндік береді және де оларды есептерді шешу барысында маңызды дүниетанымдық мәні бар және адамгершілік қасиеттердің қалыптасуына негіз болатындай қоршаған болмыстың құбылыстарымен таныстырудың сәті түседі. Көптеген әдіскер-ғалымдар кез келген математикалық тапсырманың шартын (шамалардың белгілі және белгісіз мәндері, олардың арасындағы қатынастар туралы мағлұматтарды қамтитын) және талабын ажыратып, есеп ретінде қарастыруға болады, - деп есептейді. Және де математиканың бастауыш курсында «есеп» ұғымы әдетте арифметикалық есептер туралы сөз болғанда пайдаланылатынына баса назар аударады. Оларды нақты объектілердің арасындағы сандық қатынастарды бейнелеп беретін мәтін түрінде тұжырымдайды. Сондықтан да мәтінді, мазмұнды, есептеп шығарылатын есептер дейді. Көзқарастар әртүрлі болғанымен, «есеп» ұғымының мазмұны кон-текстік әдіспен ашылады. Сонымен бірге математиканың бастауыш курсында есеп ретінде арнайы мәтінді ғана түсіну керектігі айтылады. Мәтінде сандық компоненттермен сипатталатын тұрмыстық бір жағдаят бейнелеп айтылады. Және де жағдаят осы сандық компоненттердің арасындағы нақты тәуелділікті міндетті түрде қамтиды. Олай болса, есептің мәтінін нақты болмыстың сөздік моделі деп қарастыруға болады. Оған қоса есептің құрылымы да анықталады: жағдаят әдетте шартта тікелей беріледі және белгісіз компонентті табу керек деген талаппен аяқталады, талаптың сұрақ түрінде болуы мүмкін; түсіндірме бөлігі қандай сандық компоненттер берілгенін, яғни берілгендерді, ал қайсысын табу қажет екенін, яғни ізделінділерді, сондай-ақ есепті шығаруға қажетті арифметикалық амалдарды таңдауды анықтайтын берілгендердің арасындағы және де берілген-дер мен ізделінділердің арасындағы байланыстарды көрсетеді. «Есеп» ұғымы мән-мағынасының әртүрлі түсіндірмелерінде мәтін, жаттығу, жағдаят, тұрмыстық жағдаят, компоненттердің сандық сипаттамасы, арифметикалық амалдар және т.с.с. сөздер мен сөз тіркестері қолданылады. Осылардың ішінен «есеп» ұғымының мән-мағынасын жинақы және қисынды түрде ашып беруге мүмкіндік туғызатын тірек сөздерді ажырату керек сияқты. Осындай сөз – жаттығу сөзі деген жөн, өйткені педагогика ғылымында оқу тапсырмаларын жаттығулар деп жиі айтады. Сондықтан да математикалық мазмұны болатын кез келген тапсырманы (есептеулер жүргізуге берілген мысалдарды, өрнектердің мәндерін табуды, теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуді, есептер шығаруды және т.б.) жаттығулардың ерекше және дербес түрі ретінде қарастыру орынды. Бұл «мәтінді арифметикалық есеп» (қысқаша, есеп) ұғымын математикалық жаттығулардың ерекше түрі ретінде анықтауға мүмкіндік береді. «Есепке» мынадай мәнді белгілер тән: 1) бұл – табиғи тілде мәтіннің көмегімен берілетін жаттығу; 2) мәтіннің мазмұнында объектілердің сандық сипаттамасы және олардың арасындағы қатынастар бейнеленген тіршіліктегі жағдаят (жағдаяттар) баяндалады; 3) мәтінде міндетті түрде сұрақ болады; 4) сұраққа жауап беру ең болмағанда арифметикалық бір амал (немесе арифметикалық амалдар) орындау барысында жүзеге асырылады. Жоғарыда аталған төрт мәнді белгі тән болатын математикалық жаттығуды бастауыш және одан кейінгі екі сыныпта есеп деп айту керек. Бұл ең алдымен есеп жайында дұрыс түсінік қалыптастыруға, әрі қарай оны басқа тапсырмалардан ажыратуға және ақыр аяғында есепті шешу үдерісінің міндетті кезеңдеріне сәйкес орындалатын іс-әрекетті шыңдай түсуге ықпал етеді. «Есеп» ұғымын осылайша түсіну есепті шешу үдерісінің келесідей міндетті кезеңдерін айшықтауға мүмкіндік береді. * Есеп мәтінін оқу кезеңі. Осы кезеңнің негізгі міндеті - мәтінді жүгіртіп (шапшаң) және дұрыс оқу ғана емес, сонымен бірге есептегі баяндалған жағдаятты біртұтас қабылдап, есеп шартын және талабын, мәтіндегі барлық терминдерді, символдарды және белгілерді түсініп алатындай болып оқу. Есепті шешудің осы кезеңіндегі нәтиже – шапшаң оқудың ғана емес, сонымен қатар оның мазмұнын саналы қабылдаудың да білігін қалыптастыру. Есептің мәтінін оқымай, кез келген орындаушы есепті шығаруға кіріспейді және сондықтан да есепті шығарушының кез келгені үшін іс-әрекеттің осы түрі міндетті болып табылады. * Есеп шешуін іздестіру кезеңі. Осы кезеңнің негізгі міндеті – есепті талдауды іске асыру, соның барысында есептің шарты мен сұрағы, берілгеннің, сонымен бірге берілген мен ізделіндінің арасындағы қатынастар ажыратылады, есептің мазмұнында бейнеленген нақты қатынасқа немесе жағдаятқа сәйкес келетін арифметикалық амал анықталады, қойылған сұраққа жауап беруге мүмкіндік беретін орындалуы тиісті арифметикалық амалдардың логикалық желісі мен реті тағайындалады және дәлелденеді. * Есептің шешу жоспарын іске асыру кезеңі. Осы кезеңнің негізгі міндеті – есепті шешудің құрылған жоспарын іске асыру (ауызша немесе жазбаша). Әрі қарай есепте қойылған сұраққа жауап беруге, басқаша айтқанда есептің талабының орындалғандығы туралы қорытындыны тұжырымдауға мүмкіндік туғызатындай етіп, қабылданған үлгілердің бірінде есептің шешуін жазуды орындау. Есепті шешудің осы кезеңіндегі нәтиже – әдістемелік ғылымда және тәжірибеде белгілі түрлердің (формалардың) бірін пайдаланып, есептің шешуін жазуға үйрету. Жалпы алғанда шешуді іздестіру, оның жоспарын құру – бұл есепті шығару туралы ой-пікір және тек қана ниет. Бұл ой-пікір, егер тура болса, онда есептің шешуін жазу барысында іске асырылуы тиіс. Бұдан есепті шығару үдерісінің міндетті кезеңі ретінде, оның шешуін жазуды ерекшелеудің қажеттігі туындайды. * Есептің шешуін тексеру және егер қателер кетсе, оларды түзету кезеңі. Осы кезеңнің негізгі міндеті – есептің шығарылуының дұрыс немесе қате орындалғанын анықтау. Есепті шешудің осы кезеңіндегі нәтиже – есептің жауабын бөліп көрсетуге және есептің талабының орындалғаны жайлы түпкілікті қорытынды жасауға үйрету. Және де қажет болып жатса, белгілі тәсілдердің (есептің шарты мен сұрағының арасындағы сәйкестікті тағайындау, есепті әртүрлі тәсілмен шығару, берілгенге кері есеп құрастыру, әрі шығару және т.б.) бірін пайдаланып тексеруді жүзеге асыру. Жалпы алғанда, егер есепті шығару жайлы туған ой-пікірдің дұрыс еместігін біле тұра, есепті шешу жоспары іске асырылса, онда қате нәтижеге әкеліп соқтырады да, есептің шешуі дұрыс болмайды. Осыдан есепті шығару барысында немесе есепті шығарып болған соң күтілетін немесе шыққан жауапты тексеруді міндетті кезең ретінде ерекшелеудің қажеттігі туындайды. Математикада сандарды атау мен жазуға және сандарға қолданылатын операцияларды (амалдарды) орындауға арналған тілді сандау жүйесі деп атайды. Әртүрлі халықтарда сан ұғымының қалыптасуы және жазудың пайда болуы нәтижесінде ежелгі уақыттан бастап-ақ сандаудың да белгілі бір жүйелері пайда боды. Олардың әртүрлілігіне қарамастан, сандаудың позициялық емес және позициялық жүйелері ажыратылады. Позициялык емес жүйелер әрбір таңбаның (сандардың белгісі болатын, осы жүйеде қабылданған таңбалар жиынтығынан алынған) әрқашан санның жазалуындағы оның алатын орнына (позициясына) тәуелсіз, тек бір ғана санды белгілеумен сипатталады. Кейде қазіргі кезде де қолданылатын римдік жүйе, сондай жүйенің белгілі мысалы болып табылады. Бұл жүйеде сандарды жазу үшін латын әліпбиінің әріптері қолданылады: I – бір, Y – бес, X – он, L – елу, C – жүз, D – бес жүз, М – мың және т.с.с. Бұл сандар негізгі (басты) болып саналады және басқа сандар осы шартты белгілерден арифметикалық операциялар қосу мен азайтудың көмегімен шығарылып алынады. Сонда кіші негізгі санға сәйкес таңба үлкен санның таңбасының алдына келуі тиіс болса, онда азайту, ал кіші негізгі санға сәйкес таңба үлкен санның таңбасынан кейін келуі тиіс болса, онда қосу орындалады. Мысалы: DXC – бес жүз тоқсан, CXXCYIII – бір жұз сексен сегіз. Бұл жүйеде пайдаланылатын әрбір әріп әрқашан да бір ғана санды білдіреді. Сондықтан үлкен сандарды жазу мейлінше қолайсыз болады. Оның үстіне енгізілген таңбалар жетіспеді, қаншама жаңа таңбаларды енгізгенмен олармен белгілеу қиынға соғатын жаңа санды қашан да ойлап табуға болушы еді. Позициялық жүйелерде бір ғана таңба, санның жазылуындағы оның алатын орнына (позициясына) байланысты әртүрлі сандарды белгілей алады. Жаппай қабылданған ондық позициялық жүйе осындай жүйенің мысалы болып табылады. Бүл жүйеде сандарды жазу үшін 10 таңба (0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 цифрлары) пайдаланылады. Олардың әрқайсысының өзінің атауы бар және де теріс емес бір таңбалы сандардың атауларына сәйкес келеді. Осылардан сандардың қысқа түрдегі жазылуы болатын ақырлы тізбектер құрылады. Анықтама.х натурал санның ондық жазылуы деп оның х=а ∙10 +а ∙10 +…+ а ∙10+атүрде берілуін айтады, мұндағы а ,а ,…, а , а коэффициенттері 0, 1, 2, 3,…, 9 мәндерді қабылдайды және а 0. а ∙10 +а ∙10 +…+а ∙10+а қосындыны қысқаша , түрде жазу қабылданған, мұндағы қосылғыштардың көбейткіштері, яғни 1; 10; 102;,…, 10п сәйкесінше бірінші, екінші,…, п+1-ші разряд-тардың бірліктері, атап айтқанда бірліктер, ондықтар, жүздіктер, бірлік мыңдар, ондық мыңдар, жүздік мыңдар, бірлік миллиондар, ондық миллиондар, жүздік миллиондар және т.с.с. разрядтардың бірліктері деп аталады. Санның жазылуында оң жақтағы алғашқы үш цифрды бір топқа біріктіреді және бірінші класс немесе бірліктер класы дейді, келесі үш разряд екінші класты – мыңдар класын құрай-ды. Келесі үш разряд үшінші класты – миллиондар класын құрайды. Және олардан кейінгі үш разряд төртінші класты – миллиардтар немесе биллиондар класын құрайды, әрі қарай триллиондар кл, квадриллиондар класы және т.с.с. Сандаудың позициялық емес римдік жүйесіне қарағанда позициялық ондық сандау жүйесінің артықшылығы, ең алдымен кез келген көп таңбалы санды жазу үшін барлығы он таңбаның (цифрдың) ғана пайдаланатылығында. Және де миллиард көлеміндегі кез келген теріс емес бұтін санды қазақ тілінде атау үшін, барлығы 23 сөз (нөл, бір, екі, үш, төрт, бес, алты, жеті, сегіз, тоғыз, он, жиырма, отыз, қырық, елу, алпыс, жетпіс, сексен, тоқсан, жүз, мың, миллион, миллиард) ғана қажет болады. Басқа сандардың (миллиард көлеміндегі) атаулары жоғарыда аталған негізгі сөздерден жасалады. Натурал санның ондық жазылуының бар және жалғыз болуы мына теоремаға негізделген. Теорема.Кезкелген натурал х санын а ∙10 +а ∙10 +…+ +а ∙10+а түрде көрсетіп беруге болады, мұндағыа , а ,…, а , а коэффициенттері 0, 1, 2,… 9 мәндерді қабылдайдыжәне оның былайша жазылуы жалғыз ғана болады. Осы айтылғанды мысал арқылы көрсетіп берейік: 379=3·102+7·10+9·100. Амалдардың әрқайсысының алгоритмдері нақты теориялық қағи-даларға негізделген. Көп таңбалы сандарды қосу алгоритмінің теориялық негізі - сандаудың ондық жүйесінде санның жазылу тәсілі болып табылады. Сонымен бірге қосудың коммутативтік және ассоциативтік, қосуға қарағандағы көбейтудің дистрибутивтік заңдарына; бір таңбалы саңдарды косу кестесіне де сүйенеді.Мысалы: 327+541=(3·102+2·10+7)+(5·102+4·10+1)=(3·102+5·102)+(2·10+4·10)+ +(7+1) =(3+5)·102+ (2+4)·10+(7+1)=8·102+6·10+8=868. Санды р–лық жүйеде жазу үшін р цифрдың қажеттігін ескеру керек. Мысалы, екілік жүйеде санды жазып көрсету үшін 0; 1 цифрлары пайдаланылады және кез келген санды а ∙2п + а ∙2п-1 +…+ а ∙2+а түрде өрнектеп көрсетуге болады. мұндағы а ,а ,…,а ,а қабылдай-тын мәндер 0; 1 және а 0; үштік жүйеде – 0; 1; 2 цифрлары пайдала-нылады және кез келген санды а ∙3п + а ∙3п-1 +…+ а ∙3 + а түрде өрнектеп көрсетуге болады., мұндағы а ,а ,…,а ,а қабылдайтын мәндер 0; 1; 2 және а 0; төрттік жүйеде - 0, 1, 2, 3 цифрлары пайдаланылады және кез келген санды а ∙4п + + а ∙4п-1 +…+ а ∙4 + а түрде өрнектеп көрсетуге болады, мұндағы,а ,а ,…,а ,а қабылдайтын мәндер 0;1;2;3 және а 0. Жоғарыда келтірілген кестелерді пайдаланып, арифметикалық амалдарды орындаудың үлгісін мысал арқылы көрсетіп берейік.
Алдыңғы тақырыптардан N0 жиынында қосу мен көбейту амал-дары әрдайым орындалатыны, ал егер азайғыш азайтқыштан кем емес шарты қанағаттандырылса азайту амалы орындалатыны және де, теріс емес бұтін сандар жиынында натурал санға қалдықпен бөлу амалы орындалатыны белгілі. Қалдықпен бөлу кезінде бөлгіштен аспайтын қалдықтардың шығуы мүмкін. Қалдық нөлге тең болатын бөлудің жағдайдайларын егжей-тегжейін тәтпіштеп қарастырайық. Мысалы: 4224:6=704 (қал.0) немесе 4224=6·704+0; 123:3=3·41+0; яғни 4224=6·704 және 123=3·41. Анықтама.Егер теріс емес бүтін а санын натурал b санына қалдықпен бөлген кезде қалдық нөлге тең болса, онда b санын а санының бөлгіші және а санын b санының еселігі деп атайды. Егер b саны а санының бөлгіші болса, оңда a=bq болатындай q Z бөлінді бар болады, және керісінше, «егер a=bq болатындай q саны бар болса, онда а саны bсанына бөлінеді дейді». Осындай жағдайды а bтүрінде жазып көрсетеді. Бұл - бөлінгіштік қатынастың жазылуы, ол а және bсандарымен жүргізілетін амалдың жазылуы болып табылмайды, яғни а b=q түрінде жазуға болмайды. Ал аbжазылуын а саны b санына бөлінеді немесе а b— бөлінгіштік қатынас деп оқиды. Z0=N0 жиынындағы бөлінгіштік қатынастың келесідей қасиеттері бар. 1. 0 саны кез келген натурал санға бөлінеді, яғни ( b N): 0 b. b N болғанда 0=b·0, өйткені 0 Z0=N0 болса, онда бөлінгіштік қатынастың анықтамасы бойынша 0 b. 2. Нөлден өзгеше ешбір сан 0-гебөлінбейді, яғни ( а 0 Z ): . Шыңдығында, а 0 болсын. Барлық b N0 үшін 0=b·0, олай болса а=0·b теңдгі b-ның ешбір мәнінде орындалмайды. Демек, а саны 0-гебөлінбейді. 3. Бөлінгіштік қатынас - рефлексивті, яғни ( а N)а а.Себебі а=а·1 болатындай теріс емес бүтін q=1 саны бар болады, онда бөлінгіштік қатынастыңанықтамасы бойынша а а. Осы касиеттен, кез келген теріс емес бүтін санның 1-ге бөлінетіндігі шығады. Шын-дығында q=1, ( а Z ) болғандаа=1·q. Бұл а-ның 1-ге бөлінетінін көрсетеді, яғни а 1. 4. Егер b саны натурал сан а-ның бөлгіші болып табылса, онда bсаны а-дан артық бола алмайды, яғни b≤а.Басқаша айтқанда, егер а bжәне а>0 болса, онда а≥b. Ал а bболғандыктан, а=b∙q орындалатын q Nбар болады. Және де а>0 болғандықтан q≥1. Осы теңсіздіктің екі жағын да b-ға көбейтейік, сонда b∙q≥b. Бірақта b∙q=а, сондықтан а≥b. Осы қасиеттен натурал сан а-ның бөлгіштері ақырлы екендігі келіп шығады. 5. Бөлінгіштік қатынас — антисимметриялы, яғни а b а b . Егер b адеп ұйғарсақ, онда b≥а. Бірақта шарт бойынша а b, демек а≥b. Ал b≥ажәне а≥bтеңсіздіктері а=bболған жағдайда және тек сонда ғана ақиқат болады. Шартпен қарама-қайшылыққа келдік. Демек, біздің ұйғаруымыз дұрыс емес және бөлінгіштік қатынас антисимметриялық қасиетке ие. 6. Бөлінгіштік қатынас - транзитивті, яғни а b b с а с.Егер а bболса, онда q1 N0, мұндағы а=b∙q1.Ал b сболса, онда q2 N0, мұндағы b=с∙q2. Осыдан а=(с∙q2)∙q1=с(∙q2∙q1)=с∙q3. шығады және де, q3 N0 , демек, а с. Бөлінгіштік қатынас тек қана сандар жиынына қатысты қарасты-рылмайды, оны саны кез келген қосылғыштардың және көбейткіш-тердың саны қандай кез келген сан болғанда, сондай-ақ азайғыштар мен азайтқыштарға қатысты да қолдануға болады. Бөлінгіштік қатынаспен «бөлгіш» және «еселік» сияқты екі термин (ұғым) байланысты. Мысалы, 1;2;5;10 сандары 10 санының бөлгіш-тері, ал 1;3;5;15 сандары 15 санының бөлгіштері болып табылады. 10 және 15 сандары бөлгіштерінің ішінде 1 және 5 ортақ бөлгіштер, ал осылардың ең кішісі - 1, ал ең үлкені – 5. Енді 10 және 15 сандары-ның еселіктерін қарастырайық. Мысалы, 15;30;45;60;75;90 сандары-ның әрқайсысы 15-ке бөлінеді, ал 10;30;40;50;60 сандарының әрқайсысы 10-ға бөлінеді. 10 және 15 сандары еселіктерінің ішіндегі 30 және 60 ортақ еселіктер, ал осылардың ең кішісі - 30, ал ең үлкені – 60. Анықтама.Егер m саны а санына да және b санына да еселік бол-са, онда ол натурал ажәне b сандарының ортақ еселігі деп аталады. а және b сандарының ортақ еселіктерінің бірі олардың көбейтіндісі болады. Ол асанына да, және b санына да бөлінеді. а және b сандары-ның ортақ еселіктерінің жиыны а-ға да еселік, b-ға да еселік сандар жиындарының қиылысуы болып табылады. Анықтама.а және b сандары еселіктерінің ең кішісін осы сандар-дың ең кіші ортақ еселігі (ЕКОЕ) деп айтады. Осындағы «а саны b санына еселік» қатынасына қарағанда «b саны а санының бөлгіші» қатынасы кері болып табылады. Басқаша сөзбен айтқанда, а саны b-ға еселік болса, яғни а саны b-ға бөлінсе, және тек сонда ғана, b саны а-ның бөлгіші болады. Анықтама.Егер а және b сандары с санына бөлінсе, онда с-ны осы сандардың ортақ бөлгіші деп атайды. а және b сандарының ортақ бөлгіштерін табу үшін а саны бөлгіш-терінің жиыны мен b саны бөлгіштері жиынының қиылысуын табу керек. Анықтама.а және b сандары ортақ бөлгіштерінің ең үлкенін осы сандардың ең үлкен ортақ бөлгіші (ЕҮОБ) деп айтады. Мысалы: ЕҮОБ(630;660) және ЕКОЕ(630;660) табу керек болсын.
ЕҮОБ(а;b)іздеп табудың Евклид алгоритмі деп аталатын тәсілі де бар. Оның мән-мағынасы мынада: * Үлкен санды кіші санға бөледі. * Бөлгішті қалдыққа бөледі. * Бөлгішті сәйкес қалдыққа кезегімен бөлу үдерісін, қалдықта нөл шыққанға дейін жалғастырады. * Бөлуді орындағанда, қалдықта нөл шыққан кездегі соңғы бөлгіш, яғни нөлге тең емес ең кіші қалдық ЕҮОБ(а;b)болыптабылады. жүктеу/скачать 29,8 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|