Республикасының

жүктеу/скачать 326,84 Kb.

бет	16/21
Дата	29.01.2022
өлшемі	326,84 Kb.
	#115787

1 ... 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Байланысты:
is 4

Трапециялар әдісі
Симпсон формуласы
Қарапайым дифференциал теңдеулер үшін Коши есептерін шығару
Эйлер әдісі

Мысал 6.1. Тікбұрыштар формуласы арқылы интервалды 10-ға бөліп,

∫ ^табу^керек.^{Қателікті}^{есептеу.}

Шешуі. болғанда ( ) болады. Бөлу нүктелері болып мына нүктелер алынады:

Интеграл астындағы сәйкес мәндерді тауып, 6.1-кестеге жазамыз.

кесте

x	1	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9
y	1	1,049	1,095	1,140	1,183	1,225	1,265	1,304	1,342	1,378

Тікбұрыштар формуласын пайдаланып, аламыз: I=0,1(1,000+1,049+1,095+1,140+1,183+1,225+1,265+1,304+1,342+1,378)≈1,20.

^{Қателікті}^{табамыз.}^Бұл^{жағдайда}⁽⁾⁽ ⁾^-^[a,b]^{бөлігінде}

болғанда 0,5 - ең жоғарғы мәніне ие болады.

Осылайша, ^| ( )^| Осыдан формула бойынша табамыз:

Демек,

Трапециялар әдісі

Келесі қарапайым полином – сызықты функция. Егер оны ^[^]жарым-жарты бөлігінің ұшында ⁽ ⁾–пен сәйкес келуші деп таңдап алсақ, онда трапеция аламыз. Оның ауданы анықталған интегралдың мәніне жуықтау деп саналады және трапециялар формуласы арқылы есептеледі (6.1-суретті қараңыз).

⁽ ⁾ ( )

6.1 сурет – Трапециялар әдісі Трапецияның құрама формуласы мына түрде болады:

∑^[ ⁽ ⁾ ( )^]
Біркелкі қадам үшін, анықталған интегралды есептеу үшін трапециялар формуласы

_[ ⁽ ⁾ ⁽ ⁾₍

⁾ ⁽
⁾ ⁽
⁾) ( )

Шекті абсолют қателік

(

⁾ ^|

[ ]
( )^|

Есептеу алгоритмі келесідей болады:

а) a,b шекаралық шарттарын, итерация n санын енгізу; б) ( ) қадамын есептеу, аламыз

в) ( ⁽ ⁾ ⁽ ⁾) есептейміз; г) цикл басында ;

д) циклде ( ) ; е) мәнін қорыту.

Мысал 6.2. Интегралды 10 бөлікке бөліп, трапециялар формуласы ^{бойынша}∫ ^табу^керек.^{Қателікті}^табу^керек.

Шешуі. Жоғарыдағыдай белгілеулермен, трапециялар формуласын

қолданып, аламыз

I=0,1(+1,049+1,095+1,140+1,183+1,225+1,265+1,304+1,342+1,378)

≈1,218.

Ары қарай [1,2] бөлігінде ( ) ( ) ^| ⁽ ^)| .

Осылайша,

Демек,

Симпсон формуласы

Аппроксимациялайтын полином ретінде екінші дәрежелі полиномды қолдануға болады. үш нүкте арқылы Лагранждың интерполяциялы полиномын тұрғызамыз:

₍₎⁽ ⁾⁽ ⁾

⁽ ⁾⁽ ⁾

⁽ ⁾⁽ ⁾⁽ ⁾⁽ ⁾

⁽ ⁾( )

⁽ ⁾⁽ ⁾
Ары қарай түрлендіру үшін теңдігінің көмегімен ^[ ^]айнымалысын енгіземіз және -ны 0, 1, 2-ге тең деп алып өзгерте отырып, мәндерін аламыз.

Жаңа айнымалы арқылы сплайн ⁽ ⁾–ті жазамыз:

⁽ ⁾( )

⁽⁾

( )

( )

⁽ ⁾

⁽ ⁾

⁽ ⁾

екендігін ескеріп,

∫⁽ ⁾ ∫⁽ ⁾ ^{( )}

∫

Қисық сызықты трапецияның ауданын сызбада шектелген ⁽ ⁾

ауданымен алмастырамыз. Бұл жағдайда:

∫ ⁽ ⁾

∫ ⁽ ⁾ ⁽ ⁾

Алынған формула Симпсон формуласы немесе параболалар формуласы деп аталады. Симпсонның құрама формуласы:

( )

∫ [
⁽
⁾ ⁽
⁾ ]

(6.3)

Симпсон формуласы тікбұрыштар мен трапециялар формулаларына қарағанда үлкен болып көрінгенімен оларға қарағанда анағұрлым дәлірек және аз ішінде қажетті нәтижеге қол жеткізу мүмкін.

Шекті абсолют қателік:

^{( )} ^|

[ ]

( )^|

Есептеу алгоритмі келесідей болады:

а) a,b шекаралық шарттарын, итерация n санын енгізу; б) ( ) қадамын есептеу, аламыз

в) ( ⁽ ⁾ ⁽ ⁾) есептейміз; г) цикл басында ;

д) циклде: жұп болғанда есептеледі; тақ болғанда , есептеледі;

е) ( ) мәнін қорыту.

Қарапайым дифференциал теңдеулер үшін Коши есептерін шығару

Есептеулер тәжірибесінде кездесетін есептердің басым бөлігін қарапайым дифференциалдық теңдеулерді шешуге алып келетін есептер құрайды. Қандайда бір шынайы құбылысты немесе үдерісті зерттеу нәтижесінде алынған дифференциал теңдеу осы құбылыстың немесе үдерістің дифференциал моделі деп аталады. Дифференциал модель тұрғызу үдерісінде қарастырылатын есептің табиғатымен байланысты ғылым заңдарын білу, кейде алғашқы мән де маңызды болады. Мысалы, механикада ол Ньютон заңдары, электр тізбектері теориясында – Кирхгоф заңдары, химическиялық реакциялар жылдамдығының теориясында – массалар әсері заңдары және т.б. болуы мүмкін. Әдетте, ұқсас есептерді шығарудың жуықтау әдістерінің көмегіне жүгінуге тура келеді. Қарапайым дифференциал теңдеулер жағдайында, тәуелсіз айнымалы өзгеретін бөлігінің бір немесе бірнеше нүктелерінде қосымша шарттар қойылатындығына байланысты есептер, әдетте бірнүктелі (бастапқы шартты есептер немесе Коши есептері) және көпнүктелі деп бөлінеді. Көпнүктелі есептердің ішінде қолданбалы сұрақтарда қарастырылып отырған бөліктің ұшында қосымша шарттар қойылғанда шекті есептер деп аталатын есептер неғұрлым жиі кездеседі.

Ары қарай Коши есептерін шешудің сандық әдісін қарастырумен шектелеміз. Есеп шығарудың әдісін түсіну жеңіл болу үшін бірінші ретті қарапайым дифференциал теңдеуді қарастырайық:
x₀  x  b бөлікте x = x₀ болғанда

y(x₀)  y₀.

шартын қанағаттандыратын

(7.1)

y' 

f (x, y)

(7.2)

дифференциал теңдеуінің y(x) шешуін табу керек болсын делік.

Берілген Коши есебінің шешуінің жалғыздығы және бар екендігі туралы шарты орындалды деп есептейміз.

Тәжірибеде Коши есебінің жарым-жарты немесе жалпы шешуінің болуы өте сирек, сол себепті бұл есепті жуықтап шығаруға тура келеді. Көбіне һ,

⁽ ⁾тұрақты қадаммен ^[ ^]бөлігі тормен жабылады

(аралықтарға бөлінеді) және қандайда бір шешуші тәртіппен ( ) мәні табылады. Осылайша, сандық әдістермен Коши есебінің шешуі ретінде екі вектордан тұратын кесте аламыз:

( )– аргументтер векторлары және оған сәйкес келетін

( ) функция векторлары.

Жаңа нүктеде функция мәнін табу үшін тек бір ғана алдыңғы нүктенің ақпараты қолданылатын сандық әдістер (ережелер) бірқадамды деп аталады. Жаңа нүктеде функция мәнін табу үшін бірнеше алдыңғы нүктенің ақпараты қолданылатын сандық әдістер (ережелер) көпқадамды деп аталады.

Қазіргі кезде Коши есептерін шешуге арналған түрлі сандық әдістер бар (6.1) – (6.2). Төменде қолдануға қарапайым әдістер - Эйлердің, Рунге- Кутттың, Адамстың және Милннің әдістері қарастырылады.

Эйлер әдісі

Айырмалық тәсіл. (7.1)-ді ескере отырып, нүктесінде (7.2) теңдеуін қарастырамыз да теңдік аламыз:

⁽ ⁾ ⁽ ⁾

Бірінші реттік дәлдікті оң жақтағы айырымдық қатынаспен туындыны сол жаққа қарай жуықтатып

аламыз

⁽

₎ ⁽ ⁾ ⁽ ⁾

⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ⁽ ⁾

Бастапқы (7.1) шартты ескергенде, Эйлер әдісінің жалпы есептеу формуласы:

⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ( )

мұндағы

Бұл формулалардың алгоритмі өте қарапайым.

а) (бастапқы шарттар). б) есептелген мәндерін қорыту

в) ⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ⁽ ⁾ (жаңа нүктеде белгісіз функцияның мәнін есептеу)

г) (келесі нүктеге өту). д) Егер б) бөліміне өтеді.

Эйлер әдісі аз дәлдікке ие және әрбір жаңа қадамның қателігі жүйелі түрде өседі.

Мысал 7.1. Эйлер әдісін пайдаланып, бастапқы шарт ⁽ ⁾ қадам

h=0,1 болғанда

дифференциал теңдеуімен анықталатын

функциясының мәнін табу керек. –ң алғашқы төрт мәнін іздеумен шектелу керек.

Шешуі. Аргументтің тізбекті мәндерін табамыз:

Белгісіз функцияның сәйкес мәндерін есептейміз:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Кесте аламыз

x	0	0,1	0,2	0,3	0,4
y	1	1,1	1,18	1,25	1,31

жүктеу/скачать 326,84 Kb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Республикасының

Трапециялар әдісі

Симпсон формуласы

Қарапайым дифференциал теңдеулер үшін Коши есептерін шығару

Эйлер әдісі