Реферат тақырыбы: Жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер. Орындаған: Абилбаева А. Г тексерген: Байзакова Ж. С
жүктеу/скачать 57,93 Kb.
|
арай
- Бұл бет үшін навигация:
- Тексерген: Байзакова Ж.С Алматы 2020 Кіріспе
- 4.1 анықтама
- Коши теоремасы.
- 4.2 анықтама
- 4.3 анықтама
|
Қазақстан инженерлік-технологиялық университеті РЕФЕРАТ Тақырыбы: Жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер. Орындаған: Абилбаева А.Г Тексерген: Байзакова Ж.С Алматы 2020 Кіріспе: Негізгі ұғымдар мен анықтамалар. Екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер. Біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеудің шешімінің негізгі қасиеті. Сызықты тәуелді және сызықты тәуелсіз функциялар жүйесі, олардың вронскианы. Жоғары ретті дифференциалдық теңдеудің анықтамасы. Реті төмендетілетін дифференциалдық теңдеулерді шешу тәсілдерін көрсету. Сызықтық біртекті және біртекті емес жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер. Функциялар жүйесінің сызықтық тәуелділігі немесе тәуелсіздігін анықтауды үйрету. Жоспары: Коши теоремасы Жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер Реті төмендетілетін дифференциалдық теңдеулер Жоғары ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер 4.1 анықтама теңдеуі екінші ретті дифференциалдық теңдеуі деп аталады, мұндағы – тәуелсіз айнымалы, – белгісіз функция, және – оның туындылары. Көп жағдайда -ке қарағанда шешілген теңдеу қарастырылады . (4.1) (4.1) теңдеуінің шешімі деп -да анықталған, теңдеуге қойғанда оны тепе-теңдікке айналдыратын функциясы аталады. Шешімнің графигі интегралдық қисық деп аталады. Коши теоремасы. Егер және оның , дербес туындылары айнымалылар кеңістігінің кейбір облысында анықталған және үзіліссіз болса, онда облысының қандай да бір ішкі нүктесінің маңайында теңдеуінің , . (4.2) шарттарға қанағаттандыратын жалғыз шешімі бар болады. (4.2) – бастапқы шарттар. Дифференциалдық теңдеудің бастапқы шарттарға қанағаттандыратын шешімін табу есебін Коши есебі дейміз. Геометриялық тұрғыдан Коши есебінің шешімін табу дегеніміз интегралдық қисықтар жиынынан жазықтығының берілген нүктесі арқылы өтетін, осы нүктедегі жанамасының бұрыштық коэффициенті болатын қисықты алуды білдіреді. 4.2 анықтама -тен және екі еркін тұрақты мен -ден тәуелді функциясы кейбір облысында (4.1) теңдеуінің жалпы шешімі болады, егер ол: 1) мен тұрақтыларының кез келген мәндерінде шешім болса; 2) кез келген (4.2) бастапқы шарттары үшін , тұрақтыларының сәйкесінше , жалғыз ғана мәндері табылып, функциясы бастапқы шарттарға қанағаттандырса. 4.3 анықтама Жалпы шешім – функциясынан , мәндерінде шығатын кез келген функциясы (4.1) теңдеуінің дербес шешімі деп аталады. Жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер n-ретті дифференциалдық теңдеу деп түріндегі теңдеу аталады. Егер де ол жоғары ретті туындысына қарағанда шешілген болса, онда n-ретті дифференциалдық теңдеу (4.3) түрінде жазылады. (4.3)-тің шешімі деп -да анықталған, (4.3)-ке қойғанда оны тепе-теңдікке айналдыратын функциясы аталады. (4.3)-тің жалпы шешімі х-тен және n еркін тұрақтыдан тәуелді болады: . Жалпы шешімнен тұрақтыларының бекітілген мәндерінде пайда болатын (4.3)-тің шешімі оның дербес шешімі деп аталады. Жоғары ретті теңдеу үшін бастапқы шарттар , , …, (4.4) түрінде жазылады. (4.3) теңдеуінің (4.4) бастапқы шарттарына қанағаттандыратын шешімін табу есебін Коши есебін шешу дейміз. Реті төмендетілетін дифференциалдық теңдеулер немесе (4.5) дербес жағдайларын қарастырамыз. 1. теңдеуі. Бұл теңдеуде жоқ, оның шешімін бірте-бірте интегралдау көмегімен табамыз: , , , …, . 2. теңдеуі. Бұл теңдеуге және оның -шы ретке дейінгі туындылары кірмеген. Алмастыру жасаймыз: , , …, , теңдеуін аламыз. Берілген теңдеудің ретті -ға төмендеді. 3. теңдеуі. Бұл теңдеуде айнымалысы айқын түрде жоқ. Алмастыру орындаймыз: . Енді -ті тәуелсіз айнымалы деп есептейміз, онда , , т.с.с. Нәтижесінде -ші ретті теңдеуді аламыз. Жоғары ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер -ші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу деп түріндегі теңдеуді айтамыз, мұндағы – ізделінді функция, – оның туындылары, – аргумент, , – алдын ала берілген үзіліссіз функциялар. Егер болса, сызықтық дифференциалдық теңдеу біртекті емес, ал болса, біртекті деп аталады. Біз ІІ-ші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулерді қарастырамыз. Нәтижелері -ші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулерге үлестіріледі. (4.6) түріндегі теңдеу – ІІ-ші ретті сызықтық біртекті емес дифференциалдық тең-деу болады. Ал (4.7) (4.6)-ға сәйкес ІІ-ші ретті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеу. жүктеу/скачать 57,93 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|